Fiche de révision : Second degré et suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Trinôme et discriminant
2. Factorisation des trinômes
3. Signe d’un trinôme
4. Parabole et fonction quadratique
5. Inéquation et hauteur de fusée
6. Sommet et maximum
7. Suite définie explicitement
8. Suite définie par récurrence

📖 1. Trinôme et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré s’écrit $P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le discriminant d’un trinôme est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si $\Delta>0$, le trinôme possède deux racines réelles distinctes ; si $\Delta=0$, il possède une racine double ; si $\Delta<0$, il ne possède aucune racine réelle.

Compléments

📐 Formule - Si $\Delta>0$, les racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ ; si $\Delta=0$, la racine double est $x_0=\frac{-b}{2a}$.

📖 2. Factorisation des trinômes

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise sous la forme $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

• Le trinôme $x^2-2x-63$ se factorise en $(x-9)(x+7)$ et possède les racines $-7$ et $9$.

📐 Formule - L’identité remarquable $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ permet d’écrire $9x^2-6x+1=(3x-1)^2$, dont la racine est $x=\frac13$.

📖 3. Signe d’un trinôme

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta>0$ et $a>0$, le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme garde toujours le signe de $a$ : il est strictement positif si $a>0$ et strictement négatif si $a<0$.

Compléments

• Pour $5x^2+2x+3$, le discriminant vaut $-56$ et, comme $a=5>0$, le trinôme est toujours strictement positif.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur, le signe suit a ; entre deux racines, il s’inverse.

📖 4. Parabole et fonction quadratique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction du second degré : Une fonction du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec une représentation graphique en forme de parabole.

📝 Points essentiels

📌 Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et la fonction possède un minimum ; si $a<0$, elle est tournée vers le bas et la fonction possède un maximum.

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole vers le haut et minimum ; a < 0 : vers le bas et maximum.

📖 5. Inéquation et hauteur de fusée

★ À maîtriser

• Pour résoudre une inéquation avec une fonction du second degré, on traduit la phrase en inéquation, regroupe les termes du même côté, calcule le discriminant, trouve les racines, établit le tableau de signes et conserve les valeurs qui vérifient l’inégalité dans l’intervalle de définition.

• Dans cet exemple, le discriminant vaut 36, les racines sont 4 et 16, et la solution est $t\in[4;16]$, soit entre 0,4 et 1,6 seconde.

Compléments

• Pour la hauteur $h(t)=-0{,}5t^2+10t+8$, la condition d’explosion à au moins 40 mètres devient $-0{,}5t^2+10t-32\geq0$.

💡 Astuce mémo

Traduire, regrouper, discriminer, résoudre, puis filtrer selon l’intervalle.

📖 6. Sommet et maximum

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, l’abscisse du sommet est $x_S=-\frac{b}{2a}$.

📌 Lorsque $a<0$, le sommet de la parabole donne le maximum de la fonction.

Compléments

• Pour $h(t)=-0{,}5t^2+10t+8$, le sommet est atteint à $t=10$ dixièmes de seconde, soit 1 seconde, et la hauteur maximale vaut 58 m.

📖 7. Suite définie explicitement

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite définie explicitement : Une suite définie explicitement est donnée par une formule qui permet de calculer directement un terme en remplaçant $n$ par son indice.

★ À maîtriser

• Pour calculer un terme d’une suite explicite, on remplace $n$ par l’indice du terme dans la formule.

Compléments

📌 Si une suite commence à l’indice 0, son terme de rang 15 est $v_{14}$, car le rang est égal à l’indice augmenté de 1.

• Pour $v_n=2n^2-8n+11$, le terme $v_{14}$ vaut 291.

📖 8. Suite définie par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite définie par récurrence : Une suite définie par récurrence nécessite un terme initial et une formule permettant de calculer chaque terme à partir du précédent.

★ À maîtriser

📐 Formule - Une relation de récurrence peut s’écrire $u_{n+1}=f(u_n)$.

• Pour calculer les termes d’une suite définie par récurrence, on part du terme initial et on applique la relation dans l’ordre, chaque terme étant calculé à partir du précédent.

Compléments

• Pour une revue comptant 5 000 abonnés au départ, avec 60 % de renouvellement et 500 nouveaux abonnés par an, la suite vérifie $u_0=5000$ et $u_{n+1}=0{,}6u_n+500$.

• Pour le modèle d’abonnés, les trois premiers termes sont $u_0=5000$, $u_1=3500$ et $u_2=2600$.

• Avec le terme initial $u_0=2$ et la relation $u_{n+1}=u_n^2-3$, les trois premiers termes sont $u_0=2$, $u_1=1$ et $u_2=-2$.

💡 Astuce mémo

Terme initial, relation, puis calcul terme après terme.