Quelles conditions doit vérifier une norme sur un espace vectoriel ?
Séparation, homogénéité et inégalité triangulaire.
Que signifie la séparation pour une norme ?
si et seulement si .
Quelle est la propriété d'homogénéité d'une norme ?
pour tout scalaire .
Quelle inégalité doit satisfaire une norme pour tout ?
.
Qu'est-ce qu'un espace vectoriel normé ?
Un espace vectoriel muni d'une norme.
Quelle formule relie une norme à une distance ?
Que dit l'inégalité triangulaire inverse ?
Qu'est-ce qu'une boule ouverte dans un EVN ?
L'ensemble des points à distance strictement inférieure à un rayon donné d'un centre.
Quelle condition définit une partie bornée dans un EVN ?
Il existe un réel C>0 tel que toutes ses normes soient inférieures ou égales à C.
Quelle propriété de la limite d'une suite convergente dans un EVN ?
La limite est unique.
Que fait la suite des normes d'une suite convergente dans un EVN ?
Elle converge vers la norme de la limite.
Quelle propriété de toute suite convergente concernant sa borne ?
Elle est bornée.
La réciproque de "toute suite bornée est convergente" est-elle vraie ?
Non, elle est fausse en général.
Quelle condition caractérise deux normes équivalentes sur un espace vectoriel E ?
Il existe a,b>0 tels qu'a∥x∥₁≤∥x∥₂≤b∥x∥₁ pour tout x∈E.
Que donnent deux normes équivalentes concernant les suites convergentes ?
Elles donnent exactement les mêmes suites convergentes.
Quelle limite partagent deux normes équivalentes pour chaque suite ?
Elles partagent la même limite pour chaque suite.
Quelle propriété des normes est vraie sur tout espace vectoriel de dimension finie ?
Toutes les normes sont équivalentes.
Dans R^d, comment se caractérise la convergence d'une suite vers ℓ selon une norme quelconque ?
La suite converge vers ℓ si et seulement si elle converge coordonnée par coordonnée.
Quelles propriétés doit vérifier une distance sur un ensemble E?
La séparation des points, la symétrie et l'inégalité triangulaire.
Quelle est la valeur de la distance discrète entre deux points égaux?
Elle vaut 0.
Quelle est la valeur de la distance discrète entre deux points distincts?
Elle vaut 1.
Quelle condition caractérise la convergence d'une suite (x_n) vers ℓ dans un espace métrique?
Pour tout ε>0, il existe n₀ tel que n≥n₀ entraîne d(x_n,ℓ)≤ε.
Comment se définit la distance de x à une partie A dans un espace métrique ?
C'est l'infimum des distances entre x et les points de A.
Qu'impose une isométrie entre deux espaces métriques ?
Elle conserve toutes les distances entre points.
Qu'est-ce qu'une partie dense D d'un espace métrique X ?
Tout élément de X est limite d'une suite d'éléments de D.
Quelle est la formule de la distance produit sur un produit d'espaces métriques ?
Quelle condition caractérise la convergence d'une suite dans un produit métrique ?
Elle converge si et seulement si elle converge coordonnée par coordonnée.
Quelle condition définit la continuité d'une application f en a entre espaces métriques ?
Pour tout ε>0, il existe η>0 tel que d(x,a)≤η entraîne δ(f(x),f(a))≤ε.
Qu'impose la définition d'une application k-lipschitzienne ?
δ(f(u),f(v))≤k d(u,v) pour tous u,v.
Quelle propriété ont toutes les applications lipschitziennes ?
Elles sont continues et uniformément continues.
Quelle condition caractérise la continuité d'une application en a via les suites ?
Toute suite convergeant vers a a son image qui converge vers f(a).
Quand la composition de deux applications est-elle continue ?
Quand les deux applications sont continues.
Qu'est-ce qu'un homéomorphisme ?
Une application continue, bijective, dont la réciproque est continue.
Quelles propriétés sont équivalentes pour une application linéaire continue T entre EVN ?
