QCM : Fonctions polynômes du second degré (16 questions)

Question 1

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

f(x)=2x^3+x-1

f(x)=3x^2-5x+1

f(x)=\frac{5}{x}+2

f(x)=4x-7

Explication

Une fonction du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec des coefficients réels et $a\ne0$ . L’expression affine proposée ne contient pas de terme en $x^2$ , tandis que les deux autres ne sont pas des trinômes du second degré.

Answer

$$f(x)=3x^2-5x+1$$

Question 2

2. Que signifie qu’un réel $x_1$ est une racine d’une fonction polynôme $f$ ?

Il représente l’ordonnée du sommet de la courbe.

Il vérifie

f(x_1)=1

.

Il correspond à la valeur du coefficient dominant.

Il vérifie

f(x_1)=0

.

Explication

Une racine est un réel dont l’image par la fonction vaut zéro, donc il satisfait l’équation $f(x)=0$ . L’ordonnée du sommet et le coefficient dominant décrivent d’autres caractéristiques du polynôme, sans définir une racine.

Answer

Il vérifie $$f(x_1)=0$$.

Question 3

3. Quelle forme factorisée possède une fonction du second degré ayant pour racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ?

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x^2-x_1-x_2)

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=a(x-x_1+x_2)

Explication

Deux racines donnent deux facteurs qui s’annulent respectivement en $x_1$ et $x_2$ , d’où $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ . Des signes positifs dans les facteurs modifieraient les racines en leurs opposés.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 4

4. Si une fonction du second degré possède une racine double $x_1$ , quelle est sa forme factorisée ?

f(x)=a(x-x_1)^2

f(x)=a(x^2-x_1)

f(x)=a(x-x_1)(x+1)

f(x)=a(x-x_1+x_1)

Explication

Une racine double apparaît dans un facteur répété, ce qui donne $f(x)=a(x-x_1)^2$ . Deux facteurs différents représenteraient généralement deux racines distinctes plutôt qu’une racine double.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)^2$$

Question 5

5. Dans la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , que représentent $x_1$ et $x_2$ ?

Les valeurs de la fonction en zéro

Les solutions de l’équation

f(x)=0

Les coordonnées des sommets de la parabole

Les coefficients des termes de degré deux

Explication

Chaque facteur s’annule lorsque $x=x_1$ ou $x=x_2$ , donc ces deux nombres sont les solutions de $f(x)=0$ . Ils ne sont ni des coefficients du polynôme ni les coordonnées du sommet.

Answer

Les solutions de l’équation $$f(x)=0$$

Question 6

6. Lorsqu’une seule racine $x_1$ est connue, quelle étape permet ensuite de déterminer l’autre racine dans la méthode de factorisation ?

Calculer

f(0)

avec les deux formes puis résoudre l’équation obtenue pour

x_2

Remplacer directement le coefficient

a

par la racine connue

Vérifier à nouveau

x_1

sans utiliser la valeur de la fonction en zéro

Développer la forme factorisée sans introduire de seconde racine

Explication

Après avoir vérifié la racine connue et déterminé $a$ , on compare les valeurs de $f(0)$ dans les deux écritures afin de trouver $x_2$ . La vérification initiale confirme $x_1$ , mais ne détermine pas la seconde racine.

Answer

Calculer $$f(0)$$ avec les deux formes puis résoudre l’équation obtenue pour $$x_2$$

Question 7

7. Laquelle de ces valeurs constitue un exemple de racine évidente, facile à tester dans un polynôme ?

\sqrt{7}

\frac{11}{13}

\pi

-2

Explication

Une racine évidente est une valeur entière simple comme $-2$ , qui peut être vérifiée rapidement par substitution. Les autres valeurs peuvent être testées, mais elles ne correspondent pas aux exemples de racines faciles à reconnaître indiqués ici.

Answer

La fonction est décrite par une expression, tandis que la parabole est sa courbe représentative.

Answer

Calculer $$f(2)$$, car l’ordonnée du sommet vaut $$y_s=f(x_s)$$.

Answer

$$A(-1;0)$$ et $$B(4;0)$$

Answer

Utiliser un tableau de signes ou examiner la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses.

Answer

L’axe des ordonnées, d’équation $$x=0$$.

Answer

L’origine $$O(0;0)$$.

Question 8

8. Quelle distinction décrit correctement le lien entre une fonction polynôme du second degré et sa représentation graphique ?

La fonction est décrite par une expression, tandis que la parabole est sa courbe représentative.

La fonction est la courbe, tandis que la parabole désigne son expression algébrique.

La fonction donne les racines, tandis que la parabole donne les coordonnées du sommet.

La fonction correspond à l’axe de symétrie, tandis que la parabole correspond à son sommet.

