Fiche de révision : Équilibre mécanique et dynamique

📋 Plan du Cours

1. Dimensions et analyse dimensionnelle
2. Systèmes et unités de mesure
3. Valeur et calcul numérique
4. Histoire des unités
5. Système matériel et modèles mécaniques
6. Référentiels et degrés de liberté
7. Cinématique et centre de masse
8. Forces et lois de Newton
9. Moments et équilibre rotationnel
10. Équilibre sous deux ou trois forces
11. Contacts, frottements et traction
12. Travail, puissance et énergie cinétique
13. Description microscopique des fluides
14. Description continue des fluides
15. Équilibre hydrostatique du fluide
16. Théorème de Pascal et applications
17. Flottaison et stabilité des corps
18. Expériences sur la pression atmosphérique
19. Tension interfaciale et loi de Laplace
20. Température et agitation microscopique
21. Variables d’état et équations d’état
22. Premier principe et échanges énergétiques
23. Capacité thermique à volume constant
24. Bilans thermiques et mécaniques
25. Enthalpie et capacités thermiques
26. Diagrammes et transitions de phase
27. Enthalpie de changement d’état
28. Évaporation et applications quotidiennes
29. Transformations du gaz parfait
30. Turbines hydrauliques et loi de Torricelli
31. Machines thermiques dithermes
32. Réfrigérateurs et pompes à chaleur

📅 Repères chronologiques

1. 1638Galilée rapporte que les fontainiers de Florence ne peuvent pas aspirer l’eau d’un puits au-delà de 10 mètres de profondeur.
2. 1644Evangelista Torricelli attribue la limite d’aspiration au poids de l’air et conçoit le baromètre à mercure, reliant l’action de l’air à la suspension du mercure dans le tube.
3. septembre 1648Florent Périer mesure au Puy de Dôme une hauteur de mercure de 63 cm au sommet, contre 71 cm au couvent des Minimes situé en bas, ce qui conduit Pascal à conclure que la pression atmosphérique diminue avec l’altitude.
4. 1791L’Assemblée constituante décide de définir une unité qui ne soit ni arbitraire ni particulière à un peuple.
5. 1er août 1793Le décret vise à uniformiser les mesures en France, introduire le système décimal et ses préfixes, adopter le mètre, le litre et le kilogramme, ainsi que le franc comme unité monétaire.
6. 22 juin 1799Deux étalons en platine représentant le mètre et le kilogramme sont déposés aux Archives de la République à Paris.
7. 1832Gauss œuvre en faveur du système métrique associé à la seconde astronomique comme système cohérent d’unités pour les sciences physiques.
8. 1874La British Association for the Advancement of Science introduit le système CGS, fondé sur le centimètre, le gramme et la seconde, avec des préfixes décimaux allant du micro au méga.
9. 1971La 14e CGPM ajoute la mole au SI comme unité de base de la quantité de matière, portant à sept le nombre d’unités de base.
10. 1983La 17e CGPM redéfinit le mètre à partir de la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumière pendant un intervalle de temps spécifié.

📖 1. Dimensions et analyse dimensionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur physique : Propriété mesurable qui caractérise un système et s’exprime par un nombre et une unité de mesure.
• Dimension : Expression de la dépendance d’une grandeur physique par rapport aux sept grandeurs de base, de symboles L, M, T, I, Θ, N et J.
• Système physique : Portion de l’univers délimitée, réellement ou virtuellement, afin de distinguer ses constituants du reste du monde.
• Loi physique : Relation mathématique entre les grandeurs physiques d’un système, applicable dans un domaine de validité déterminé, pas nécessairement à toutes les échelles.

★ À maîtriser

• Les quatre interactions élémentaires sont :
  • l’interaction forte
  • l’interaction faible
  • l’interaction électromagnétique
  • l’interaction gravitationnelle

📌 Deux grandeurs de même nature ont nécessairement la même dimension, mais deux grandeurs de même dimension ne sont pas nécessairement de même nature, comme le moment d’une force et l’énergie.

📌 Une équation physique est homogène si ses deux membres ont la même dimension ; une équation non homogène est nécessairement fausse, et les grandeurs additionnées ou soustraites doivent avoir la même dimension.

Compléments

• L’interaction forte est la plus puissante des quatre interactions et sa portée effective est de l’ordre du femtomètre ; elle contribue à la cohésion des nucléons et des noyaux atomiques.

• L’interaction faible est environ 10⁵ fois moins puissante que l’interaction forte et sa portée est de l’ordre du centième de femtomètre ; elle intervient notamment dans la radioactivité β et la fusion nucléaire.

• L’interaction électromagnétique est cent fois moins forte que l’interaction forte, possède une portée illimitée décroissant comme l’inverse du carré de la distance et est responsable des forces entre charges, du magnétisme et des liaisons atomiques ou moléculaires.

• L’interaction gravitationnelle est la plus faible des quatre interactions ; sa portée est illimitée et elle décroît comme l’inverse du carré de la distance tout en étant proportionnelle au produit des masses en interaction.

📐 Formule - La dimension générale d’une grandeur X s’écrit $[X]=L^a M^b T^c I^d \Theta^e N^f J^g$, où a, b, c, d, e, f et g sont des nombres réels.

• La vitesse a pour dimension $L T^{-1}$, le volume $L^3$, la masse volumique $M L^{-3}$, l’énergie $M L^2 T^{-2}$ et la force $M L T^{-2}$.

📐 Formule - Une grandeur sans dimension a tous ses exposants dimensionnels égaux à zéro et sa dimension vaut 1 ; par exemple, l’indice optique vérifie $n=\frac{c_0}{c}$, le nombre de Mach $Ma=\frac{v}{c_s}$ et le nombre de Froude $Fr=\frac{v}{\sqrt{gl}}$.

• L’analyse dimensionnelle consiste à exprimer une grandeur recherchée en fonction des paramètres du système, puis à égaler les dimensions des deux expressions pour contraindre les exposants et déterminer les dépendances possibles.

• Pour un pendule de longueur l oscillant dans un champ de pesanteur g, l’analyse dimensionnelle impose une période proportionnelle à $\sqrt{\frac{l}{g}}$, indépendante de la masse du pendule.

📖 2. Systèmes et unités de mesure

🔑 Notions clés & Définitions

• Unité de mesure : Grandeur scalaire réelle définie et adoptée par convention, à laquelle on compare une grandeur de même nature pour exprimer leur rapport par un nombre.
• Système d’unités : Ensemble d’unités de base et dérivées, de leurs multiples et sous-multiples, défini selon des règles données pour un système de grandeurs donné.
• Unité de base : Unité de mesure adoptée par convention pour une grandeur de base.
• Unité dérivée : Unité de mesure d’une grandeur dérivée, formée en multipliant ou en divisant les unités des grandeurs qui composent cette grandeur.

★ À maîtriser

📌 La dimension est universelle et indépendante de l’unité choisie, tandis que l’unité résulte du choix d’un système d’unités ; un volume a toujours la dimension L³, qu’il soit exprimé en litres, en gallons ou en mètres cubes.

• Les sept unités de base du SI sont :
  • le mètre (m) pour la longueur
  • le kilogramme (kg) pour la masse
  • la seconde (s) pour le temps
  • l’ampère (A) pour le courant électrique
  • le kelvin (K) pour la température thermodynamique
  • la mole (mol) pour la quantité de matière
  • la candela (cd) pour l’intensité lumineuse

Compléments

• Les grandeurs sans dimension peuvent néanmoins avoir une unité, comme le radian pour les angles ou le décibel pour les niveaux sonores.

• Dans tout système cohérent d’unités, une seule unité de base correspond à chaque grandeur de base.

• Les préfixes décimaux indiqués vont de 10⁻²⁴ (yocto, y) à 10²⁴ (yotta, Y) et comprennent notamment déci (10⁻¹), centi (10⁻²), milli (10⁻³), micro (10⁻⁶), nano (10⁻⁹), pico (10⁻¹²), kilo (10³), méga (10⁶), giga (10⁹) et téra (10¹²).

📌 Le mètre par seconde (m/s) et le centimètre par seconde (cm/s) sont des unités SI de vitesse, tandis que le kilomètre par heure (km/h), dont l’usage avec le SI est accepté, et le nœud, égal à un mille marin par heure, sont des unités de vitesse hors SI.

📌 Pour nommer une division d’unités, on emploie « par » entre les noms ou une barre entre les symboles ; si plusieurs unités sont au diviseur, on répète « et par » devant le nom de chacune.

• Le symbole J/K désigne aussi bien une unité de capacité thermique qu’une unité d’entropie, bien que ces grandeurs ne soient généralement pas considérées comme de même nature.

📖 3. Valeur et calcul numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur d’une grandeur : Nombre associé à une unité et constituant l’expression quantitative de cette grandeur.

