QCM : Puissances et racines carrées (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la définition des puissances et les exposants :

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, aⁿ contient n facteurs égaux à a.
Pour un entier n positif, aⁿ est le produit de n facteurs égaux à n.
Pour a non nul, a⁻ⁿ est l’inverse de aⁿ⁺¹.
Pour a non nul, a⁰ vaut 1.
Pour a non nul, a⁻ⁿ est l’opposé de aⁿ lorsque n est positif.

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, aⁿ contient n facteurs égaux à a. · Pour a non nul, a⁰ vaut 1.

Explication

Une puissance d’exposant positif est bien le produit du nombre de facteurs indiqué par l’exposant. Pour un nombre non nul, la puissance d’exposant zéro vaut 1. L’exposant négatif donne l’inverse, et non l’opposé, de la puissance correspondante.

2. On considère des puissances de bases négatives ou positives. Quelles conclusions sur leur signe sont exactes ?

La puissance de −4 d’exposant 8 est positive.
La puissance de 5 d’exposant 3 est positive.
La puissance de 7 d’exposant 6 est positive.
La puissance de −2 d’exposant 5 est négative.
La puissance de −3 d’exposant 4 est positive.

La puissance de −4 d’exposant 8 est positive. · La puissance de 5 d’exposant 3 est positive. · La puissance de 7 d’exposant 6 est positive. · La puissance de −2 d’exposant 5 est négative. · La puissance de −3 d’exposant 4 est positive.

Explication

Une base négative élevée à un exposant pair donne un résultat positif, tandis qu’un exposant impair donne un résultat négatif. Une base positive élevée à un entier conserve un signe positif, comme dans les cas proposés.

3. Pour a = 3 et dans le calcul 2⁴ × 2³, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le produit 2⁴ × 2³ se réduit à 2⁷.
Dans −3², le signe moins est élevé au carré avec le nombre 3.
Le produit 2⁴ × 2³ se réduit à 2¹².
Dans (−3)², le signe moins reste devant le carré de 3.
Dans (−3)², le signe moins appartient à la base élevée au carré.

Le produit 2⁴ × 2³ se réduit à 2⁷. · Dans (−3)², le signe moins appartient à la base élevée au carré.

Explication

Dans (−3)², toute la base −3 est élevée au carré; dans −3², seul 3 est au carré et le signe moins reste devant. Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants : 4 + 3 = 7, et non 4 × 3.

4. Une équipe simplifie des puissances d’un produit. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

Pour a = −2, b = 5 et n = 3, (a × b)ⁿ vaut aⁿ × bⁿ.
Pour a = 2, b = 3 et n = 2, (a × b)ⁿ vaut aⁿ × bⁿ.
Pour a = 4, b = 2 et n = 3, (a × b)ⁿ vaut aⁿ + bⁿ.
Pour a = −1, b = 6 et n = 2, (a × b)ⁿ vaut a × bⁿ.
Pour a = 3, b = 2 et n = 4, (a × b)ⁿ vaut aⁿ × b.

Pour a = −2, b = 5 et n = 3, (a × b)ⁿ vaut aⁿ × bⁿ. · Pour a = 2, b = 3 et n = 2, (a × b)ⁿ vaut aⁿ × bⁿ.

Explication

La puissance d’un produit se distribue aux deux facteurs : (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ, que les facteurs soient positifs ou négatifs. Les autres égalités remplacent à tort le produit des puissances par une somme ou omettent une puissance sur un facteur.

5. Pour quelles valeurs de mm l’expression m\sqrt{m} est-elle définie dans les réels ?

La racine carrée de mm est l’unique réel dont le carré vaut −m-m.
La racine carrée de mm existe dans les réels lorsque m≥0m\geq0.
La racine carrée de 00 est définie et vaut 00.
La racine carrée de −9-9 est un réel égal à −3-3.
La racine carrée de mm est l’unique réel négatif dont le carré vaut mm.

La racine carrée de $$m$$ existe dans les réels lorsque $$m\geq0$$. · La racine carrée de $$0$$ est définie et vaut $$0$$.

Explication

La racine carrée de zéro existe et vaut zéro, et celle de mm est définie exactement lorsque m≥0m\geq0. Pour un radicande positif, la racine carrée est l’unique réel positif dont le carré vaut ce radicande, et non un réel négatif. Un radicande négatif n’a pas de racine carrée réelle.