Explication

L’expression $f(x)=ax^2+bx+c$ définit la fonction, et la courbe d’équation $y=ax^2+bx+c$ est la parabole qui la représente. Confondre la fonction avec la courbe revient donc à inverser ces deux notions.

Question 9

9. Pour une parabole dont le sommet a pour abscisse $x_s=2$ , comment déterminer son ordonnée ?

Calculer

f(0)

, car l’ordonnée du sommet est toujours la constante.

Calculer la moyenne des racines, car elle donne l’ordonnée du sommet.

Calculer

f(2)

, car l’ordonnée du sommet vaut

y_s=f(x_s)

.

Calculer

2f(x)

, car l’ordonnée double l’abscisse du sommet.

Explication

Le sommet possède les coordonnées $S(x_s;y_s)$ avec $y_s=f(x_s)$ , donc il faut évaluer la fonction en $2$ . La moyenne des racines permet de trouver l’abscisse du sommet, pas son ordonnée.

Question 10

10. Quelle équation décrit l’axe de symétrie d’une parabole dont le sommet est $S(-3;5)$ ?

x=-3

y=5

y=-3

x=5

Explication

L’axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet, d’équation $x=x_s$ . Ici, l’abscisse du sommet vaut $-3$ , tandis que $5$ est son ordonnée et ne détermine pas cette équation.

Question 11

11. Deux nombres $u=1$ et $v=7$ ont la même image par une fonction du second degré. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie ?

x=8

x=6

x=4

x=3

Explication

Lorsque $u$ et $v$ ont la même image, l’axe passe par leur milieu, donc $x_s=\frac{u+v}{2}=\frac{1+7}{2}=4$ . La somme des deux nombres vaut $8$ , mais elle doit être divisée par $2$ pour obtenir l’abscisse de l’axe.

Question 12

12. Une fonction du second degré sous forme factorisée possède pour racines $x_1=-2$ et $x_2=6$ . Quelle est l’abscisse de son sommet ?

x_s=-8

x_s=12

x_s=4

x_s=2

Explication

L’abscisse du sommet est la moyenne des racines : $x_s=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-2+6}{2}=2$ . La valeur de la fonction en cette abscisse donnerait l’ordonnée du sommet, et non son abscisse.

Question 13

13. Si une parabole a pour racines $x_1=-1$ et $x_2=4$ , quels sont ses points d’intersection avec l’axe des abscisses ?

A(-1;0)

et

B(4;0)

A(-1;1)

et

B(4;1)

A(1;0)

et

B(-4;0)

A(0;-1)

et

B(0;4)

Explication

Les racines sont les abscisses des points où la fonction vaut zéro, donc les intersections sont $(-1;0)$ et $(4;0)$ . Les ordonnées de ces points valent ainsi $0$ , et non les valeurs des racines.

Question 14

14. Quelle méthode permet de déterminer le signe d’une fonction polynôme du second degré ?

Utiliser un tableau de signes ou examiner la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses.

Repérer l’ordonnée à l’origine et lui appliquer le même signe sur toute la courbe.

Déterminer le sommet puis conclure sans observer les racines ni la courbe.

Calculer l’axe de symétrie puis lui attribuer directement le signe de la fonction.

Explication

Le signe de la fonction se détermine algébriquement à l’aide d’un tableau de signes ou graphiquement selon la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses. L’axe de symétrie ou l’ordonnée à l’origine, pris isolément, ne suffit pas à connaître le signe sur tout le domaine.

Question 15

15. Quel est l’axe de symétrie commun aux paraboles représentatives de $f(x)=ax^2$ et $g(x)=ax^2+c$ ?

L’axe des ordonnées, d’équation

x=0

.

L’axe des abscisses, d’équation

y=0

.

La droite horizontale d’équation

y=c

.

La droite verticale d’équation

x=c

.

Explication

Dans les deux expressions, aucun terme en $x$ ne décale la parabole horizontalement, donc leur axe de symétrie est l’axe des ordonnées, soit $x=0$ . La constante $c$ modifie la position verticale du graphe et non son axe vertical de symétrie.

Question 16

16. Quel est le sommet de la parabole représentative de $f(x)=ax^2$ ?

L’origine

O(0;0)

.

Le point

S(a;0)

.

Le point

S(0;a)

.

Le point

S(0;c)

.

Explication

Pour $f(x)=ax^2$ , on a $f(0)=0$ et l’axe de symétrie est $x=0$ , donc le sommet est l’origine. Le point $S(0;c)$ correspondrait à une fonction comportant une constante $c$ , comme $ax^2+c$ .

QCM : Fonctions polynômes du second degré (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Que signifie qu’un réel $x_1$ est une racine d’une fonction polynôme $f$ ?

3. Quelle forme factorisée possède une fonction du second degré ayant pour racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ?

