Fiche de révision : Espaces vectoriels et applications linéaires

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et sous-espaces de Rn
2. Image noyau et quatre espaces
3. Pivot de Gauss et échelonnement
4. Rang colonnes et inverses
5. Dimension et bases des espaces
6. Transposée et extraction de bases
7. Espaces vectoriels abstraits et familles
8. Bases et coordonnées
9. Sous-espaces et opérations
10. Dimension et bases finies
11. Applications linéaires
12. Images, noyaux et équations
13. Matrices et changements de base
14. Changement de base des vecteurs
15. Changement de base des applications
16. Itération et diagonalisation

📖 1. Vecteurs et sous-espaces de Rn

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Un vecteur de la forme x1a1 + x2a2 + ··· + xnan, où les coefficients x1, ..., xn sont réels.
• Sous-espace vectoriel : Vérifie E = Vect(E), ce qui équivaut à contenir le vecteur nul et à être stable par multiplication par un réel et addition de vecteurs.
• Base : Une famille à la fois libre et génératrice, de sorte que tout vecteur possède une unique combinaison linéaire de ses vecteurs.

★ À maîtriser

📌 Une famille est libre si la seule combinaison linéaire nulle a tous ses coefficients nuls, tandis qu’elle est liée s’il existe une combinaison linéaire nulle dont les coefficients ne sont pas tous nuls.

Compléments

• La base canonique de Rn est formée des vecteurs e1, ..., en, où ei possède un 1 en composante i et des 0 ailleurs, et les coordonnées dans cette base sont les composantes du vecteur.

💡 Astuce mémo

La taille compte les composantes, la dimension compte les vecteurs d’une base.

📖 2. Image noyau et quatre espaces

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’une matrice : Le sous-espace vectoriel de Rm engendré par ses colonnes, c’est-à-dire l’ensemble des vecteurs Ax lorsque x parcourt Rn.
• Noyau d’une matrice : Le sous-espace vectoriel de Rn défini par Ker A = {x ∈ Rn | Ax = 0}.

★ À maîtriser

• Pour une matrice A de taille m × n et de rang r, Im A et Im A⊤ ont dimension r, tandis que Ker A et Ker A⊤ ont respectivement dimension n − r et m − r.

Compléments

• La matrice R = [[1,0,0],[0,0,0]] est de rang 1 ; son image est la droite de direction (1,0) dans R2 et son noyau est le plan engendré par (0,1,0) et (0,0,1) dans R3.

💡 Astuce mémo

Les pivots déterminent le rang, puis les dimensions de l’image et du noyau.

📖 3. Pivot de Gauss et échelonnement

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice échelonnée : Lorsque les pivots de ses lignes non nulles sont strictement de plus en plus à droite en descendant les lignes, avec uniquement des zéros sous chaque pivot.

★ À maîtriser

• La méthode du pivot de Gauss comporte une descente qui détermine les inconnues pivots et les paramètres, puis une remontée qui donne l’expression explicite des solutions.

📌 Pour le système modèle, la condition de compatibilité est b3 = 2b2 − 5b1 ; si elle est fausse, le système n’a aucune solution.

Compléments

• Lorsque b3 = 2b2 − 5b1, les solutions du système modèle sont x = p + x2u + x4v, paramétrées par les réels x2 et x4, avec u = (−3,1,0,0) et v = (1,0,−1,1).

💡 Astuce mémo

Descente pour les pivots, remontée pour les solutions.

📖 4. Rang colonnes et inverses

📝 Points essentiels

• Le rang r d’une matrice m × n vérifie toujours r ≤ m et r ≤ n.

📌 Le rang vaut n si et seulement si Ax = b possède au plus une solution pour tout b, si et seulement si les colonnes de A sont libres, si et seulement s’il existe B tel que BA = In.

📌 Pour une matrice carrée, l’existence et l’unicité sont équivalentes ; lorsqu’un inverse existe, il est unique et noté A−1.

💡 Astuce mémo

Rang maximal en lignes : existence ; rang maximal en colonnes : unicité.

📖 5. Dimension et bases des espaces

★ À maîtriser

• Dans un espace vectoriel engendré par k vecteurs, aucune famille de k + 1 vecteurs n’est libre.