6. Parmi les propositions suivantes concernant le carré d’une racine carrée définie, lesquelles sont exactes ?

Pour a=0a=0, le carré de a\sqrt{a} vaut 00.
Pour a=5a=5, la racine carrée de aa est un réel négatif.
Pour a=16a=16, le carré de a\sqrt{a} vaut 1616.
Pour a=9a=9, la racine carrée de aa est un réel négatif.
Pour a=14a=\frac{1}{4}, le carré de a\sqrt{a} vaut 14\frac{1}{4}.

Pour $$a=0$$, le carré de $$\sqrt{a}$$ vaut $$0$$. · Pour $$a=16$$, le carré de $$\sqrt{a}$$ vaut $$16$$. · Pour $$a=\frac{1}{4}$$, le carré de $$\sqrt{a}$$ vaut $$\frac{1}{4}$$.

Explication

Pour tout réel positif aa, on a (a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^2=a : cela donne 00, 1616 et 14\frac14 dans les cas indiqués. Pour a=5a=5 et a=9a=9, la racine carrée est un réel positif, et non un réel négatif.

7. Concernant l’égalité de deux réels positifs ou nuls, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Pour deux réels strictement positifs, l’égalité de leurs carrés ne permet pas de conclure à leur égalité.
Pour deux réels positifs ou nuls égaux, leurs carrés sont nécessairement différents.
Pour deux réels positifs ou nuls, avoir le même carré ne suffit pas à établir leur égalité.
Pour deux réels strictement positifs de même carré, les deux nombres sont égaux.
Pour deux réels strictement positifs égaux, leurs carrés sont différents.

Pour deux réels strictement positifs de même carré, les deux nombres sont égaux.

Explication

Deux réels strictement positifs sont égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux. Cette équivalence s’étend aux réels positifs ou nuls, contrairement aux autres formulations.

8. Pour justifier l’égalité 3+2=11+623+\sqrt2=\sqrt{11+6\sqrt2}, quelle(s) démarche(s) est(sont) exacte(s) ?

Le membre 3+23+\sqrt2 est positif, car il est la somme de deux réels positifs.
Le carré du membre de gauche vaut 9+329+3\sqrt2, ce qui établit l’égalité.
Le carré de chacun des deux membres vaut 11+6211+6\sqrt2, ce qui justifie leur égalité.
Le membre 11+62\sqrt{11+6\sqrt2} est positif, puisque son radicand est positif.
Le membre de droite est négatif, car le radical porte sur une somme contenant une racine.

Le membre $$3+\sqrt2$$ est positif, car il est la somme de deux réels positifs. · Le carré de chacun des deux membres vaut $$11+6\sqrt2$$, ce qui justifie leur égalité. · Le membre $$\sqrt{11+6\sqrt2}$$ est positif, puisque son radicand est positif.

Explication

Le membre de gauche est positif, et le radicand du membre de droite est positif, donc celui-ci l’est aussi. Le carré de 3+23+\sqrt2 vaut 9+62+2=11+629+6\sqrt2+2=11+6\sqrt2, comme celui du membre de droite; l’affirmation sur le carré tronque le développement et une racine carrée est positive ici.

9. Une technicienne doit résoudre dans R\mathbb R l’équation x2=25x^2=25. Parmi les propositions suivantes, lesquelles sont exactes ?

L’équation ne possède aucune solution réelle, car son second membre est non nul.
Les deux solutions réelles sont −25-25 et 2525.
Les solutions réelles sont −5-5 et 55, puisque 25=5\sqrt{25}=5.
L’équation possède deux solutions réelles distinctes, car son second membre est positif.
L’équation possède une seule solution réelle, égale à 55.

Les solutions réelles sont $$-5$$ et $$5$$, puisque $$\sqrt{25}=5$$. · L’équation possède deux solutions réelles distinctes, car son second membre est positif.

Explication

Comme 25>025>0, l’équation admet deux solutions distinctes, −25=−5-\sqrt{25}=-5 et 25=5\sqrt{25}=5. Le nombre 55 n’est donc pas l’unique solution, et les solutions ne sont ni −25,25-25,25 ni inexistantes.

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Comment définir ana^n lorsque n≥1n\geq 1 est un entier ?

Le produit de nn facteurs égaux à aa.

Comment définir a−na^{-n} pour a≠0a\neq 0 et un entier positif nn ?

L’inverse de ana^n.

Quel est le signe de ana^n si aa est négatif et nn est pair ?

Positif.

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