★ À maîtriser

• Pour résoudre numériquement un problème de physique, on mène d’abord le calcul littéral, puis on convertit les données en unités SI, on substitue en une fois les valeurs numériques sans unités, et enfin on calcule et donne le résultat avec son unité et ses chiffres significatifs ajustés.

Compléments

• En notation scientifique, une vitesse peut s’écrire $v=2{,}53\times10^{5}\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, soit le produit de 2,53 par 10⁵ suivi de l’unité.

📌 Le nombre de chiffres significatifs doit être ajusté à la précision attendue et rester cohérent avec celle des autres valeurs utilisées.

📐 Formule - La masse d’un objet de masse volumique $\rho$, d’épaisseur $e$ et dont la base carrée a pour côté $a$ vérifie $m=\rho e a^{2}$.

• Une plaque d’acier de côté 10 cm et d’épaisseur 5 mm, avec une masse volumique de 7,8 kg/L, a une masse calculée de 0,39 kg, soit 390 g.

• Une automobile passant de 0 à 100 miles par heure en 10 secondes a une accélération moyenne de 4,5 m·s⁻² en utilisant la conversion 1 mile ≈ 1,61 × 10³ m.

💡 Astuce mémo

Littéral d’abord, conversion ensuite, nombres enfin.

📖 4. Histoire des unités

★ À maîtriser

• En 1960, la 11e CGPM donne au système le nom de Système international d’unités (SI), après l’approbation en 1954 de l’ampère, du kelvin et de la candela comme unités de base.

• Le 16 novembre 2018, la 26e CGPM adopte une révision du SI entrée en vigueur en 2019, redéfinissant le kilogramme, l’ampère, le kelvin et la mole.

Compléments

• La Convention du Mètre est signée le 20 mai 1875, puis la 1ère CGPM sanctionne les prototypes internationaux du mètre et du kilogramme en 1889.

• En 1946, le système MKS est complété par l’ampère pour former le système MKSA, après une proposition de système à quatre unités de base formulée en 1939.

• Dans le SI révisé en 2019, la seconde est définie à partir de la fréquence d’une transition du césium, tandis que les autres unités sont définies à partir de la seconde et de constantes fondamentales.

• Les valeurs fixées dans le SI révisé sont ΔνCs = 9 192 631 770 Hz, c = 299 792 458 m/s, h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s, e = 1,602 176 634 × 10⁻¹⁹ C, k = 1,380 649 × 10⁻²³ J/K et NA = 6,022 140 76 × 10²³ mol⁻¹.

💡 Astuce mémo

Mètre révolutionnaire → MKS → SI → constantes fondamentales.

📖 5. Système matériel et modèles mécaniques

🔑 Notions clés & Définitions

• Système matériel : Portion de matière identifiée par la pensée dont on étudie les propriétés mécaniques ou thermodynamiques et leur évolution dans le temps.
• Point matériel : Masse dont l’extension est réduite à un point.
• Solide rigide : Système étendu indéformable dont la distance entre deux points quelconques reste constante.
• Fluide : Système étendu et déformable qui peut s’écouler, n’a pas de forme propre et prend au repos la forme de son récipient.

📝 Points essentiels

• Tout système matériel a une masse constante au cours de son évolution et constitue donc un système fermé.

📌 Le point matériel et le solide rigide sont des modèles idéalisés : aucun solide n’est parfaitement rigide et aucun solide ponctuel n’existe réellement.

• Un système matériel peut combiner arbitrairement des objets de types différents, et le choix du système étudié comporte généralement une part d’arbitraire selon le problème.

💡 Astuce mémo

Point matériel concentré en un point, solide rigide étendu mais indéformable.

📖 6. Référentiels et degrés de liberté

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : Ensemble de points fixes les uns par rapport aux autres, par rapport auquel on repère une position ou une orientation et on étudie un mouvement.
• Degrés de liberté : Variables scalaires indépendantes nécessaires pour caractériser sans ambiguïté la position et, le cas échéant, l’orientation d’un système.

★ À maîtriser

• Un point matériel possède 3 degrés de liberté dans l’espace 3D et 2 dans un plan 2D, correspondant à ses coordonnées cartésiennes.

• Un solide rigide possède 6 degrés de liberté en 3D, soit 3 de translation et 3 de rotation, et 3 en 2D, soit 2 de translation et 1 de rotation.

Compléments

• Un repère cartésien comprend une origine fixe dans le référentiel et trois axes perpendiculaires deux à deux.

• Les référentiels usuels sont : le référentiel terrestre ou du laboratoire, le référentiel héliocentrique d’origine située au centre de masse du système solaire, le référentiel géocentrique d’origine située au centre de la Terre, ces deux derniers ayant leurs axes orientés vers

• Le référentiel terrestre, qui tourne sur lui-même et autour du Soleil, n’est pas immobile dans les référentiels héliocentrique et géocentrique.

• Les liaisons entre les sous-parties d’un système peuvent réduire son nombre de degrés de liberté effectifs.

• Un fluide ou un solide déformable possède une infinité de degrés de liberté, car sa description nécessite de connaître la position ou au moins la vitesse de tous ses points.

• Un pendule simple constitué d’un point matériel relié à une ficelle inextensible tendue possède 2 degrés de liberté, réduits à 1 si une liaison pivot impose un mouvement dans un plan.

• Un cylindre posé sur un plan et restant en contact possède 2 degrés de liberté de translation et 2 de rotation, mais le roulement sans glissement réduit ce nombre à 1.

📖 7. Cinématique et centre de masse

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre de masse : Le centre de masse C d’un système de N masses ponctuelles est le point dont la position vérifie $\overrightarrow{OC}=\frac{\sum_i m_i\overrightarrow{OM_i}}{\sum_i m_i}$.
• Vecteur position : Dans un référentiel donné, le vecteur position d’un point matériel M à l’instant t est le vecteur $\overrightarrow{OM}(t)$, où O est l’origine du repère.
• Équilibre statique : Lorsque la vitesse de tous ses points est constamment nulle.

★ À maîtriser

📐 Formule - La vitesse et l’accélération d’un point matériel sont définies par $\vec{v}_M(t)=\frac{d}{dt}\overrightarrow{OM}(t)$ et $\vec{a}_M(t)=\frac{d}{dt}\vec{v}_M(t)=\frac{d^2}{dt^2}\overrightarrow{OM}(t)$.

📌 La vitesse et l’accélération dépendent du référentiel, mais elles ne dépendent pas du choix de l’origine O dans un référentiel donné.

📌 Un mouvement rectiligne uniforme a une vitesse vectorielle constante et une accélération nulle, tandis qu’un mouvement uniforme a seulement une vitesse de norme constante et peut avoir une accélération non nulle lorsque sa direction varie.

Compléments

• La position du centre de masse est la moyenne vectorielle des positions des masses ponctuelles, pondérée par leurs masses.

• La position du centre de masse ne dépend pas de l’origine O du repère, ce qui s’exprime par $\sum_i m_i\overrightarrow{CM_i}=\vec{0}$.

📌 Pour un système terrestre de taille petite devant le rayon de la Terre, le centre de masse C et le centre de gravité G sont confondus.

• Pour trois boules homogènes de même masse, le centre de masse du système est situé au point de concours des médianes du triangle formé par leurs centres géométriques.

📖 8. Forces et lois de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Force : Modèle mathématique caractérisé par un vecteur et un point d’application.
• Quantité de mouvement : La quantité de mouvement d’une masse ponctuelle est le vecteur $\vec{p}_i=m_i\vec{v}_i$, et celle d’un système est la somme vectorielle $\vec{P}_{\mathrm{tot}}=\sum_i m_i\vec{v}_i=m_{\mathrm{tot}}\vec{v}_C$.
• Droite d’action : La droite d’action d’une force passe par son point d’application et a la direction de son vecteur.

★ À maîtriser

📌 Les forces intérieures sont exercées par une sous-partie du système sur une autre, tandis que les forces extérieures sont exercées sur le système par le reste du monde.

📐 Formule - La résultante des forces extérieures exercées sur un système est leur somme vectorielle, soit $\vec{F}_{\mathrm{ext,tot}}=\sum_i\vec{F}_{\mathrm{ext},i}$.

📌 Un système isolé ne subit aucune force extérieure, tandis qu’un système quasi-isolé ou pseudo-isolé subit des forces extérieures dont la résultante est nulle.

• Le principe d’inertie définit les référentiels galiléens comme une famille de référentiels dans lesquels le centre de masse de tout système isolé ou pseudo-isolé est en translation rectiligne uniforme.

📌 Dans un référentiel galiléen, la quantité de mouvement totale d’un système matériel fermé isolé ou pseudo-isolé reste constante au cours du temps.

📐 Formule - Dans un référentiel galiléen, la deuxième loi de Newton s’écrit $m_{\mathrm{tot}}\frac{d\vec{v}_C}{dt}=\vec{F}_{\mathrm{ext,tot}}$.

