QCM : Ensembles et structures algébriques (21 questions)

Explication

L’égalité de deux ensembles signifie qu’ils contiennent exactement les mêmes éléments, sans que leur ordre d’écriture importe. Avoir le même nombre d’éléments ne suffit pas si les éléments ne sont pas les mêmes.

Explication

Dans {{a, b}, {c, d}}, les éléments sont les ensembles {a, b} et {c, d}; dans {a, b, c, d}, les éléments sont les quatre lettres. Le fait que les deux écritures fassent intervenir les mêmes lettres ne rend donc pas les ensembles égaux.

Explication

La relation A ⊂ B signifie que tout élément de A appartient également à B. Un élément de A absent de B contredirait précisément cette inclusion.

Explication

L’intersection rassemble les éléments communs aux deux ensembles. L’union, qui constitue le distracteur le plus proche, rassemble les éléments appartenant à au moins l’un des deux.

Explication

L’union regroupe les éléments qui appartiennent à A ou à B, y compris ceux qui appartiennent aux deux. L’intersection ne retient que les éléments communs.

Explication

La différence A\B contient les éléments de A qui n’appartiennent pas à B, ce qui correspond exactement à la situation décrite. L’intersection exige au contraire que x appartienne aussi à B.

Explication

La définition donnée de N commence par 0 et poursuit avec les entiers positifs. Le nombre −1 appartient aux entiers, mais il ne figure pas dans cet ensemble des naturels.

Explication

Un rationnel peut s’écrire p/q avec p entier et q entier non nul; 3/4 satisfait cette définition sans être un entier. Le fait d’être positif et inférieur à 1 ne constitue pas la définition des rationnels.

Explication

Un complexe s’écrit x + iy, où x et y sont réels et où l’unité imaginaire vérifie i² = −1. La forme p/q caractérise les rationnels, pas l’ensemble des complexes.

Explication

La chaîne correcte place les naturels dans les entiers, puis les entiers dans les rationnels, les réels et enfin les complexes. L’ordre qui place Z avant N inverse les deux premiers ensembles, puisque les entiers négatifs ne sont pas naturels.

Explication

Un couple ordonné distingue ses composantes par leur position, alors que les éléments d’un ensemble ne sont pas ordonnés. Ainsi, inverser les composantes modifie le couple, mais pas l’ensemble considéré.

Explication

Par définition, les couples de $X\times Y$ ont leur première composante dans $X$ et leur seconde dans $Y$. La description qui inverse les ensembles correspond à $Y\times X$, pas à $X\times Y$.

Explication

Une fonction assigne à chaque élément de son domaine un unique élément du codomaine. La dernière condition décrit plutôt la surjectivité, qui exige que chaque élément de $Y$ ait un antécédent.

Explication

$X$ est le domaine ou ensemble de départ, $Y$ le codomaine ou ensemble d’arrivée, et $f(x)$ l’image de $x$. Confondre les rôles de $X$ et $Y$ inverse départ et arrivée.

Explication

La surjectivité signifie que chaque élément du codomaine $Y$ possède au moins un antécédent dans $X$. Exiger un antécédent unique définit une bijection, qui ajoute une condition à la surjectivité.

Explication

Une structure algébrique précise les ensembles étudiés ainsi que les opérations autorisées entre leurs éléments. La représentation graphique peut être utile, mais elle ne définit pas à elle seule une structure algébrique.

Explication

La loi prend un élément de chacun des ensembles $A$ et $B$ et renvoie un élément de $B$. Son résultat n’est donc pas nécessairement dans $A$, comme le suggérerait une confusion entre les ensembles d’entrée et de sortie.

Explication

Une loi de composition est interne lorsque les deux ensembles concernés sont égaux, soit $A=B$. Si $A\ne B$, elle est dite externe, même si l’un des ensembles est inclus dans l’autre.

Explication

Un corps est un triplet dont les deux lois de composition satisfont ensemble les neuf axiomes requis. La commutativité et l’associativité seules ne suffisent pas à garantir les autres propriétés, comme l’existence d’inverses multiplicatifs non nuls.

Explication

La distributivité de la multiplication par rapport à l’addition figure parmi les neuf axiomes d’un corps. L’élément nul ne possède pas d’inverse multiplicatif selon l’axiome, tandis que les autres propositions contredisent les propriétés requises.

Explication

Dans un corps, chaque élément non nul doit avoir un inverse multiplicatif appartenant à l’ensemble, ce qui n’est pas le cas pour tous les entiers. L’addition des entiers est commutative et possède un élément neutre, et leur multiplication est associative.