Fiche de révision : Puissances et racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Définition et exposants des puissances
2. Signe et calcul des puissances
3. Racine carrée d’un réel positif
4. Valeur absolue et calculs sur les racines
5. Égalité de réels positifs
6. Équation du second degré

📖 1. Définition et exposants des puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• Exposant positif : Le produit de n facteurs tous égaux à a.
• Exposant négatif : Pour un nombre relatif non nul a et un entier positif n, a^{-n} est l’inverse de a^n.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour a non nul, $a^0=1$.

📐 Formule - Pour tout nombre a, $a^1=a$.

📐 Formule - Pour a non nul, $a^{-1}=\frac{1}{a}$.

📖 2. Signe et calcul des puissances

★ À maîtriser

📌 Si a est négatif, alors a^n est positif lorsque n est pair et négatif lorsque n est impair.

📌 Dans (-a)^n, le signe moins appartient à la base élevée à la puissance, tandis que dans -a^n, seul a est élevé à la puissance et le signe moins reste devant.

📐 Formule - Pour a non nul, $a^m\times a^n=a^{m+n}$.

Compléments

📌 Si a est positif, alors a^n est positif pour tout entier n.

📐 Formule - Pour tous nombres relatifs a et b, $(a\times b)^n=a^n\times b^n$.

💡 Astuce mémo

Avec les parenthèses, toute la base est élevée ; sans elles, le signe moins reste à l’extérieur.

📖 3. Racine carrée d’un réel positif

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour un réel positif a, la racine carrée de a, notée √a, est l’unique réel positif dont le carré vaut a.

★ À maîtriser

📌 La racine carrée √a est définie dans les réels si et seulement si a≥0.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel positif a, $(\sqrt{a})^2=a$.

📖 4. Valeur absolue et calculs sur les racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour un réel a, sa valeur absolue |a| est le réel positif égal à a si a≥0 et à -a si a<0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$.

📐 Formule - Pour a et b positifs, $\sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$.

Compléments

📌 En général, √(a+b) n’est pas égal à √a+√b ; par exemple, √(2+2)=2 alors que √2+√2=2√2.

📐 Formule - Pour b>0, $\frac{1}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{1}{b}}$.

📖 5. Égalité de réels positifs

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux réels strictement positifs u et v, $u=v\Longleftrightarrow u^2=v^2$.

Compléments

📌 L’équivalence u=v si et seulement si u²=v² reste valable lorsque u et v sont tous deux positifs ou nuls.

• L’égalité 3+√2=√(11+6√2) se justifie en vérifiant que les deux membres sont positifs et que leur carré vaut 11+6√2.

📖 6. Équation du second degré

📝 Points essentiels

• Dans ℝ, si a>0, l’équation x²=a admet deux solutions distinctes, -√a et √a.

• Dans ℝ, si a=0, l’équation x²=a admet une unique solution, x=0.

• Dans ℝ, si a<0, l’équation x²=a n’admet aucune solution.

💡 Astuce mémo

Pour x² = a : deux solutions si a > 0, une si a = 0, aucune si a < 0.