Compléments

• La norme d’une force a la dimension $M.L.T^{-2}$ et s’exprime en newtons, avec $1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kg.m.s^{-2}}$.

• La pesanteur terrestre est une force intérieure si le système comprend la Terre et une force extérieure si le système ne la comprend pas.

• Si le système comprend la Terre, un objet posé sur celle-ci et l’atmosphère, sa description est très compliquée ; si le système est l’objet seul, la Terre et l’atmosphère exercent sur lui des actions extérieures.

• Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour des expériences de laboratoire de courte durée lorsque les effets de la rotation de la Terre sont négligeables.

• Pour appliquer la conservation de la quantité de mouvement à une fusée qui éjecte des gaz, il faut considérer l’ensemble constitué de la fusée, du carburant et des gaz éjectés, dont la masse totale reste constante.

• La deuxième loi de Newton appliquée à un système matériel décrit le mouvement de son centre de masse, mais ne renseigne ni sur le mouvement individuel de ses masses ponctuelles ni sur sa rotation.

📐 Formule - En termes de quantité de mouvement, le principe fondamental de la dynamique s’écrit $\frac{d\vec{P}_{\mathrm{tot}}}{dt}=\vec{F}_{\mathrm{ext,tot}}$ et s’applique ici aux systèmes de masse constante.

📖 9. Moments et équilibre rotationnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Équilibre translationnel : Vérifié lorsque la résultante des forces extérieures est nulle, ce qui entraîne l’immobilité ou le mouvement rectiligne uniforme de son centre de masse.
• Couple de forces : Un ensemble de deux forces dont la somme vectorielle est nulle et dont les droites d’action sont distinctes.
• Moment d’une force : Le moment d’une force appliquée en P par rapport à O est le vecteur produit vectoriel de $\overrightarrow{OP}$ par la force, soit $\overrightarrow{M_O}(\vec{F})=\overrightarrow{OP}\wedge\vec{F}$ ; il mesure la capacité de la force à produire une rotation autour d’un axe passant par O et s’exprime en N·m.
• Bras de levier : Le bras de levier d’une force par rapport à O est la distance perpendiculaire entre O et la droite d’action de la force, et le module du moment vaut le produit de cette distance par l’intensité de la force.
• Équilibre rotationnel : Exige que la somme vectorielle des moments des forces agissant sur le système, calculés par rapport à un point O, soit nulle.

★ À maîtriser

📌 La troisième loi de Newton, ou principe des actions réciproques, impose que deux systèmes en interaction exercent l’un sur l’autre des forces de même intensité, de même direction, de sens opposés et de même droite d’action.

• 🔄 L’étude de l’équilibre translationnel suit ces étapes :
  1. Choisir le système étudié
  2. Inventorier les forces extérieures
  3. Écrire leur somme vectorielle nulle
  4. Projeter l’équation sur des axes adaptés
  5. Résoudre le système d’équations scalaires

Compléments

• Le principe des actions réciproques implique que la résultante des forces intérieures sur un système est nulle.

📌 Lorsque deux forces assurent l’équilibre translationnel, elles ont la même intensité et des sens opposés ; pour trois forces, leur somme vectorielle est nulle et elles sont coplanaires.

• Le moment d’une force dépend généralement du point de référence choisi, tandis que sa direction et son sens indiquent respectivement l’axe et le sens de rotation qu’elle tend à induire.

📌 Si $\overrightarrow{OP}$ est colinéaire à la force, le moment est nul ; si ces vecteurs sont perpendiculaires, le module du moment est maximal.

📌 Lorsque l’équilibre translationnel est vérifié, la somme des moments des forces ne dépend plus du point de référence choisi ; pour un couple, le moment total est indépendant du point de référence même sans cette condition.

• 🔄 L’étude de l’équilibre d’un solide rigide suit ces étapes :
  1. Choisir le système
  2. Choisir un référentiel
  3. Inventorier les forces extérieures
  4. Écrire les conditions d’équilibre translationnel et rotationnel
  5. Projeter les équations sur des axes adaptés

💡 Astuce mémo

Imagine un levier : plus la force agit loin de l’axe, plus son moment est grand.

📖 10. Équilibre sous deux ou trois forces

🔑 Notions clés & Définitions

• Levier : Axe comportant un pivot P, le point M d’application de la force motrice et le point R d’application de la force résistante.
• Pesanteur : Force exercée par la Terre sur un système de masse m, de faible dimension à l’échelle terrestre et proche de la surface ; elle est dirigée vers le centre terrestre et s’applique au centre de masse du système.

★ À maîtriser

📌 Un solide soumis à deux forces est en équilibre si elles sont opposées, de même intensité et si leurs droites d’action sont confondues.

📌 Un solide soumis à trois forces non parallèles est en équilibre si leur somme vectorielle est nulle et si leurs trois droites d’action sont concourantes.

📐 Formule - À l’équilibre de la balance romaine, le rapport des masses vérifie $\frac{m_1}{m_2}=\frac{PM_2}{PM_1}$.

• À l’équilibre d’un levier, les moments de la force motrice et de la force résistante par rapport au pivot se compensent.

📐 Formule - Deux masses ponctuelles m_A et m_B séparées par la distance AB s’attirent selon $\vec F_{A\to B}=-G\frac{m_A m_B}{AB^2}\vec u_{AB}$, où $\vec u_{AB}=\frac{\overrightarrow{AB}}{AB}$.

📐 Formule - Pour un système de masse m proche de la surface terrestre, son poids vérifie $\vec F_{T\to S}=m\vec g$, avec $\vec g=-g\vec u_z$ et $g=\frac{GM_T}{R_T^2}$.

Compléments

• Un solide pesant suspendu à un fil en équilibre a le centre de gravité aligné verticalement avec le point d’accrochage, car la traction et le poids ont la même droite d’action.

📌 Pour un solide soumis à trois forces parallèles en équilibre, les droites d’action sont parallèles et coplanaires, et les rapports entre les bras de levier sont inversement proportionnels aux rapports des forces correspondantes.

• Pour une balance romaine avec PM₁ = 1 cm et m₂ = 1 kg, la position d’équilibre de M₂ en centimètres indique la masse m₁ en kilogrammes.

📌 Les forces de contact comprennent notamment les réactions normale et tangentielle entre solides ainsi que la traction d’une corde, tandis que les interactions électrostatique et gravitationnelle agissent à distance.

• La constante gravitationnelle vaut approximativement $G=6{,}674\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$.

• Avec M_T ≈ 5,972 × 10²⁴ kg et R_T ≈ 6371 km, l’accélération de la pesanteur vaut environ 9,816 m·s⁻² ; sa valeur normale à Paris est g₀ = 9,80665 m·s⁻².

📌 Le centre de gravité peut être confondu avec le centre de masse lorsque le champ gravitationnel est homogène à l’échelle du système ; la simplification ponctuelle décrite est valable si la masse volumique terrestre ne dépend que de la distance au centre et si les dimensions de l’objet sont négligeables devant le rayon terrestre.

• Dans une balance romaine simplifiée, une barre de masse négligeable est suspendue au pivot P, la charge de masse m₁ est accrochée en M₁ et le contrepoids de masse m₂ est mobile en M₂.

📖 11. Contacts, frottements et traction

🔑 Notions clés & Définitions

• Moufle : Association de plusieurs poulies sur un même support.
• Palan : Association de deux moufles dans lesquelles passe le même fil.

★ À maîtriser

📐 Formule - La réaction de contact se décompose en $\vec R=\vec N+\vec T$, où $\vec N\parallel\vec n$ et $\vec T\perp\vec n$.

📐 Formule - En glissement, le frottement dynamique vérifie $\|\vec T\|=\mu_D\|\vec N\|$ ; sans glissement, le frottement statique vérifie $\|\vec T\|\leq\mu_S\|\vec N\|$, avec $0\leq\mu_D\leq\mu_S$, sans que ces coefficients soient nécessairement inférieurs ou égaux à 1.

📐 Formule - Sur un plan incliné, l’équilibre statique est possible si $|\theta|\leq\arctan(\mu_S)$ ; au-delà, le solide glisse.

📌 À l’équilibre, une poulie parfaite, sans masse et sans frottements, conserve la tension du fil tout en permettant d’en changer la direction.

Compléments

• La réaction normale est opposée à la normale sortante, et la réaction tangentielle est opposée au glissement relatif, effectif ou virtuellement induit par les autres forces.

📐 Formule - Lors d’un glissement à vitesse constante sur un plan incliné, l’équilibre impose $\tan\theta=\mu_D$.

• 🔄 Le basculement suit cette succession :
  1. La droite d’action du poids dépasse le coin inférieur E.
  2. Le point d’application de la réaction reste bloqué en E.
  3. Le moment du poids provoque une rotation autour de E.

