Fiche de révision : Ensembles et structures algébriques

📋 Plan du Cours

1. Notions fondamentales des ensembles
2. Opérations sur les ensembles
3. Ensembles numériques
4. Couples et produits cartésiens
5. Fonctions et propriétés
6. Lois de composition
7. Axiomes et exemples de corps

📖 1. Notions fondamentales des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : collection d’objets appelés éléments, et a appartient à E se note a ∈ E tandis que a n’appartient pas à E se note a ∉ E.
• Égalité d’ensembles : Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes éléments.
• Ensemble vide : noté ∅ ou {}, ne contient aucun élément et vérifie que tout objet x n’appartient pas à ∅.
• Sous-ensemble : A est un sous-ensemble de B, noté A ⊂ B, si tout élément de A appartient aussi à B ; A ⊆ B peut indiquer que A est inclus dans B ou égal à B.

★ À maîtriser

📌 Un ensemble dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles, comme {{a, b}, {c, d}}, n’est pas l’ensemble {a, b, c, d}.

Compléments

• L’ensemble {a, b, c} est égal à {b, a, c}, car l’ordre des éléments d’un ensemble n’a pas d’importance.

💡 Astuce mémo

Un ensemble ignore l’ordre ; un couple ordonné le conserve.

📖 2. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : l’ensemble des éléments qui appartiennent simultanément à A et à B.
• Union : l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.
• Différence d’ensembles : l’ensemble des éléments qui appartiennent à A et n’appartiennent pas à B.

📝 Points essentiels

• Pour A = {a, b, c}, B = {b, c, d} et C = {d, e, f}, on a A ∩ B = {b, c}, B ∩ C = {d} et A ∩ C = ∅.

💡 Astuce mémo

Intersection : dans les deux ; union : dans l’un ou l’autre ; différence : dans A, pas dans B.

📖 3. Ensembles numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : L’ensemble des nombres naturels est N = {0, 1, 2, 3, …}.
• Nombres entiers : L’ensemble des nombres entiers est Z = {0, ±1, ±2, ±3, …}.
• Nombres rationnels : L’ensemble des nombres rationnels est Q = {p/q | p ∈ Z, q ∈ Z*}.
• Nombres complexes : L’ensemble des nombres complexes est C = {x + iy | x ∈ R, y ∈ R, i² = −1}.
• Nombres réels : L’ensemble des nombres réels est noté R.

📝 Points essentiels

• Les ensembles numériques sont inclus les uns dans les autres selon N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C : les nombres s’élargissent par inclusions.

📖 4. Couples et produits cartésiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : l’ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ X et y ∈ Y.
• Produit cartésien généralisé : Le produit X₁ × … × Xₙ est l’ensemble des n-uplets dont la j-ième composante appartient à Xⱼ.

★ À maîtriser

📌 Un ensemble ordonné comme le couple (1, 2) distingue ses composantes selon leur position, contrairement à l’ensemble {1, 2}.

Compléments

• Le produit cartésien de n copies d’un ensemble X est noté Xⁿ, et R² désigne R × R, qui génère le plan cartésien.

💡 Astuce mémo

Un tableau dont les lignes viennent de X et les colonnes de Y représente X × Y.

📖 5. Fonctions et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction f : X → Y assigne à chaque x ∈ X un seul élément y ∈ Y.
• Surjection : f : X → Y est une surjection si tout y ∈ Y est l’image d’au moins un x ∈ X.
• Injection : f : X → Y est une injection si f(x) = f(x′) implique x = x′ pour tous x, x′ ∈ X.
• Bijection : f : X → Y est une bijection si tout y ∈ Y est l’image d’un unique x ∈ X.

★ À maîtriser

📌 Dans f : X → Y, X est le domaine ou ensemble de départ, Y est le codomaine ou ensemble d’arrivée, et f(x) est l’image de x.

Compléments

• La fonction f(x) = x² de R vers R⁺ n’est pas injective, car f(x) = f(−x) alors que x ≠ −x pour x ≠ 0.

💡 Astuce mémo

Surjective : tout Y est atteint ; injective : aucun y n’est atteint deux fois.

📖 6. Lois de composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Structure algébrique : Une structure algébrique précise le ou les ensembles étudiés et les opérations mathématiques permises entre leurs éléments.
• Loi de composition : Une loi de composition est une fonction L : A × B → B qui combine un élément de A et un élément de B pour produire un élément de B.

★ À maîtriser

📌 Une loi de composition est interne lorsque A = B et externe lorsque A ≠ B.

Compléments

• Sur N, l’addition et la multiplication usuelles sont des lois de composition internes, mais la soustraction ne l’est pas, car 1 − 7 = −6 ∉ N.

💡 Astuce mémo

Interne : A = B ; externe : A ≠ B.

📖 7. Axiomes et exemples de corps

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps : Un triplet (F, +, ·), où + et · sont des lois de composition de F dans F, est un corps si ces lois vérifient neuf axiomes.

★ À maîtriser

• Les neuf axiomes d’un corps sont :

  • la commutativité de l’addition
  • l’associativité de l’addition
  • l’existence d’un élément nul
  • l’existence d’opposés
  • la commutativité de la multiplication
  • l’associativité de la multiplication
  • l’existence d’une identité multiplicative
  • l’existence d’un inverse pour tout élément non nul
  • la distributivité

• (Z, +, ·) n’est pas un corps, car les éléments non nuls de Z n’ont pas tous leur inverse multiplicatif dans Z.

Compléments

• Dans un corps, l’inverse multiplicatif a⁻¹ est défini pour tout a ≠ 0 et vérifie a⁻¹ · a = 1 ; la notation a⁻¹ désigne cet inverse et ne doit pas être interprétée directement comme une puissance −1.

• Le triplet (R, +, ·), muni de l’addition et de la multiplication usuelles, est l’exemple de corps présenté dans le cours.

📌 Dans R, la soustraction s’écrit a − b = a + (−b), et la division par b s’écrit a/b = a · 1/b.