QCM : Théorèmes de Pythagore et Thalès (9 questions)

Question 1

1. Dans un triangle rectangle, comment s’exprime le carré de l’hypoténuse à l’aide des deux autres côtés ?

Il est égal à la différence des carrés des deux côtés de l’angle droit.

Il est égal à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit.

Il est égal au double de la somme des deux côtés de l’angle droit.

Il est égal au produit des carrés des deux côtés de l’angle droit.

Explication

Le théorème de Pythagore affirme que le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit. La différence des carrés intervient plutôt lorsqu’on cherche la longueur d’un côté de l’angle droit.

Answer

Il est égal à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit.

Question 2

2. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 13 cm et un côté de l’angle droit mesure 5 cm. Quelle opération permet de calculer la longueur de l’autre côté de l’angle droit ?

Calculer

13-5

, puis prendre le carré du résultat.

Calculer la racine carrée de

13^2+5^2

.

Calculer la racine carrée de

5^2-13^2

.

Calculer la racine carrée de

13^2-5^2

.

Explication

On soustrait le carré du côté connu au carré de l’hypoténuse, puis on prend la racine carrée du résultat. Additionner les carrés donnerait une valeur qui ne correspond pas au calcul d’un côté de l’angle droit.

Answer

Calculer la racine carrée de $$13^2-5^2$$.

Question 3

3. Dans un triangle, le plus grand côté mesure 10 cm et les deux autres côtés mesurent 6 cm et 8 cm. Quelle conclusion peut-on tirer ?

Le triangle est rectangle et le côté de 8 cm est son hypoténuse.

Le triangle est isocèle, car deux côtés sont inférieurs au plus grand.

Le triangle n’est pas rectangle, car les carrés des côtés diffèrent.

Le triangle est rectangle et le côté de 10 cm est son hypoténuse.

Explication

Comme $10^2=6^2+8^2$ , le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres, ce qui établit que le triangle est rectangle et que le côté de 10 cm est l’hypoténuse. Le côté de 8 cm ne peut pas être l’hypoténuse puisqu’il n’est pas le plus grand côté.

Answer

Le triangle est rectangle et le côté de 10 cm est son hypoténuse.

Question 4

4. Dans un triangle ABC, les longueurs sont AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13 cm. En comparant les carrés des côtés, quelle conclusion obtient-on ?

Le triangle n’est pas rectangle, car

BC^2

est supérieur à

AB^2+AC^2

.

Le triangle est rectangle en C, car

AC^2=AB^2+BC^2

.

Le triangle est rectangle en A, car

BC^2=AB^2+AC^2

.

Le triangle est rectangle en B, car

AB^2=AC^2+BC^2

.

Explication

On a $13^2=5^2+12^2$ , donc le plus grand côté BC vérifie la réciproque du théorème de Pythagore et l’angle opposé, en A, est droit. L’angle droit ne se trouve pas en B : son côté opposé, AC, n’est pas le plus grand côté.

Answer

Le triangle est rectangle en A, car $$BC^2=AB^2+AC^2$$.

Question 5

5. Que signifie le fait que deux droites soient chacune perpendiculaires à une même droite ?

Elles ont la même longueur.

Elles sont sécantes en un point commun.

Elles sont perpendiculaires entre elles.

Elles sont parallèles entre elles.

Explication

Dans le plan, deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Elles ne sont pas perpendiculaires l’une à l’autre : elles ont la même direction.

Answer

Elles sont parallèles entre elles.

Question 6

6. Dans une configuration de Thalès, on connaît AM = 3 cm, AB = 7,8 cm, AC = 13 cm et MN = 7 cm. Quelle est la longueur de AN ?

9,1 cm

5 cm

4,2 cm

18,2 cm

Explication

Les longueurs correspondantes sont proportionnelles, donc $\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$ et $AN=\frac{13\times3}{7,8}=5$ cm. La valeur 18,2 cm correspond à la longueur CB dans cet exemple, et non à AN.

Answer

Vérifier si les rapports correspondants sont égaux afin de conclure que les droites sont parallèles.