📌 Dans le modèle idéal d’un fil inextensible, sans masse et sans raideur, la traction est colinéaire au fil, sa tension T est positive ou nulle, et elle s’applique au point d’attache.

📖 12. Travail, puissance et énergie cinétique

🔑 Notions clés & Définitions

• Travail d’une force : Grandeur scalaire qui quantifie l’énergie transférée au système lorsque le point d’application de la force se déplace.
• Énergie cinétique : Énergie qu’un système possède du fait de son mouvement.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le travail élémentaire d’une force lors du déplacement infinitésimal de son point d’application est $\delta W(\vec F)=\vec F\cdot d\vec\ell$ ; de A à B, $W_{A\to B}(\vec F)=\int_A^B\vec F\cdot d\vec\ell$.

📐 Formule - La puissance moyenne est $P_{\mathrm{moy}}=\frac{W_{A\to B}}{T}$ et la puissance instantanée est $P_{\mathrm{inst}}=\vec F\cdot\vec v$.

📐 Formule - L’énergie cinétique d’une masse ponctuelle m_i de vitesse v_i vaut $E_{c,i}=\frac12m_i\|\vec v_i\|^2$, et celle d’un ensemble de masses ponctuelles vaut $E_c=\sum_i\frac12m_i\|\vec v_i\|^2$.

Compléments

• Le travail dépend généralement du chemin suivi ; lorsque la force est constante, $W_{A\to B}=\vec F\cdot\overrightarrow{AB}$ et il ne dépend pas du chemin.

• Le travail est positif si le déplacement se fait dans le sens de la force, négatif s’il se fait dans le sens opposé, et nul si la force est perpendiculaire au déplacement ou si son point d’application ne bouge pas.

📐 Formule - Le travail du poids entre les altitudes z_A et z_B vaut $W_{A\to B}(m\vec g)=mg(z_A-z_B)$.

📐 Formule - Pour une rotation autour d’un axe fixe à la vitesse angulaire ω, la puissance mécanique peut s’écrire $P=M_{O,z}(\vec F)\,\omega$.

📐 Formule - Pour un système en translation uniforme sans rotation, l’énergie cinétique vaut $E_c=\frac12m\|\vec v_C\|^2$, où m est sa masse totale et v_C la vitesse de son centre de masse.

• L’énergie cinétique totale d’un système constitué de masses ponctuelles est la somme des énergies cinétiques de ses constituants.

• L’unité SI de la puissance est le watt, de symbole W.

📖 13. Description microscopique des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Fluide : Milieu continu parfaitement déformable, sans rigidité, qui peut s’écouler sous l’action de forces extérieures et prend au repos la forme de son récipient.

★ À maîtriser

📌 Un gaz occupe tout le volume de son récipient, tandis qu’un liquide n’en occupe qu’une partie et forme une surface libre en présence d’une phase gazeuse ou de l’atmosphère.

• Aux conditions normales de température et de pression, avec $T=273\,\mathrm{K}$ et $p=101\,325\,\mathrm{Pa}$, la masse volumique des liquides est de l’ordre de $10^3\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ et celle des gaz de l’ordre de $1\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$, soit environ trois ordres de grandeur d’écart.

• Dans un fluide, les atomes et molécules sont en mouvement incessant et désordonné sous l’effet de l’agitation thermique et de leurs interactions, et changent constamment de voisins, même lorsque le fluide ne s’écoule pas à l’échelle macroscopique.

📌 Le mouvement moléculaire désigne l’agitation des particules, tandis que le mouvement macroscopique du fluide désigne le mouvement d’ensemble observé à l’échelle humaine.

• À volume égal, un liquide contient environ $10^3$ fois plus de molécules qu’un gaz.

📌 Un gaz se comprime facilement, tandis qu’un liquide est quasiment incompressible.

• La forme d’une surface libre résulte de l’équilibre entre les effets de surface et la pesanteur : une petite goutte est sphérique, une goutte plus grande s’aplatit et une grande surface libre devient horizontale.

Compléments

📌 Les fluides simples, dits newtoniens, comprennent les gaz purs et mélanges gazeux, la plupart des solutions aqueuses peu concentrées et les huiles, tandis que les fluides complexes ou non newtoniens présentent une microstructure liée à des interactions spécifiques.

• Les fluides complexes comprennent notamment : le miel, le ketchup, les peintures, les shampoings, les savons liquides, le sang, le mucus, les laves, les boues, les sables secs ou humides et les avalanches de neige

• La masse volumique du mercure peut atteindre $13\,600\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ et celle du radon $9.73\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$.

• Les dimensions caractéristiques des atomes et des molécules sont de l’ordre de $1\,\text{Å}=10^{-10}\,\mathrm{m}=0.1\,\mathrm{nm}$.

• Dans les conditions normales de pression et de température, la vitesse des molécules d’un gaz peut atteindre plusieurs centaines de mètres par seconde.

📌 Dans un liquide, les distances intermoléculaires sont de l’ordre de $0.1\,\mathrm{nm}$, comme dans un solide, tandis que dans un gaz elles sont de l’ordre de $3\,\mathrm{nm}$ aux conditions normales de pression et de température.

📌 Dans un gaz, les forces d’attraction intermoléculaire sont faibles et sont supposées nulles dans le modèle du gaz parfait, tandis que dans un liquide elles maintiennent les molécules proches les unes des autres malgré l’agitation thermique.

• Un gaz occupe tout le volume disponible et ne présente pas de surface de séparation entre deux gaz de natures différentes mis en contact.

📖 14. Description continue des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Particule fluide : Ensemble de molécules identifiées par la pensée, contenues initialement dans un volume mésoscopique de taille L, grand devant l’échelle microscopique et petit devant l’échelle macroscopique.
• Coefficient de compressibilité isotherme : Relie, à température fixée, la variation relative de masse volumique à une variation de pression et s’exprime en Pa⁻¹.

★ À maîtriser

• La taille L d’une particule fluide est très petite devant la distance caractéristique de variation de la vitesse, mais très grande devant la distance moyenne entre molécules et le libre parcours moyen.

📌 Le point de vue eulérien décrit les grandeurs physiques en des points fixes du laboratoire, tandis que le point de vue lagrangien suit individuellement les particules fluides dans leur mouvement.

📐 Formule - À température fixée, la variation relative de masse volumique vérifie $\frac{\Delta \rho}{\rho}=\chi_T\Delta p$.

• Le coefficient de compressibilité isotherme de l’eau vaut 5 × 10⁻¹⁰ Pa⁻¹, tandis que celui de l’air vaut 10⁻⁵ Pa⁻¹.

• L’eau est approximée comme un fluide incompressible, dont la masse volumique est indépendante de la pression et dont le volume d’une particule suivie dans son mouvement est considéré comme constant.

Compléments

• La description microscopique d’un fluide macroscopique est impraticable en raison du nombre colossal de molécules ; un centimètre cube d’air contient plus de 10¹⁹ molécules aux CNTP.

• En statique des fluides, les grandeurs considérées sont eulériennes et la vitesse eulérienne est nulle en tout point, même si les molécules restent en mouvement microscopique à cause de l’agitation thermique.

📌 Un écoulement stationnaire présente des grandeurs eulériennes indépendantes du temps, mais celles-ci peuvent varier d’un point à l’autre ; la statique des fluides est un cas particulier de problème stationnaire.

• Pour augmenter de 5 % la masse volumique de l’air, il faut augmenter la pression de 5 000 Pa, soit environ un vingtième de la pression atmosphérique.

💡 Astuce mémo

Lagrangien : suivre la particule ; eulérien : observer un point fixe.

📖 15. Équilibre hydrostatique du fluide

🔑 Notions clés & Définitions

• Pression : La pression est le rapport entre la norme de la force exercée par un fluide sur une paroi et l’aire de cette paroi ; c’est une grandeur scalaire positive, homogène à une force par unité de surface ou à une énergie par unité de volume.

★ À maîtriser

• Dans un fluide au repos, la pression en un point est indépendante de l’orientation de la surface sur laquelle elle s’exerce : elle est isotrope.

📐 Formule - La force élémentaire de pression exercée par un fluide sur une surface de contact orientée est $d\vec{F}_p(M)=-p(M)\vec{n}(M)dS$, où la normale unitaire est orientée vers l’extérieur du système.

• La pression est continue à la traversée d’une interface entre deux fluides au repos.

• À une surface libre plane séparant un liquide au repos de l’air ambiant, la pression dans le liquide près de la surface est égale à la pression atmosphérique : $p_1=p_{atm}$.

• Dans un fluide au repos soumis à la pesanteur, la pression augmente avec la profondeur et ne varie pas dans un plan horizontal.

📐 Formule - Dans un fluide au repos de masse volumique locale ρ(z), avec l’axe vertical orienté vers le haut, l’équilibre hydrostatique vérifie $\frac{dp(z)}{dz}=-\rho(z)g$.