4. Si une fonction du second degré possède une racine double $x_1$ , quelle est sa forme factorisée ?

5. Dans la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , que représentent $x_1$ et $x_2$ ?

6. Lorsqu’une seule racine $x_1$ est connue, quelle étape permet ensuite de déterminer l’autre racine dans la méthode de factorisation ?

7. Laquelle de ces valeurs constitue un exemple de racine évidente, facile à tester dans un polynôme ?

8. Quelle distinction décrit correctement le lien entre une fonction polynôme du second degré et sa représentation graphique ?

9. Pour une parabole dont le sommet a pour abscisse $x_s=2$ , comment déterminer son ordonnée ?

10. Quelle équation décrit l’axe de symétrie d’une parabole dont le sommet est $S(-3;5)$ ?

11. Deux nombres $u=1$ et $v=7$ ont la même image par une fonction du second degré. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie ?

12. Une fonction du second degré sous forme factorisée possède pour racines $x_1=-2$ et $x_2=6$ . Quelle est l’abscisse de son sommet ?

13. Si une parabole a pour racines $x_1=-1$ et $x_2=4$ , quels sont ses points d’intersection avec l’axe des abscisses ?

14. Quelle méthode permet de déterminer le signe d’une fonction polynôme du second degré ?

15. Quel est l’axe de symétrie commun aux paraboles représentatives de $f(x)=ax^2$ et $g(x)=ax^2+c$ ?

16. Quel est le sommet de la parabole représentative de $f(x)=ax^2$ ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur R\mathbb{R}R ?

2. Que signifie qu’un réel x1x_1x1​ est une racine d’une fonction polynôme fff ?

3. Quelle forme factorisée possède une fonction du second degré ayant pour racines distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

4. Si une fonction du second degré possède une racine double x1x_1x1​, quelle est sa forme factorisée ?

5. Dans la forme f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)f(x)=a(x−x1​)(x−x2​), que représentent x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

6. Lorsqu’une seule racine x1x_1x1​ est connue, quelle étape permet ensuite de déterminer l’autre racine dans la méthode de factorisation ?

7. Laquelle de ces valeurs constitue un exemple de racine évidente, facile à tester dans un polynôme ?

8. Quelle distinction décrit correctement le lien entre une fonction polynôme du second degré et sa représentation graphique ?

9. Pour une parabole dont le sommet a pour abscisse xs=2x_s=2xs​=2, comment déterminer son ordonnée ?

10. Quelle équation décrit l’axe de symétrie d’une parabole dont le sommet est S(−3;5)S(-3;5)S(−3;5) ?

11. Deux nombres u=1u=1u=1 et v=7v=7v=7 ont la même image par une fonction du second degré. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie ?

12. Une fonction du second degré sous forme factorisée possède pour racines x1=−2x_1=-2x1​=−2 et x2=6x_2=6x2​=6. Quelle est l’abscisse de son sommet ?

13. Si une parabole a pour racines x1=−1x_1=-1x1​=−1 et x2=4x_2=4x2​=4, quels sont ses points d’intersection avec l’axe des abscisses ?

14. Quelle méthode permet de déterminer le signe d’une fonction polynôme du second degré ?

15. Quel est l’axe de symétrie commun aux paraboles représentatives de f(x)=ax2f(x)=ax^2f(x)=ax2 et g(x)=ax2+cg(x)=ax^2+cg(x)=ax2+c ?

16. Quel est le sommet de la parabole représentative de f(x)=ax2f(x)=ax^2f(x)=ax2 ?

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1. Laquelle des expressions définit une fonction polynôme du second degré sur $\mathbb{R}$ ?

2. Que signifie qu’un réel $x_1$ est une racine d’une fonction polynôme $f$ ?

3. Quelle forme factorisée possède une fonction du second degré ayant pour racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ?

4. Si une fonction du second degré possède une racine double $x_1$ , quelle est sa forme factorisée ?

5. Dans la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ , que représentent $x_1$ et $x_2$ ?

6. Lorsqu’une seule racine $x_1$ est connue, quelle étape permet ensuite de déterminer l’autre racine dans la méthode de factorisation ?

9. Pour une parabole dont le sommet a pour abscisse $x_s=2$ , comment déterminer son ordonnée ?

10. Quelle équation décrit l’axe de symétrie d’une parabole dont le sommet est $S(-3;5)$ ?

11. Deux nombres $u=1$ et $v=7$ ont la même image par une fonction du second degré. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie ?

12. Une fonction du second degré sous forme factorisée possède pour racines $x_1=-2$ et $x_2=6$ . Quelle est l’abscisse de son sommet ?

13. Si une parabole a pour racines $x_1=-1$ et $x_2=4$ , quels sont ses points d’intersection avec l’axe des abscisses ?

15. Quel est l’axe de symétrie commun aux paraboles représentatives de $f(x)=ax^2$ et $g(x)=ax^2+c$ ?

16. Quel est le sommet de la parabole représentative de $f(x)=ax^2$ ?