📌 Si E est de dimension n et F contient n vecteurs, alors F est une base de E si et seulement si F est libre, ce qui équivaut à F génératrice de E.

Compléments

• La dimension de Rn est n et la dimension de l’espace réduit au vecteur nul est 0.

💡 Astuce mémo

Une famille libre maximale devient une base ; toutes les bases ont même taille.

📖 6. Transposée et extraction de bases

★ À maîtriser

• Une base de Ker A s’obtient en résolvant Ux = 0, puis en factorisant les paramètres associés aux colonnes sans pivot.

• Les colonnes de A correspondant aux colonnes pivot de U forment une base de Im A.

📐 Formule - Le rang vérifie $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^\top)=n-\dim(\operatorname{Ker} A)$ lorsque A possède n colonnes.

Compléments

• Si U est obtenue par échelonnement de A, les transposées des lignes non nulles de U forment une base de Im A⊤.

📌 Toute famille libre de vecteurs de Im B peut être complétée par des colonnes de B en une base de Im B en échelonnant la matrice juxtaposée (A|B).

💡 Astuce mémo

Échelonner, repérer les pivots, extraire les colonnes correspondantes.

📖 7. Espaces vectoriels abstraits et familles

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel réel : Un ensemble E muni d’une addition de vecteurs et d’une multiplication par un scalaire réel vérifiant huit axiomes.
• Combinaison linéaire finie : Dans une famille éventuellement infinie, une combinaison d’un nombre fini de vecteurs, le vecteur nul étant l’unique combinaison de la famille vide.

★ À maîtriser

• Les huit axiomes comprennent la commutativité et l’associativité de l’addition, l’existence d’un vecteur nul et d’un opposé, l’associativité mixte, le neutre scalaire et les deux distributivités.

Compléments

• Des exemples d’espaces vectoriels réels sont:

  • les suites réelles
  • les polynômes réels
  • les matrices réelles
  • les fonctions de Ω vers R

• Dans la famille des fonctions fi(x) = xi pour i ∈ N, la fonction g(x) = (1 + x)2 est une combinaison linéaire, car g = f0 + 2f1 + f2, tandis que h(x) = 1/(1 + x2) n’en est pas une.

💡 Astuce mémo

A1–A8 : les huit axiomes structurent les calculs vectoriels.

📖 8. Bases et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Famille génératrice : si tout vecteur de cet espace est une combinaison linéaire d’un nombre fini de vecteurs de la famille
• Famille libre : si la seule combinaison linéaire de cette famille égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls
• Coordonnées : les coefficients de son unique combinaison linéaire dans cette base

★ À maîtriser

📌 Une famille est une base d’un espace vectoriel si elle est à la fois libre et génératrice, de sorte que chaque vecteur possède une unique combinaison linéaire dans cette famille.

Compléments

• Une famille finie de polynômes de degrés strictement croissants est libre.

• Les bases canoniques citées sont:

  • les suites indicatrices de S_0(R)
  • les matrices élémentaires de M_{m,n}(R)
  • les monômes X^k de R[X]
  • les monômes X^k pour 0 ≤ k ≤ n de R_n[X]

💡 Astuce mémo

Libre = unicité ; génératrice = existence ; base = existence et unicité

📖 9. Sous-espaces et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-espace vectoriel : un ensemble non vide de vecteurs de E contenant 0_E et stable par toute combinaison linéaire λu+μv de ses éléments
• Espace engendré : l’ensemble de toutes ses combinaisons linéaires et constitue le plus petit sous-espace vectoriel contenant cette famille
• Somme directe : Deux sous-espaces E1 et E2 sont en somme directe si chaque vecteur de E1+E2 s’écrit de manière unique comme v1+v2 avec v1∈E1 et v2∈E2, ce qui équivaut à E1∩E2={0}.

★ À maîtriser

📌 L’intersection de sous-espaces vectoriels est toujours un sous-espace vectoriel, tandis que leur réunion ne l’est pas en général.

Compléments

• Le produit de deux espaces vectoriels est un espace vectoriel lorsque l’addition et la multiplication scalaire sont définies composante par composante.