Compléments

• La pression s’exprime en pascals, avec 1 Pa = 1 N m⁻² ; les équivalences usuelles sont 1 bar = 10⁵ Pa, 1 mbar = 100 Pa = 1 hPa, 1 atm = 101 325 Pa et 1 Torr = 133,22 Pa.

📐 Formule - La résultante des forces de pression sur une surface totale S est $\vec{F}_p=\iint_S -p(M)\vec{n}(M)dS(M)$.

📌 Dans un fluide en mouvement, la pression reste isotrope et la force de pression normale à la surface, mais des forces de frottement visqueux tangentes à la surface s’ajoutent et s’opposent au mouvement relatif.

• Pour un fluide au repos sous un piston sans frottement de masse M et de rayon r, soumis à la pression atmosphérique extérieure, la pression intérieure à l’équilibre vaut $p_{int}=p_{atm}+\frac{Mg}{\pi r^2}$.

• Une interface est une surface qui sépare deux milieux en contact.

📐 Formule - Dans un champ de pesanteur uniforme, l’équilibre d’un fluide vérifie $\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,p=\rho\vec{g}$.

• Les surfaces isobares d’un fluide au repos sont perpendiculaires à la pesanteur, donc horizontales, et la pression croît dans le sens de la pesanteur.

• Si l’axe vertical est orienté vers le bas, la pression augmente avec la coordonnée verticale et l’équation hydrostatique ne comporte pas de signe négatif devant ρg.

💡 Astuce mémo

Pression croissante vers le bas, constante à l’horizontale

📖 16. Théorème de Pascal et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Poussée d’Archimède : Résultante des forces de pression exercées par un fluide au repos sur un objet immergé ; elle est verticale, dirigée vers le haut et égale au poids du fluide déplacé.

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un fluide au repos de masse volumique constante, le théorème de Pascal s’écrit $p(z_A)+\rho g z_A=p(z_B)+\rho g z_B$, ou $p(z)+\rho g z=\text{constante}$.

• Dans des vases communicants ouverts à l’air, les surfaces libres du même liquide au repos sont à la même altitude et sont horizontales, quelle que soit la forme des récipients.

• Dans un tube de Torricelli, le liquide est en équilibre avec sa vapeur, dont la pression est négligeable devant la pression atmosphérique, et la relation de mesure est $p_{\mathrm{atm}}=\rho gh$.

• La balance hydrostatique montre qu’un solide immergé subit une force verticale dirigée vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé.

📐 Formule - Pour un objet immergé déplaçant un volume de fluide V_i de masse volumique ρ, la poussée d’Archimède vaut $\vec{\Pi}_A=-\rho V_i\vec{g}$.

Compléments

📌 Le théorème de Pascal s’applique entre deux points si la masse volumique du fluide est homogène sur tout le chemin qui les relie, lequel peut être curviligne.

• À 20 °C, la pression de vapeur saturante vaut 0,16 Pa pour le mercure et 2,3 kPa pour l’eau.

• Pour une pression atmosphérique de 10⁵ Pa, la hauteur d’équilibre du liquide dans un baromètre est d’environ 10 m pour l’eau (ρ = 10³ kg/m³) et 76 cm pour le mercure (ρ = 13,5 × 10³ kg/m³).

📐 Formule - Sur une paroi verticale de largeur L et de hauteur h, la résultante des forces de pression de l’eau, pression atmosphérique comprise, est $\vec{F}_p=-Lh\left(p_{\mathrm{atm}}+\frac{1}{2}\rho_{\mathrm{eau}}gh\right)\vec{e}_x$.

• La démonstration du principe d’Archimède consiste à comparer les forces de pression exercées sur un volume de fluide au repos et sur un solide de même forme placé au même endroit.

• Le centre de poussée se situe au centre de masse du volume de fluide déplacé.

📖 17. Flottaison et stabilité des corps

🔑 Notions clés & Définitions

• Poids apparent : Somme vectorielle de son poids et de la poussée d’Archimède, soit $(\rho_s-\rho)V\vec{g}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un solide moins dense que le fluide, l’équilibre en flottaison vérifie $\rho_s V=\rho V_i$, donc $V_i=\frac{\rho_s}{\rho}V$ et le volume immergé est inférieur au volume total.

📌 Pour qu’un objet complètement immergé soit en équilibre stable, son centre de gravité doit se situer au-dessous de son centre de poussée.

Compléments

📌 Un solide complètement immergé et en équilibre sous l’action de son poids et de la poussée d’Archimède doit avoir une masse volumique égale à celle du fluide.

• Un solide moins dense que le fluide tend à remonter lorsqu’il est totalement immergé, tandis qu’un solide plus dense tend à couler.

📌 L’équilibre translationnel d’un objet complètement immergé exige que la somme vectorielle de son poids et de la poussée d’Archimède soit nulle.

📌 L’équilibre rotationnel d’un objet complètement immergé exige que les droites d’action du poids et de la poussée d’Archimède soient confondues, donc que leurs centres soient alignés sur la même verticale.

• Pour un corps flottant, le métacentre est l’intersection des droites d’action de la poussée d’Archimède lorsque la coque s’incline, et un métacentre plus haut indique un navire plus stable.

💡 Astuce mémo

Centre de gravité sous le centre de poussée : équilibre stable

📖 18. Expériences sur la pression atmosphérique

★ À maîtriser

• En 1654, Otto von Guericke montre que deux hémisphères de Magdebourg assemblés et vidés d’air ne peuvent être séparés par deux attelages de huit chevaux, mais se séparent facilement quand l’air y pénètre de nouveau.

📐 Formule - La résultante des forces de pression sur l’hémisphère fermé vérifie $\Pi_A=-F_M+p_{atm}\pi R^2$ selon l’axe vertical considéré.

• Pour un diamètre de 40 cm, la contribution de la pression atmosphérique sur le disque vaut $p_{atm}\pi R^2\simeq12{,}5\,\mathrm{kN}$ et la force nécessaire pour séparer les hémisphères est donc environ 12,5 kN, équivalant au poids d’une masse de 1,25 tonne.

Compléments

• En 1660, Robert Boyle présente une pompe à air formée d’un globe de verre contenant le baromètre et d’un piston de pompage ; quand l’air est pompé, le niveau du mercure baisse jusqu’à une hauteur proche de celle du mercure dans la cuve.

• En 1650, Otto von Guericke invente la pompe à air après avoir pris connaissance des expériences de Pascal et de Torricelli sur la pression atmosphérique.

• En 1676, Edme Mariotte plonge le baromètre de Torricelli dans l’eau à différentes profondeurs et observe des variations de hauteur de la colonne de mercure, qui confirment par analogie l’action de la pression atmosphérique.

📐 Formule - Le volume d’un hémisphère de rayon $R$ fermé par un disque vaut $V_i=\frac{2}{3}\pi R^3$.

• La poussée d’Archimède sur un hémisphère fermé immergé dans l’air vaut $\vec{\Pi}_A=-\rho_a V_i\vec{g}$, avec une masse volumique de l’air d’environ 1,2 kg·m⁻³.

• Pour un rayon de 0,2 m, la valeur de la poussée d’Archimède sur l’hémisphère fermé est d’environ 0,2 N.

💡 Astuce mémo

Torricelli mesure, Pascal compare, Boyle raréfie l’air.

📖 19. Tension interfaciale et loi de Laplace

🔑 Notions clés & Définitions

• Tension interfaciale : Propriété de l’interface entre deux fluides, liée à la dissymétrie des interactions moléculaires près de celle-ci, qui mesure sa résistance à l’augmentation de sa surface.

★ À maîtriser

📐 Formule - La loi de Laplace relie le saut de pression à la courbure et à la tension interfaciale : $p_1-p_2=C\gamma_{12}$.

• Dans une interface courbe, le fluide situé à l’intérieur de la courbure a une pression supérieure à celle du fluide situé à l’extérieur, et le saut augmente avec la courbure et la tension interfaciale.

Compléments

📐 Formule - Le travail élémentaire nécessaire pour augmenter l’aire d’une interface de $dS$ est $dW_s=\gamma_{12}dS$, où la tension interfaciale s’exprime en J·m⁻² ou en N·m⁻¹ et a pour dimension $[MT^{-2}]$.

• À 20 °C, la tension superficielle de l’eau pure vaut 72 mJ·m⁻², soit 72 mN·m⁻¹.

• Les phénomènes capillaires dominent typiquement à des échelles inférieures à 3 mm et peuvent être négligés dans les écoulements dont l’échelle dépasse quelques millimètres.

📐 Formule - La courbure moyenne d’une interface sphérique de rayon $R$ vaut $C=\frac{2}{R}$.

📌 À travers une interface plane entre deux fluides, la pression est continue et vérifie $p_1=p_2$.