Être continue, continue en 0 ou un point, bornée sur boule ou sphère unité, vérifier ∥T(v)∥'≤C∥v∥, être lipschitzienne.
Quelle inégalité caractérise la continuité d'une application linéaire T entre EVN ?
Il existe C≥0 tel que ∥T(v)∥'≤C∥v∥ pour tout v.
L'application t ↦ de [0,1[ vers le cercle unité est-elle un homéomorphisme ?
Non, elle est continue et bijective mais pas un homéomorphisme.
Les espaces [0,1[ et le cercle unité sont-ils homéomorphes ?
Non, ils ne sont pas homéomorphes.
Quelles propriétés sont équivalentes pour une application linéaire entre espaces normés ?
Continuité, continuité en zéro, continuité en un point, bornitude sur boule unité fermée, ouverte, sphère, existence d'un C≥0 et lipschitzianité.
Quelle étape initiale prouve la continuité d'une application linéaire ?
Établir une inégalité pour une constante C.
Comment se définit la norme opérateur d'une application linéaire continue T ?
.
Quelle inégalité vérifie la norme de la composition de deux applications linéaires continues ?
.
Que devient toute application linéaire de dimension finie vers un espace vectoriel normé ?
Elle est automatiquement continue.
Quelle égalité relie L(X,Y) et LC(X,Y) si X est de dimension finie ?
L(X,Y)=LC(X,Y).
Quelle condition caractérise une partie ouverte ω dans un espace métrique E ?
Pour tout x dans ω, il existe r>0 tel que B(x,r) est inclus dans ω.
Comment définir une partie fermée F dans un espace métrique E ?
Son complémentaire E\F est ouvert.
Quelles sont les propriétés des boules ouvertes, boules fermées et sphères dans un espace métrique ?
Les boules ouvertes sont ouvertes, les boules fermées et les sphères sont fermées.
Quelle propriété ont les réunions et intersections d'ouverts et de fermés ?
Réunion quelconque d'ouverts et intersection finie d'ouverts sont ouvertes; intersection quelconque de fermés et union finie de fermés sont fermées.
Quelle inclusion existe entre boule ouverte et boule fermée de même centre et rayon ?
La boule ouverte est incluse dans la boule fermée.
Dans un EVN, où se situe une boule fermée de rayon ρ par rapport aux boules ouvertes de rayon supérieur ?
Elle est incluse dans toute boule ouverte de rayon strictement supérieur à ρ.
Que devient la somme de deux suites convergentes ?
Elle est convergente.
Comment se calcule la limite de la somme de deux suites convergentes ?
C'est la somme des limites.
Que devient le multiple scalaire d'une suite convergente ?
Il est convergent.
Comment se calcule la limite du multiple scalaire d'une suite convergente ?
C'est le multiple scalaire de la limite.
Pourquoi une suite convergente dans un espace métrique a-t-elle une limite unique?
Parce que la distance entre deux limites éventuelles est nulle.
Quelle est la constante de Lipschitz pour la fonction distance à un point x↦d(x,a) ?
1-lipschitzienne.
Quelle est la constante de Lipschitz pour la distance d(x,y) sur E×E ?
2-lipschitzienne.
Quelle application réalise un homéomorphisme de ℝ sur ]−π/2,π/2[ ?
L'application arctan.
Quelle application réalise un homéomorphisme de ]0,1[ sur le cercle unité privé du point 1 ?
L'application t ↦ .
Qu'est-ce que la norme opérateur représente parmi les constantes de Lipschitz ?
La plus petite constante de Lipschitz admissible.
Le supremum définissant la norme opérateur est-il toujours atteint dans la boule unité ouverte ?
Non, il n’est pas toujours atteint.
Quand l’application diagonale T(xn)=(λnxn) de ℓ2 dans ℓ2 est-elle définie et continue ?
Si et seulement si la suite λ est bornée.
Qu'est-ce qu'un voisinage de a dans un espace métrique ?
Une partie contenant un ouvert qui contient a.
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1. Laquelle des propriétés caractérise une norme sur un espace vectoriel ?
2. Comment note-t-on un espace vectoriel muni d’une norme ?
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