💡 Astuce mémo

Intersection toujours stable ; réunion généralement instable

📖 10. Dimension et bases finies

🔑 Notions clés & Définitions

• Dimension finie : s’il possède une famille génératrice finie
• Dimension : le nombre de vecteurs de chacune de ses bases, ce nombre étant le même pour toutes les bases

★ À maîtriser

• Dans un espace vectoriel de dimension finie, une base s’obtient en complétant une famille libre avec des vecteurs d’une famille génératrice jusqu’à obtenir une famille génératrice libre.

• On a dim(R^n)=n et dim(M_{m,n}(R))=mn, tandis que S_0(R), S(R) et R[X] sont de dimension infinie.

📐 Formule - Pour un sous-espace F d’un espace E de dimension finie, $\dim(F)\leq\dim(E)$, et l’égalité équivaut à F=E.

Compléments

📐 Formule - Si E=E1⊕E2, alors $\dim(E)=\dim(E_1)+\dim(E_2)$, y compris avec la convention d’addition de l’infini.

💡 Astuce mémo

Génératrice finie → extraction d’une base → dimension

📖 11. Applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Application linéaire : si φ(λx)=λφ(x) et φ(x+y)=φ(x)+φ(y) pour tous vecteurs x,y et tout scalaire λ

★ À maîtriser

📌 Un isomorphisme est une application linéaire bijective, un endomorphisme est une application linéaire d’un espace dans lui-même, et un automorphisme est un endomorphisme bijectif.

• Pour une matrice A de taille m×n, l’application φ_A:R^n→R^m définie par φ_A(x)=Ax est linéaire et est déterminée par les images des vecteurs de la base canonique.

• Une application linéaire envoie toute combinaison linéaire sur la même combinaison linéaire des images : φ(Σλ_i v_i)=Σλ_iφ(v_i).

Compléments

• L’image d’une famille liée par une application linéaire est une famille liée, et l’image d’une famille génératrice d’un sous-espace engendre l’image de ce sous-espace.

💡 Astuce mémo

Linéaire : addition et multiplication par un scalaire sont conservées

📖 12. Images, noyaux et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : le sous-espace vectoriel de F constitué des images des vecteurs de E
• Noyau : le sous-espace vectoriel de E formé des vecteurs envoyés sur 0_F
• Espaces isomorphes : s’il existe un isomorphisme linéaire de l’un sur l’autre

★ À maîtriser

📌 Une application linéaire est injective si et seulement si Ker(φ)={0}.

📌 Si B est une base de E, alors φ est injective si et seulement si φ(B) est libre, surjective si et seulement si φ(B) est génératrice de F, et bijective si et seulement si φ(B) est une base de F.

• Pour l’équation linéaire φ(x)=b, si une solution particulière x0 existe, l’ensemble des solutions est $\{x_0\}+\operatorname{Ker}(\phi)$.

Compléments

• Les solutions de la récurrence u_{n+1}−3u_n=2^n sont les suites définies par u_n=−2^n+3^n(u_0+1).

💡 Astuce mémo

Noyau réduit à zéro → injectivité ; image pleine → surjectivité

📖 13. Matrices et changements de base

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice d’une application : la matrice de φ dans les bases E et F a pour colonnes les coordonnées dans F des images par φ des vecteurs de la base E

📝 Points essentiels

📌 Deux espaces vectoriels dont l’un est de dimension finie sont isomorphes si et seulement s’ils ont la même dimension.

📐 Formule - Le rang d’une application linéaire est $\operatorname{rg}(\phi)=\dim(\operatorname{Im}(\phi))$.

📐 Formule - Pour toute application linéaire φ:E→F, $\dim(E)=\dim(\operatorname{Ker}(\phi))+\operatorname{rg}(\phi)$.

📐 Formule - Les coordonnées de l’image vérifient $[\phi(x)]_F=\operatorname{Mat}_{E,F}(\phi)[x]_E$.

📐 Formule - La matrice de la composée vérifie $\operatorname{Mat}_{E_1,E_3}(\phi_2\circ\phi_1)=\operatorname{Mat}_{E_2,E_3}(\phi_2)\operatorname{Mat}_{E_1,E_2}(\phi_1)$.

📐 Formule - Le changement de base des coordonnées s’écrit $[x]_B=\operatorname{Pass}_{B,B'}[x]_{B'}$.