• Pour que le saut de pression atteigne au moins 1 % de la pression atmosphérique, soit 10³ Pa, le rayon de courbure doit être inférieur à 150 µm.

💡 Astuce mémo

Courbure plus forte → saut de pression plus grand.

📖 20. Température et agitation microscopique

🔑 Notions clés & Définitions

• Système fermé : Système qui n’échange pas de matière avec le milieu extérieur, mais peut échanger de l’énergie.
• Équilibre thermodynamique : Un système est à l’équilibre thermodynamique lorsqu’en l’absence de transport d’énergie ou de matière, il n’évolue pas à l’échelle macroscopique.
• Température : Variable d’état qui ne s’associe pas à une quantité mécanique macroscopique et donne une indication approximative du degré d’agitation des constituants élémentaires.
• Système ouvert : Système qui échange de la matière avec le milieu extérieur, de sorte que sa quantité de matière n’est pas nécessairement conservée.

★ À maîtriser

• L’état d’équilibre thermodynamique de la matière peut être caractérisé par un petit nombre de variables ou fonctions d’état malgré le très grand nombre de degrés de liberté microscopiques.

📐 Formule - La conversion d’une température t en degrés Celsius en température T en kelvins est $T = t + 273{,}15$.

📌 Aucun système à l’équilibre stable ne peut avoir une température négative en kelvins ; zéro kelvin est appelé zéro absolu.

Compléments

📌 Un régime stationnaire peut rester hors équilibre lorsqu’un transfert continu d’énergie ou de matière traverse le système, même si son état macroscopique ne varie pas dans le temps.

• La pression et la température ne sont définies qu’à l’équilibre thermodynamique, à son voisinage ou dans certains régimes stationnaires, tandis que l’énergie et le volume peuvent avoir un sens hors équilibre.

• À partir de trois corps en interaction, les mouvements peuvent devenir chaotiques et des trajectoires peuvent diverger fortement malgré des conditions initiales très proches.

• La mécanique statistique démontre l’hypothèse évoquée sur le comportement microscopique des systèmes.

• La température peut être mesurée par :

  • un thermomètre à alcool
  • une sonde thermocouple
  • une résistance de platine
  • le rayonnement infrarouge

• Les températures les plus basses obtenues en laboratoire sont de l’ordre du nanokelvin, dans des gaz d’atomes extrêmement dilués d’une densité de l’ordre de $10^{15}$ atomes/cm³.

• La température à la surface du Soleil est de l’ordre de 5000 K, tandis que celle d’une supernova peut dépasser $10^9$ K.

📖 21. Variables d’état et équations d’état

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation d’état : Relation entre différentes variables thermodynamiques, généralement la pression, le volume, la quantité de matière et la température.
• Énergie interne : Énergie associée aux degrés de liberté microscopiques d’un système, considérée dans le référentiel où celui-ci est au repos.

★ À maîtriser

📌 Une variable intensive ne dépend pas de la quantité de matière, tandis qu’une variable extensive lui est directement proportionnelle et s’additionne entre deux parties d’un système.

• La pression, la température et la masse volumique sont des variables intensives, tandis que l’énergie et le volume sont des variables extensives.

📐 Formule - Pour n moles de gaz parfait à l’équilibre thermodynamique, l’équation d’état est $pV = nRT$, avec $R = 8{,}314\ldots\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$.

📐 Formule - L’énergie totale E d’un système matériel est la somme de son énergie mécanique Em et de son énergie interne U : $E=E_m+U$.

• L’énergie interne est une grandeur extensive : pour un échantillon composé de deux parties, elle est la somme des énergies internes de ces parties.

Compléments

• Pour une quantité de matière fixée d’un corps pur, la pression et la température suffisent à caractériser l’état d’équilibre thermodynamique.

📌 L’équation du gaz parfait s’emploie avec p en pascals, V en mètres cubes, T en kelvins et n en moles ; elle décrit très bien les gaz dilués dont les constituants sont neutres.

📐 Formule - Dans un mélange de k gaz parfaits, chaque espèce i vérifie $p_iV=n_iRT$, et la pression totale et la quantité de matière totale sont respectivement $p=\sum_{i=1}^{k}p_i$ et $n=\sum_{i=1}^{k}n_i$.

📐 Formule - Pour n moles, l’équation de van der Waals est $\left(p+\frac{n^2a}{V^2}\right)(V-nb)=nRT$, où a et b sont des paramètres intensifs positifs.

• À basse densité, les termes de l’équation de van der Waals qui dépendent de n/V deviennent négligeables et l’équation se réduit à celle du gaz parfait.

• Pour un système homogène, l’énergie interne correspond aux degrés de liberté microscopiques, tels que les vitesses des atomes et les rotations des molécules.

📐 Formule - Pour le système isolé constitué de l’air, de la table et du tampon qui s’arrête, la conservation de l’énergie donne $E_{m,f}+U_f=E_{m,i}+U_i$, donc $U_f-U_i=\frac{1}{2}mv_0^2$.

💡 Astuce mémo

Intensive : ne se partage pas ; extensive : s’additionne entre sous-systèmes.

📖 22. Premier principe et échanges énergétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Énergie interne : Une fonction d’état qui, avec l’énergie mécanique E_m, compose l’énergie totale E.
• Transformation adiabatique : Une transformation sans transfert thermique, pour laquelle $Q_{i\to f}=0$.

★ À maîtriser

• Le premier principe est nécessaire lorsque des transferts d’énergie, comme l’échauffement par frottement, la perte thermique d’une maison ou la rupture d’un solide, ne sont pas décrits par le seul travail des forces macroscopiques.

📌 Pour un système fermé passant d’un état d’équilibre initial i à un état final f, la variation d’énergie totale vérifie $E_f-E_i=W_{i\to f}+Q_{i\to f}$, où W est le travail des forces extérieures non prises en compte dans l’énergie mécanique et Q le transfert thermique reçu par le système.

📌 Le transfert thermique, aussi appelé chaleur, désigne les transferts d’énergie qui ne correspondent pas au travail de forces macroscopiques et ne doit pas être confondu avec la température.

Compléments

• Le travail et le transfert thermique sont des modes d’échange équivalents dans le bilan énergétique, propriété appelée équivalence chaleur-travail.

📌 Pour un système au repos dont l’énergie mécanique ne varie pas, le premier principe s’écrit $\Delta U=W+Q$.

📌 Pour une transformation infinitésimale, le bilan énergétique s’écrit $dE_m+dU=\delta W+\delta Q$ ; dU et dE_m sont des différentielles de fonctions d’état, contrairement à δW et δQ.

💡 Astuce mémo

Le travail macroscopique n’explique pas tous les échanges : le premier principe inclut aussi le transfert thermique.

📖 23. Capacité thermique à volume constant

🔑 Notions clés & Définitions

• Capacité thermique à volume constant : Définie par la relation $\delta Q_V=C_V\,dT$ pour une transformation infinitésimale à volume constant d’un système fermé au repos.
• Transformation isochore : Une transformation qui s’effectue à volume constant.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un système fermé déformable, le travail des forces pressantes extérieures s’écrit $W_{i\to f}=\int_{i\to f}p_{\mathrm{ext}}\,dV_{\mathrm{ext}}$.

📐 Formule - Lorsque $dV=-dV_{\mathrm{ext}}$, le travail pressant fourni au système vaut $W_{i\to f}=-\int_{i\to f}p_{\mathrm{ext}}\,dV$.

📌 Si la transformation est à chaque instant en équilibre mécanique et sans frottement à l’interface, alors p=p_ext et $W_{i\to f}=-\int_{i\to f}p\,dV$.

📐 Formule - À volume constant, la capacité thermique est la dérivée partielle de l’énergie interne par rapport à la température : $C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V$.

📐 Formule - À volume constant, le transfert thermique entre les températures T_i et T_f vaut $Q_{V,i\to f}=\int_{T_i}^{T_f}C_V\,dT=U(V,T_f)-U(V,T_i)$.

Compléments

📐 Formule - Pour un piston de section A soumis à la pression extérieure p_ext et déplacé de dx, le travail élémentaire fourni au système est $\delta W=p_{\mathrm{ext}}A\,dx$.

• Lorsque le volume de la matière V et le volume extérieur V_ext vérifient V+V_ext=constante, leurs variations satisfont $dV=-dV_{\mathrm{ext}}$.

• En présence de frottements entre le cylindre et le piston, il faut ajouter le travail de la force de frottement à l’expression du travail pressant calculée avec la pression du système.

• La capacité thermique C_V est une fonction d’état extensive, car l’énergie interne est extensive et la température est intensive.

📐 Formule - Si C_V est constante sur l’intervalle de température considéré, alors $Q_{V,i\to f}=C_V(T_f-T_i)$.

• Pour un système homogène de n moles, la capacité thermique est généralement de l’ordre de nR ; à température usuelle, un solide a approximativement C=3nR, un gaz parfait monoatomique C_V=\frac{3}{2}nR et un gaz parfait diatomique C_V=\frac{5}{2}nR.

