QCM : Second degré et suites numériques (18 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle forme générale définit un trinôme du second degré ?

P(x)=ax3+bx+cP(x)=ax^3+bx+c, avec a≠0a\neq 0
P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c, avec a=0a=0
P(x)=ax2+cP(x)=ax^2+c, avec a≠0a\neq 0
P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c, avec a≠0a\neq 0

$$P(x)=ax^2+bx+c$$, avec $$a\neq 0$$

Explication

Un trinôme du second degré comporte un terme en x2x^2 dont le coefficient aa est non nul. Si a=0a=0, le terme quadratique disparaît et l’expression n’est plus du second degré.

2. Pour P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c, quelle expression permet de calculer le discriminant ?

Δ=ac−4b\Delta=ac-4b
Δ=b2+4ac\Delta=b^2+4ac
Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac
Δ=4b2−ac\Delta=4b^2-ac

$$\Delta=b^2-4ac$$

Explication

Le discriminant se calcule en soustrayant 4ac4ac au carré du coefficient bb. L’expression b2+4acb^2+4ac, qui ne change que le signe du terme en acac, ne correspond pas à cette formule.

3. Que peut-on conclure des racines réelles d’un trinôme lorsque son discriminant est nul ?

Il possède une racine réelle simple et une racine complexe.
Il possède deux racines réelles distinctes.
Il possède une racine réelle double.
Il ne possède aucune racine réelle.

Il possède une racine réelle double.

Explication

Un discriminant nul correspond à une seule racine réelle, comptée deux fois. L’absence de racine réelle correspond plutôt à un discriminant négatif.

4. Lorsque le discriminant est positif et que les racines sont x1x_1 et x2x_2, quelle forme factorisée obtient-on pour P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c ?

P(x)=a(x−x1)2(x−x2)P(x)=a(x-x_1)^2(x-x_2)
P(x)=a(x+x1)(x+x2)P(x)=a(x+x_1)(x+x_2)
P(x)=a(x−x1)(x−x2)P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)
P(x)=(x−x1)(x−x2)P(x)=(x-x_1)(x-x_2)

$$P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Explication

Avec deux racines réelles distinctes, le trinôme se factorise en le produit de son coefficient principal par les deux facteurs associés aux racines. La forme sans facteur aa ne conserve généralement pas le coefficient principal du trinôme.

5. Quelle écriture factorisée de 9x2−6x+19x^2-6x+1 révèle sa racine ?

(3x−1)(3x+1)(3x-1)(3x+1), avec une racine x=13x=\frac13
(3x+1)2(3x+1)^2, avec une racine x=−13x=-\frac13
(3x−1)2(3x-1)^2, avec une racine x=13x=\frac13
(9x−1)(x−1)(9x-1)(x-1), avec une racine x=1x=1

$$(3x-1)^2$$, avec une racine $$x=\frac13$$

Explication

L’expression est le carré remarquable (3x−1)2(3x-1)^2, qui s’annule lorsque 3x−1=03x-1=0, donc pour x=13x=\frac13. Le carré (3x+1)2(3x+1)^2 aurait plutôt pour racine −13-\frac13.

6. Un trinôme a deux racines réelles distinctes et son coefficient principal est positif. Comment son signe se répartit-il par rapport à ses racines ?

Il est négatif des deux côtés et nul entre les racines.
Il est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.
Il est positif des deux côtés et nul entre les racines.
Il est négatif à l’extérieur des racines et positif entre elles.

Il est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

Explication

Avec deux racines distinctes et un coefficient principal positif, le trinôme est positif à l’extérieur de l’intervalle délimité par les racines et négatif à l’intérieur. La répartition inverse correspond au cas où le coefficient principal est négatif.

7. Si un trinôme a un discriminant négatif et un coefficient principal négatif, quel est son signe sur les réels ?

Il change de signe en deux racines réelles distinctes.
Il est strictement négatif pour tout réel.
Il s’annule en une racine réelle double.
Il est strictement positif pour tout réel.

Il est strictement négatif pour tout réel.