Answer

Pour l’hypoténuse, on additionne les carrés des deux autres côtés ; pour un côté de l’angle droit, on soustrait le carré de l’autre côté à celui de l’hypoténuse avant de prendre la racine carrée.

Answer

Le triangle est rectangle et son plus grand côté est l’hypoténuse.

Question 7

7. Quel est le rôle des rapports de longueurs dans le test du parallélisme avec Thalès ?

Montrer que deux droites sont parallèles parce qu’elles sont perpendiculaires à une même droite.

Vérifier si les rapports correspondants sont égaux afin de conclure que les droites sont parallèles.

Déterminer si un triangle est rectangle en comparant les carrés de ses côtés.

Calculer la longueur d’un segment en utilisant la proportionnalité créée par des droites parallèles.

Explication

La comparaison des rapports correspondants sert à tester le parallélisme : des rapports égaux permettent de conclure que les droites sont parallèles, tandis que des rapports différents indiquent qu’elles ne le sont pas. Le calcul d’une longueur par proportionnalité relève de l’utilisation directe du théorème de Thalès, et non de son test.

Question 8

8. Quelle différence distingue le calcul de l’hypoténuse de celui d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle ?

Pour l’hypoténuse, on prend la racine carrée de la somme des deux longueurs ; pour un côté de l’angle droit, on prend la racine carrée de leur produit.

Pour l’hypoténuse, on additionne directement les longueurs des deux autres côtés ; pour un côté de l’angle droit, on calcule leur différence.

Pour l’hypoténuse, on additionne les carrés des deux autres côtés ; pour un côté de l’angle droit, on soustrait le carré de l’autre côté à celui de l’hypoténuse avant de prendre la racine carrée.

Pour l’hypoténuse, on soustrait les carrés des deux autres côtés ; pour un côté de l’angle droit, on les additionne avant de prendre la racine carrée.

Explication

Le théorème de Pythagore donne le carré de l’hypoténuse comme somme des carrés des deux côtés de l’angle droit. Pour retrouver un côté de l’angle droit, on retranche le carré de l’autre côté à celui de l’hypoténuse, puis on extrait la racine carrée ; additionner les carrés sert donc à calculer l’hypoténuse, pas ce côté.

Question 9

9. Dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Quelle conséquence cela entraîne-t-il ?

Le triangle est isocèle et son plus grand côté est une médiane.

Le triangle est équilatéral et ses côtés sont de même longueur.

Le triangle est obtusangle et son plus grand côté est opposé à l’angle obtus.

Le triangle est rectangle et son plus grand côté est l’hypoténuse.

Explication

Cette égalité entre les carrés des côtés permet de conclure que le triangle est rectangle, le plus grand côté étant son hypoténuse. Un triangle obtusangle ne vérifie pas cette égalité, mais une inégalité stricte entre les carrés concernés.

QCM : Théorèmes de Pythagore et Thalès (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un triangle rectangle, comment s’exprime le carré de l’hypoténuse à l’aide des deux autres côtés ?

2. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse mesure 13 cm et un côté de l’angle droit mesure 5 cm. Quelle opération permet de calculer la longueur de l’autre côté de l’angle droit ?

3. Dans un triangle, le plus grand côté mesure 10 cm et les deux autres côtés mesurent 6 cm et 8 cm. Quelle conclusion peut-on tirer ?

4. Dans un triangle ABC, les longueurs sont AB = 5 cm, AC = 12 cm et BC = 13 cm. En comparant les carrés des côtés, quelle conclusion obtient-on ?

5. Que signifie le fait que deux droites soient chacune perpendiculaires à une même droite ?

6. Dans une configuration de Thalès, on connaît AM = 3 cm, AB = 7,8 cm, AC = 13 cm et MN = 7 cm. Quelle est la longueur de AN ?

7. Quel est le rôle des rapports de longueurs dans le test du parallélisme avec Thalès ?

8. Quelle différence distingue le calcul de l’hypoténuse de celui d’un côté de l’angle droit dans un triangle rectangle ?

9. Dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Quelle conséquence cela entraîne-t-il ?

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