• Les capacités thermiques peuvent être tabulées par mole sous forme de capacités molaires, notées c_V,n, ou par unité de masse sous forme de capacités massiques, notées c_V,m ou c.

📖 24. Bilans thermiques et mécaniques

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une résistance R parcourue par un courant i, le travail fourni par le générateur pendant dt vaut $\delta W=Ri^2\,dt$.

• Dans une résistance en régime stationnaire, l’énergie interne ne varie pas et le premier principe donne $\delta Q=-\delta W=-Ri^2\,dt$ ; la résistance cède ainsi de l’énergie thermique au milieu extérieur, phénomène appelé effet Joule.

📐 Formule - Pour deux objets isolés dans une enceinte calorifugée, sans variation de volume, la température finale est $T_f = \frac{m_1c_1T_1+m_2c_2T_2}{m_1c_1+m_2c_2}$.

📐 Formule - Pour le système tampon et table, le bilan d’énergie interne donne $Q_{i\to f}^{tampon}+Q_{i\to f}^{table}=\mu mgL>0$, tandis que le théorème de l’énergie cinétique donne $\frac12 mv_0^2=\mu mgL$.

Compléments

• Dans le modèle de Drude, la puissance fournie à un dipôle parcouru par un courant i et de tension u vaut P = ui en convention récepteur ; pour une résistance, u = Ri et le travail élémentaire vaut δW = Ri²dt.

• Pour le tampon qui glisse sur une table horizontale, la réaction tangentielle de frottement durant le glissement vaut $\vec R_t=-\mu mg\vec u_x$, où μ est le coefficient de frottement dynamique.

📐 Formule - Le travail de la force de frottement sur le tampon sur une distance L vaut $W_{i\to f}(\vec R_t)=-\mu mgL$.

📐 Formule - Si le tampon et la table atteignent une température finale commune et que leurs échanges thermiques avec l’air sont négligés, leur élévation de température vaut $T_f-T_i=\frac{\frac12 mv_0^2}{C_{tampon}+C_{table}}$.

📖 25. Enthalpie et capacités thermiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Enthalpie : La fonction d’état définie par H = U + pV.
• Capacité thermique molaire : La capacité thermique molaire à volume constant, c_Vn, ou à pression constante, c_pn, est le transfert thermique nécessaire pour élever d’un kelvin la température d’une mole du corps considéré à la contrainte correspondante.
• Capacité thermique massique : La capacité thermique massique à volume constant, c_Vm, ou à pression constante, c_pm, est le transfert thermique nécessaire pour élever d’un kelvin la température d’un kilogramme du corps considéré à la contrainte correspondante.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une transformation isobare, le transfert thermique vaut $Q_p=H(p,T_f)-H(p,T_i)$.

📐 Formule - La capacité thermique à pression constante est définie par $\delta Q_p=C_p\,dT$ et vaut $C_p=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p$.

Compléments

📐 Formule - À pression constante égale à celle du système, le travail des forces pressantes vaut $W_{i\to f}=-p(V_f-V_i)$.

📐 Formule - Pour une transformation isobare, le transfert thermique s’écrit $Q_p=\int_{T_i}^{T_f}C_p\,dT$ et, si C_p est constante, $Q_p=C_p(T_f-T_i)$.

📐 Formule - Dans un calorimètre parfait, le bilan d’enthalpie entre l’eau et le solide s’écrit $m_ec_e(T_f-T_e)+m_sc_s(T_f-T_s)=0$.

• Pour les liquides et solides incompressibles et indilatables, les capacités thermiques à volume constant et à pression constante sont confondues.

📐 Formule - En tenant compte de la capacité thermique du calorimètre, le bilan s’écrit $m_ec_e(T_f-T_e)+m_sc_s(T_f-T_s)+C_{cal}(T_f-T_c)=0$.

📖 26. Diagrammes et transitions de phase

🔑 Notions clés & Définitions

• Transition de phase : Transformation au cours de laquelle un système passe d’une phase à une autre.
• Diagramme de Clapeyron : Représentation des transformations quasi-statiques dans le plan pression-volume massique ou pression-volume molaire (p−v).

★ À maîtriser

• Dans un diagramme de Watt, le travail d’un cycle parcouru dans le sens trigonométrique est positif et égal à l’aire entourée par le cycle ; il est négatif pour le sens inverse.

📌 L’énergie interne et l’enthalpie sont des fonctions d’état dont les variations dépendent uniquement des états initial et final, tandis que le travail et le transfert thermique dépendent du chemin suivi.

• Dans le diagramme de phase d’un corps pur, chaque phase occupe une région du plan pression-température et les lignes de coexistence séparent les régions où deux phases peuvent coexister à l’équilibre.

Compléments

• Dans un diagramme de Watt (p−V), pour une transformation quasi-statique en équilibre mécanique avec l’extérieur, le travail fourni par le milieu extérieur correspond à l’opposé de l’aire sous la courbe lorsque le volume augmente, et à l’aire lorsque le volume diminue.

• Lors d’une transformation cyclique, les variations d’énergie interne et d’enthalpie sont nulles, tandis que la valeur absolue du travail et du transfert thermique correspond à l’aire du cycle dans le diagramme de Watt.

• Le point triple est l’intersection des domaines solide, liquide et gaz, où les trois phases sont à l’équilibre.

• Le point critique est l’extrémité de la ligne de coexistence liquide-gaz ; au-delà de la température critique, les phases liquide et gazeuse ne sont plus distinguées et le fluide est supercritique.

• Pour l’eau, le point triple se situe à 611 Pa et 273,16 K, et le point critique à 22,12 MPa et 374,15 °C.

• La glace standard a une masse volumique plus faible que l’eau liquide, propriété reliée aux liaisons hydrogène entre les molécules d’eau.

• Au voisinage du point critique, les fluctuations de densité peuvent diffuser la lumière et produire un brouillard critique.

• À la pression atmosphérique, l’eau liquide et la glace peuvent être en équilibre à 0 °C, soit 273,15 K, et l’eau bout à 100 °C sous 1 atm.

• Le cours répertorie dix-huit types de glace aux propriétés thermodynamiques différentes.

💡 Astuce mémo

Les fonctions d’état dépendent des états ; travail et chaleur dépendent du chemin

📖 27. Enthalpie de changement d’état

★ À maîtriser

• Lors d’une transition de phase du premier ordre, des phases coexistantes à l’équilibre ont généralement des valeurs différentes d’énergie interne, d’enthalpie et de masse volumique, et l’énergie interne ainsi que l’enthalpie présentent une discontinuité.

📐 Formule - L’enthalpie massique de changement d’état de a vers b vaut $h_{a\to b}=h_b-h_a$.

📐 Formule - Pour transformer une masse $\Delta m$ de l’état a à l’état b à l’équilibre, le transfert thermique vaut $Q_{a\to b}=\Delta m(h_b-h_a)$.

Compléments

📌 Les enthalpies de changement d’état massique des transformations inverses sont opposées : $h_{a\to b}=-h_{b\to a}$.

• L’enthalpie molaire de vaporisation de l’eau est positive, car transformer l’eau liquide en vapeur nécessite un apport d’énergie, tandis que la liquéfaction transfère l’énergie vers le milieu extérieur.

💡 Astuce mémo

Chauffer transfère de l’énergie ; échauffer augmente la température.

📖 28. Évaporation et applications quotidiennes

★ À maîtriser

📌 À température égale, si la pression partielle de vapeur d’eau dans l’air vérifie $p_v<p_{sat}(T)$, l’eau s’évapore sans ébullition.

• L’ébullition est un phénomène volumique, tandis que l’évaporation est un phénomène surfacique.

• À la pression atmosphérique, l’enthalpie massique de vaporisation de l’eau vaut $l_v=2257\ \mathrm{kJ\,kg^{-1}}$.

• Faire bouillir l’eau se décompose en son échauffement jusqu’à 100 °C, puis en la vaporisation d’une masse d’eau à température constante.

Compléments

📌 À température égale, si la pression partielle de vapeur d’eau vérifie $p_v=p_{sat}(T)$, les phases liquide et vapeur sont à l’équilibre.

📌 À température égale, si la pression partielle de vapeur d’eau vérifie $p_v>p_{sat}(T)$, de l’eau passe de la phase vapeur à la phase liquide.

• La nucléation des bulles d’ébullition se produit autour des impuretés du liquide ou à la surface du récipient, qui évitent la limite imposée par un rayon de bulle trop petit.

• Dans un autocuiseur, la coexistence liquide-vapeur se produit à une pression supérieure à la pression atmosphérique, ce qui élève la température d’ébullition au-dessus de 100 °C, typiquement à 120 °C.