Explication

Lorsque le discriminant est négatif, le trinôme garde le signe de son coefficient principal ; ici, ce signe est négatif. Un changement de signe en deux racines distinctes nécessiterait un discriminant positif.

8. Quelle forme algébrique caractérise une fonction du second degré dont le graphique est une parabole ?

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, avec une représentation graphique en forme de parabole
f(x)=ax+bf(x)=\frac{a}{x}+b, avec une représentation graphique en forme de courbe hyperbolique
f(x)=ax3+bx+cf(x)=ax^3+bx+c, avec une représentation graphique en forme de parabole
f(x)=ax+bf(x)=ax+b, avec une représentation graphique en forme de droite

$$f(x)=ax^2+bx+c$$, avec une représentation graphique en forme de parabole

Explication

Une fonction du second degré s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c et sa représentation graphique est une parabole. Une expression affine comme ax+bax+b représente une droite, et non une parabole.

9. Une fonction quadratique a un coefficient a<0a<0 : quelle caractéristique décrit sa parabole et son extremum ?

Elle est tournée vers le haut et la fonction possède un maximum.
Elle est tournée vers le haut et la fonction possède un minimum.
Elle est tournée vers le bas et la fonction possède un minimum.
Elle est tournée vers le bas et la fonction possède un maximum.

Elle est tournée vers le bas et la fonction possède un maximum.

Explication

Quand a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas, de sorte que la fonction possède un maximum. Une parabole tournée vers le haut correspond au cas a>0a>0 et possède un minimum.

10. Pour résoudre une inéquation du second degré sur un intervalle de définition, quelle démarche permet de déterminer les valeurs admissibles ?

Étudier le signe de chaque terme séparément, additionner les intervalles obtenus, puis retenir les valeurs où le discriminant est positif.
Résoudre l’équation associée, garder ses racines comme seules solutions, puis vérifier leur appartenance à l’intervalle.
Traduire la condition en inéquation, regrouper les termes, calculer le discriminant et les racines, puis utiliser le tableau de signes sur l’intervalle.
Calculer le sommet, remplacer les racines par l’axe de symétrie, puis retenir les valeurs où la fonction atteint son extremum.

Traduire la condition en inéquation, regrouper les termes, calculer le discriminant et les racines, puis utiliser le tableau de signes sur l’intervalle.

Explication

La résolution passe par la mise en inéquation, le regroupement des termes, le calcul des racines et l’étude du signe, en tenant compte de l’intervalle de définition. Les racines de l’équation associée délimitent les zones de signe, mais ne sont pas à elles seules les solutions de l’inéquation.

11. Dans un exemple de résolution d’inéquation quadratique, le discriminant vaut 36 et les racines sont 4 et 16 : quel ensemble décrit la solution ?

t∈[4;16]t\in[4;16], soit entre 0,4 et 1,6 seconde
t∈[0;4]t\in[0;4], soit entre 0 et 0,4 seconde
t∈[16;+∞)t\in[16;+\infty), soit à partir de 1,6 seconde
t∈(−∞;4]∪[16;+∞)t\in(-\infty;4]\cup[16;+\infty), soit avant 0,4 ou après 1,6 seconde

$$t\in[4;16]$$, soit entre 0,4 et 1,6 seconde

Explication

Dans cet exemple, les valeurs qui vérifient l’inéquation sont comprises entre les racines, soit t∈[4;16]t\in[4;16], ce qui correspond à 0,4 à 1,6 seconde. L’intervalle extérieur aux racines ne correspond pas à la solution de cet exemple.

12. Pour f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c, quelle formule donne l’abscisse du sommet de la parabole ?

xS=−b2ax_S=-\frac{b}{2a}
xS=bax_S=\frac{b}{a}
xS=−c2ax_S=-\frac{c}{2a}
xS=−a2bx_S=-\frac{a}{2b}

$$x_S=-\frac{b}{2a}$$

Explication

L’abscisse du sommet d’une fonction quadratique est donnée par xS=−b2ax_S=-\frac{b}{2a}. La constante cc ne remplace pas le coefficient bb dans cette formule.

