Fiche de révision : Espaces vectoriels et bases

📋 Plan du Cours

1. Définition et exemples d’espaces vectoriels
2. Engendrement et dimension
3. Indépendance et bases vectorielles
4. Produit scalaire et norme
5. Bases orthogonales et orthonormées
6. Orthogonalisation de Gram-Schmidt

📖 1. Définition et exemples d’espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Un espace vectoriel est un quadruplet $(V,F,+,\cdot)$ où $V$ est un ensemble de vecteurs, $F$ un corps de scalaires et les deux lois définies sur $V$ vérifient huit axiomes spécifiques.

★ À maîtriser

• Les deux lois sur $V$ associent deux vecteurs par addition et un scalaire à un vecteur par multiplication scalaire.

📌 Les vecteurs sont les éléments de $V$, tandis que les scalaires sont les éléments du corps $F$.

Compléments

• Les conditions de fermeture C1 et C2 garantissent que les résultats des opérations restent dans $V$.

• Un espace vectoriel réel est un espace vectoriel dont le corps des scalaires est $\mathbb{R}$.

• Tout corps est un espace vectoriel sur lui-même, et les espaces vectoriels n’exigent pas la définition d’un produit scalaire.

📖 2. Engendrement et dimension

🔑 Notions clés & Définitions

• Engendré linéaire : L’engendré linéaire de $W$ est l’ensemble des combinaisons linéaires des éléments de $W$.

★ À maîtriser

📌 Si $W\subset V$ et $\operatorname{Lin}W=V$, alors $W$ engendre $V$ et tout élément de $V$ est une combinaison linéaire d’éléments de $W$.

📌 Un espace vectoriel est de dimension finie s’il est engendré par un sous-ensemble fini, et de dimension infinie si aucun sous-ensemble fini ne l’engendre.

• La dimension d’un espace vectoriel est le nombre d’éléments de l’une de ses bases, toutes les bases ayant le même nombre d’éléments.

Compléments

📐 Formule - Une combinaison linéaire des vecteurs $e_1,\ldots,e_k$ s’écrit $\sum_{i=1}^{k}\alpha_i e_i$ avec des scalaires $\alpha_i\in F$.

📖 3. Indépendance et bases vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Indépendance linéaire : Une famille de vecteurs est linéairement indépendante si la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls.

📝 Points essentiels

📌 Une famille de vecteurs qui n’est pas linéairement indépendante est dite linéairement dépendante.

• Dans $\mathbb{R}^2$, les vecteurs $(1{,}1)$ et $(1,-1)$ sont linéairement indépendants et forment une base de $\mathbb{R}^2$.

• Dans $\mathbb{R}^3$, les vecteurs $(1{,}2{,}3)$ et $(4{,}5{,}6)$ sont linéairement indépendants, comme l’indique la réduction de Gauss du système associé.

• 🔄 La vérification de l’engendrement suit ces étapes. :

  1. Écrire un vecteur quelconque avec des paramètres.
  2. Le poser égal à une combinaison linéaire des vecteurs proposés.
  3. Vérifier que le système obtenu admet des coefficients pour tout choix des paramètres.

📖 4. Produit scalaire et norme

★ À maîtriser

• Un produit scalaire permet de définir une norme par $\|u\|^2=\langle u\mid u\rangle$.

📌 Deux vecteurs dont le produit scalaire est nul sont orthogonaux.

📐 Formule - Dans $\mathbb{R}^n$, le produit scalaire usuel est $\langle u\mid v\rangle=\sum_{i=1}^{n}u_i v_i$.

Compléments

📐 Formule - Pour des fonctions continues sur $[0{,}1]$, le produit scalaire présenté est $\langle u(x)\mid v(x)\rangle=\int_0^1u(x)v(x)\,dx$.

• Le produit scalaire intégral est obtenu en approchant les fonctions par leurs valeurs sur $n$ segments, en formant la somme pondérée par $\Delta x$, puis en faisant tendre $n$ vers l’infini.

📖 5. Bases orthogonales et orthonormées

🔑 Notions clés & Définitions

• Delta de Kronecker : Le delta de Kronecker $\delta_{i,j}$ vaut 1 si $i=j$ et 0 si $i\ne j$.

★ À maîtriser

📌 Une base orthogonale est formée de vecteurs deux à deux orthogonaux, tandis qu’une base orthonormée est orthogonale et composée de vecteurs de norme 1.

📐 Formule - Dans une base orthonormée, un vecteur s’écrit $v=\sum_{j=1}^{n}\langle\hat e_j\mid v\rangle\hat e_j$.

📐 Formule - Dans une base orthogonale, un vecteur s’écrit $v=\sum_{j=1}^{n}\frac{\langle e_j\mid v\rangle}{\langle e_j\mid e_j\rangle}e_j$.

Compléments

• Dans $\mathbb{R}^3$ muni du produit scalaire usuel, la base canonique $(1{,}0{,}0),(0{,}1{,}0),(0{,}0{,}1)$ vérifie $v_i\cdot v_j=\delta_{i,j}$.

• La base canonique de $\mathbb{R}^2$ permet d’écrire tout vecteur $(a,b)$ sous la forme $a e_1+b e_2$.

💡 Astuce mémo

Base orthogonale : produits croisés nuls ; base orthonormée : vecteurs orthogonaux et de norme 1.

📖 6. Orthogonalisation de Gram-Schmidt

📝 Points essentiels

• L’algorithme de Gram-Schmidt permet de construire une base orthonormée à partir d’une base quelconque.

📊 Tableaux de synthèse

Bases orthogonales et orthonormées