💡 Astuce mémo

Coordonnées → matrice → composition → changement de base

📖 14. Changement de base des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice de passage : La matrice de passage de B à B′ est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B′ dans la base B, et elle vérifie $\operatorname{Pass}_{B,B′}^{-1}=\operatorname{Pass}_{B′,B}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout vecteur x, le changement de coordonnées entre deux bases vérifie $[x]_B=\operatorname{Pass}_{B,B′}[x]_{B′}$ et $[x]_{B′}=\operatorname{Pass}_{B′,B}[x]_B$.

Compléments

• Si b1=c1+c2 et b2=c1−c2, alors $\operatorname{Pass}_{C,B}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ et $\operatorname{Pass}_{B,C}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$.

💡 Astuce mémo

Passer de B′ à B utilise PassB,B′ ; passer de B à B′ utilise son inverse.

📖 15. Changement de base des applications

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une application linéaire ϕ représentée par A dans les bases E et F, et par A′ dans les bases E′ et F′, on a $Q A′=A P$, où $P=\operatorname{Pass}_{E,E′}$ et $Q=\operatorname{Pass}_{F,F′}$.

📐 Formule - Les formules équivalentes du changement de base sont $A′=Q^{-1}AP$, $QA′=AP$ et $QA′P^{-1}=A$.

📐 Formule - Lorsque l’application est un endomorphisme représenté dans une même base au départ et à l’arrivée, le changement de base s’écrit $A′=P^{-1}AP$.

Compléments

• Pour la symétrie par rapport à l’axe des abscisses, le changement de la base canonique C vers B={c1+c2,c1−c2} donne $\operatorname{Mat}_{B,B}(ϕ)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$.

💡 Astuce mémo

Domaine puis application puis codomaine : P agit à droite, Q⁻¹ à gauche.

📖 16. Itération et diagonalisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Projecteur : Un projecteur p sur F parallèlement à G est un endomorphisme associé à deux sous-espaces supplémentaires F et G, dont le noyau est G et dont l’image F est formée des vecteurs fixes.
• Symétrie : Une symétrie s est un endomorphisme dont la première itérée vérifie $s^2=\operatorname{id}$.
• Matrice diagonalisable : Une matrice carrée A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que $A=PDP^{-1}$.
• Vecteur propre : Un vecteur propre x d’une matrice A est un vecteur non nul tel qu’il existe un scalaire λ vérifiant $Ax=\lambda x$.
• Valeur propre : Un scalaire λ est une valeur propre de A si et seulement si A−λIn n’est pas inversible.
• Espace propre : L’espace propre associé à λ est le sous-espace $E_\lambda=\{x\in\mathbb R^n\mid Ax=\lambda x\}$, qui contient le vecteur nul et tous les vecteurs propres associés à λ.

★ À maîtriser

📌 Un endomorphisme p est un projecteur si et seulement si $p^2=p$.

📐 Formule - Si x=x1v1+⋯+xnvn dans une base de vecteurs propres associée aux valeurs propres λ1,…,λn, alors $\varphi^k(x)=\lambda_1^k x_1v_1+\cdots+\lambda_n^k x_nv_n$.

📌 Une matrice A est diagonalisable si et seulement si elle possède une base de vecteurs propres.

Compléments

• Dans une base adaptée formée d’une base de F suivie d’une base de G, la matrice d’un projecteur sur F parallèlement à G est diagonale avec des 1 correspondant à F et des 0 correspondant à G.

📐 Formule - Si Q contient une base de F, R une base de G et P=(Q|R), alors la matrice canonique du projecteur sur F parallèlement à G est $\operatorname{Mat}(p)=(Q|0)(Q|R)^{-1}$.

📌 Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre, et une matrice n×n ayant n valeurs propres distinctes est diagonalisable.

• Pour la matrice $A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$, les valeurs propres sont 1 et −1, avec pour directions propres les deux bissectrices engendrées par (1,1) et (−1,1).

• La matrice $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ représente une rotation d’un quart de tour et ne possède aucune direction invariante réelle, donc elle n’est pas diagonalisable sur R.

📐 Formule - Si A=PDP−1 est diagonalisable, alors pour tout entier k, $A^k=PD^kP^{-1}$.

💡 Astuce mémo

Directions invariantes → vecteurs propres → matrice diagonale → puissances simplifiées.

📊 Tableaux de synthèse

Interprétation du rang

Critères des applications linéaires