13. Si le coefficient quadratique vérifie a<0a<0, quel rôle joue le sommet de la parabole pour la fonction ?

Il correspond à la valeur minimale de la fonction.
Il indique le point où la fonction change de signe.
Il indique la racine positive de la fonction.
Il correspond à la valeur maximale de la fonction.

Il correspond à la valeur maximale de la fonction.

Explication

Lorsque a<0a<0, la parabole est tournée vers le bas et le sommet donne le maximum de la fonction. Le minimum est associé à une parabole tournée vers le haut, c’est-à-dire au cas a>0a>0.

14. Comment reconnaît-on une suite définie explicitement ?

Une valeur initiale est suivie d’une règle utilisant le terme précédent.
Une formule donne directement un terme à partir de son indice.
Une formule relie chaque terme au terme qui le suit.
Une liste de termes est donnée sans règle de calcul.

Une formule donne directement un terme à partir de son indice.

Explication

Une suite explicite fournit une formule dans laquelle l’indice permet de calculer directement le terme correspondant. Une règle qui utilise le terme précédent caractérise plutôt une définition par récurrence.

15. Pour calculer un terme d’une suite définie explicitement, quelle opération faut-il effectuer ?

Appliquer successivement la formule aux termes précédents.
Remplacer l’indice dans la formule par le rang du terme précédent.
Remplacer l’indice dans la formule par l’indice du terme recherché.
Ajouter le terme initial à la valeur de la formule.

Remplacer l’indice dans la formule par l’indice du terme recherché.

Explication

Le calcul consiste à substituer dans la formule l’indice du terme que l’on cherche. Appliquer la règle successivement à partir d’un terme précédent correspond au calcul d’une suite définie par récurrence.

16. Quels éléments sont nécessaires pour définir une suite par récurrence ?

Un terme final et une formule qui remonte vers le terme précédent.
Un terme initial et une formule qui utilise le terme précédent.
Deux termes consécutifs et une formule indépendante de leurs valeurs.
Une formule qui donne directement chaque terme en fonction de son indice.

Un terme initial et une formule qui utilise le terme précédent.

Explication

Une définition par récurrence indique un terme initial ainsi qu’une règle pour obtenir chaque terme à partir du précédent. Une formule donnant directement chaque terme selon son indice décrit une suite explicite.

17. Quelle écriture exprime une relation de récurrence reliant le terme suivant au terme actuel ?

un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)
un+1=f(n)u_{n+1}=f(n)
un=f(n+1)u_n=f(n+1)
un=f(un+1)u_n=f(u_{n+1})

$$u_{n+1}=f(u_n)$$

Explication

Dans une relation de récurrence, le terme d’indice suivant est calculé à partir du terme actuel, ce qui s’écrit un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n). L’expression un+1=f(n)u_{n+1}=f(n) dépend de l’indice et non de la valeur du terme précédent.

18. Pour calculer plusieurs termes d’une suite définie par récurrence, quelle démarche faut-il suivre ?

Remplacer successivement l’indice dans une formule donnant chaque terme directement.
Choisir un terme quelconque et appliquer la relation vers les indices précédents.
Calculer d’abord le dernier terme, puis remonter jusqu’au terme initial.
Partir du terme initial et appliquer la relation dans l’ordre, terme après terme.

Partir du terme initial et appliquer la relation dans l’ordre, terme après terme.

Explication

On part de la valeur initiale, puis on calcule chaque terme à partir du précédent en suivant l’ordre des indices. Remplacer directement l’indice dans une formule correspond à une méthode explicite, et non à cette démarche récurrente.

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Quelle forme générale définit un trinôme du second degré ?

P(x)=ax2+bx+cP(x)=ax^2+bx+c, avec a≠0a\neq 0.

Quelle formule donne le discriminant d’un trinôme ?

Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac.

Combien de racines réelles possède un trinôme si Δ>0\Delta>0 ?

Deux racines réelles distinctes.

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