• Lors de la cuisson à la vapeur, la vapeur saturante se liquéfie sur l’aliment et lui transfère l’énergie de condensation.

📐 Formule - Pour échauffer l’eau de la température initiale $t_i$ à la température finale $t_f$, le transfert thermique vaut $Q_p=m_ec_e(t_f-t_i)$.

📐 Formule - Pour vaporiser une masse $\Delta m$ d’eau, le transfert thermique vaut $Q_p=\Delta m l_v$.

📐 Formule - La mesure calorimétrique de l’enthalpie massique de fusion de la glace utilise le bilan $m_ec_e(T_f-T_e)+m_gc_g(T_{fus}-T_g)+m_gc_e(T_f-T_{fus})+m_gh_{fus}+C_{cal}(T_f-T_e)=0$.

💡 Astuce mémo

Évaporation en surface ; ébullition dans le volume.

📖 29. Transformations du gaz parfait

★ À maîtriser

• Dans la détente de Joule-Gay-Lussac, un gaz parfait se détend d’un compartiment vers un autre initialement vide dans une enceinte calorifugée à parois fixes, et son énergie interne reste constante.

📌 Pour une quantité de matière donnée, l’énergie interne d’un gaz parfait dépend uniquement de sa température et non du volume qu’il occupe.

📌 Une transformation monobare se déroule sous une pression extérieure constante, tandis qu’une transformation isobare maintient en plus l’équilibre mécanique du système avec le milieu extérieur.

📐 Formule - La relation de Mayer pour un gaz parfait est $c_{pn}-c_{Vn}=R$.

Compléments

📐 Formule - Pour un gaz parfait, la variation infinitésimale d’énergie interne vérifie $dU_{GP}=C_V(T)dT$.

📐 Formule - Si la capacité thermique molaire à volume constant est constante, la variation d’énergie interne de $n$ moles de gaz parfait vaut $U_f-U_i=nc_{Vn}(T_f-T_i)$.

📐 Formule - Pour une transformation isobare d’un gaz parfait, le travail des forces pressantes vaut $W_{i\to f}=-p(V_f-V_i)=-nR(T_f-T_i)$.

📐 Formule - Le coefficient de Laplace vérifie $\gamma=\frac{c_{pn}}{c_{Vn}}$, d’où $c_{pn}=\frac{\gamma R}{\gamma-1}$ et $c_{Vn}=\frac{R}{\gamma-1}$.

💡 Astuce mémo

Détente Joule-Gay-Lussac : pas d’échange énergétique → température inchangée pour un gaz parfait.

📖 30. Turbines hydrauliques et loi de Torricelli

🔑 Notions clés & Définitions

• Régime stationnaire : Un écoulement dans lequel, en tout point de l’espace, la vitesse, la température et la pression ne dépendent pas du temps.

★ À maîtriser

• En régime stationnaire, le débit massique est conservé : la masse de fluide qui entre dans le système ouvert est égale à celle qui en sort.

📐 Formule - Pour un fluide en écoulement stationnaire entrant en e et sortant en s, le bilan d’énergie s’écrit $D_m\left(h+\frac{1}{2}v^2+gz\right)\bigg|_e^s=\frac{\delta W_u}{dt}+\frac{\delta Q}{dt}$.

• En régime stationnaire, les éléments d’une machine thermique traversés par un fluide caloporteur vérifient $D_m(h_s-h_e)=\frac{\delta W_u}{dt}+\frac{\delta Q}{dt}$ lorsque les variations d’énergie cinétique et potentielle sont négligeables.

📌 Dans un élément calorifugé sans travail fourni ni reçu, l’enthalpie du fluide caloporteur est conservée : la transformation est isenthalpique.

• Pour une turbine de barrage, la puissance électrique récupérée vérifie $P=D_m\left(g\Delta z-\frac{v^2}{2}\right)+\frac{\delta Q}{dt}$ lorsque l’enthalpie massique de l’eau est inchangée entre l’entrée et la sortie.

• La loi de Torricelli, établie en 1643, donne pour un écoulement stationnaire sans puissance récupérée et sans pertes thermiques $v=\sqrt{2g\Delta z}$.

Compléments

📐 Formule - Le débit massique est défini par $D_m=\frac{dM}{dt}=\rho_s\frac{dV_s}{dt}=-\rho_e\frac{dV_e}{dt}$.

📐 Formule - L’enthalpie massique d’un fluide vaut $h=u+\frac{p}{\rho}$.

• Dans le bilan énergétique d’un écoulement stationnaire, le travail utile exclut le travail des forces pressantes exercées en amont et en aval du système ouvert.

• Le détendeur d’un réfrigérateur est un élément calorifugé sans travail fourni ni reçu, où le fluide caloporteur subit une transformation isenthalpique.

• Dans une usine hydroélectrique, l’énergie potentielle de l’eau stockée dans un barrage est convertie en puissance électrique.

• Les pertes de conversion de l’énergie dans une turbine se traduisent par un transfert thermique sortant, avec $\frac{\delta Q}{dt}<0$.

💡 Astuce mémo

Chute de hauteur → énergie potentielle convertie en puissance de turbine

📖 31. Machines thermiques dithermes

🔑 Notions clés & Définitions

• Machine ditherme : Une machine thermique ditherme est un système cyclique en contact avec deux sources de chaleur, une source chaude à la température $T_c$ et une source froide à la température $T_f$.
• Fluide parfait : Un fluide parfait est un modèle d’écoulement où tout phénomène de dissipation d’énergie est négligé, notamment les frottements visqueux et les transferts thermiques entre particules et aux interfaces.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un fluide parfait incompressible en écoulement stationnaire, la relation de Bernoulli s’écrit $\frac{v_e^2}{2}+\frac{p_e}{\rho}+gz_e=\frac{v_s^2}{2}+\frac{p_s}{\rho}+gz_s$.

• Dans un tube horizontal, une section de sortie plus faible que la section d’entrée entraîne une vitesse de sortie plus élevée et une pression de sortie plus faible : c’est l’effet Venturi.

📐 Formule - Sur un cycle d’une machine thermique ditherme, le travail reçu du milieu extérieur et les transferts thermiques reçus des deux sources vérifient $W_{cycle}+Q_c+Q_f=0$.

📐 Formule - Le rendement d’un moteur thermique est $r=\frac{|W_{cycle}|}{Q_c}=1+\frac{Q_f}{Q_c}$, avec $Q_c>0$ et $Q_f<0$.

Compléments

📐 Formule - Dans un tube horizontal, la relation de Bernoulli devient $\frac{v_e^2}{2}+\frac{p_e}{\rho}=\frac{v_s^2}{2}+\frac{p_s}{\rho}$.

📐 Formule - La conservation de la masse d’un fluide incompressible dans un tube de sections d’entrée et de sortie donne $S_ev_e=S_sv_s$.

• Un moteur thermique fournit du travail au milieu extérieur, donc $W_{cycle}<0$, et son cycle est parcouru dans le sens inverse trigonométrique dans le diagramme de Watt.

📌 Le rendement d’un moteur thermique est toujours inférieur à l’unité.

• Les moteurs thermiques comprennent les moteurs à combustion externe, comme les centrales nucléaires, les centrales thermiques et les machines à vapeur, ainsi que les moteurs à combustion interne, comme les moteurs à essence et les moteurs diesel.

💡 Astuce mémo

Le moteur fournit du travail ; le récepteur en consomme

📖 32. Réfrigérateurs et pompes à chaleur

★ À maîtriser

• Un réfrigérateur extrait de l’énergie de la source froide, donc $Q_f>0$, et reçoit du milieu extérieur un travail positif, donc $W_{cycle}>0$.

📐 Formule - L’efficacité d’un réfrigérateur est $\eta_{refri}=\frac{Q_f}{W_{cycle}}=\frac{1}{\frac{|Q_c|}{Q_f}-1}$.

• Une pompe à chaleur transfère de l’énergie vers la source chaude en prélevant de l’énergie à une source froide.

📐 Formule - L’efficacité d’une pompe à chaleur est $\eta_{pompe}=\frac{|Q_c|}{W_{cycle}}=\frac{1}{1-\frac{Q_f}{|Q_c|}}$.

Compléments

📌 L’efficacité d’un réfrigérateur est positive et peut être supérieure à l’unité, contrairement au rendement d’un moteur, qui est inférieur à l’unité.

📌 L’efficacité d’une pompe à chaleur est toujours supérieure à l’unité.

• Un climatiseur peut fonctionner en mode réfrigérateur ou en mode pompe à chaleur selon les conditions.

• Avec une efficacité de 2, une pompe à chaleur fournissant une puissance électrique de 1 kW fournit une puissance thermique de 2 kW à la maison.

💡 Astuce mémo

Réfrigérateur : objectif froid ; pompe à chaleur : objectif chaud

📊 Tableaux de synthèse

Unités de base du SI

Équilibre et régime stationnaire