Fiche de révision : Espaces vectoriels normés et métriques

📋 Plan du Cours

1. Normes et espaces vectoriels normés
2. Boules, sphères et bornitude
3. Suites dans un espace normé
4. Équivalence des normes
5. Distances et espaces métriques
6. Boules et structures métriques
7. Applications continues métriques
8. Applications linéaires continues
9. Homéomorphismes d’espaces métriques
10. Continuité des applications linéaires
11. Norme opérateur et dimension finie
12. Ouverts fermés et voisinages
13. Intérieur adhérence et densité
14. Continuité et topologies induites
15. Topologie produit

📖 1. Normes et espaces vectoriels normés

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme : Une application de E dans R+ qui vérifie la séparation ∥x∥ = 0 si et seulement si x = 0, l’homogénéité ∥λx∥ = |λ|∥x∥ et l’inégalité triangulaire ∥x+y∥ ≤ ∥x∥+∥y∥.
• Espace vectoriel normé : Un K-espace vectoriel muni d’une norme, noté généralement (E,∥·∥) ou EVN.

📝 Points essentiels

📐 Formule — À toute norme est associée la distance $d(x,y)=\|x-y\|$.

📌 L’inégalité triangulaire inverse affirme que $\left|\|x\|-\|y\|\right|\leq\|x-y\|\leq\|x\|+\|y\|$.

💡 Astuce mémo

ZHT : séparation Zéro, Homogénéité, Triangulation

📖 2. Boules, sphères et bornitude

🔑 Notions clés & Définitions

• Boule ouverte : Dans un EVN, l’ensemble $B(a,\rho)=\{x\in E;\|a-x\|<\rho\}$.
• Partie bornée : S’il existe C>0 tel que ∥a∥≤C pour tout a∈A, ce qui équivaut à A⊂B(0,C).

📝 Points essentiels

📌 Pour un même centre et un même rayon, la boule ouverte est incluse dans la boule fermée, tandis que la boule fermée de rayon ρ est incluse dans toute boule ouverte de rayon strictement supérieur à ρ.

💡 Astuce mémo

Boule ouverte : < ρ ; boule fermée : ≤ ρ

📖 3. Suites dans un espace normé

★ À maîtriser

📌 Toute suite convergente dans un EVN possède une limite unique et sa suite de normes converge vers la norme de cette limite.

📌 Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse en général.

Compléments

📌 La somme et le multiple scalaire de suites convergentes sont convergents, avec lim(x_n+y_n)=lim x_n+lim y_n et lim(λx_n)=λ lim x_n.

💡 Astuce mémo

Distance à la limite → 0 entraîne convergence et unicité

📖 4. Équivalence des normes

🔑 Notions clés & Définitions

• Normes équivalentes : Deux normes ∥·∥₁ et ∥·∥₂ sur E sont équivalentes s’il existe a,b>0 tels que, pour tout x∈E, a∥x∥₁≤∥x∥₂≤b∥x∥₁.

📝 Points essentiels

• Deux normes équivalentes donnent exactement les mêmes suites convergentes et la même limite pour chaque suite.

• Sur tout espace vectoriel de dimension finie réel ou complexe, toutes les normes sont équivalentes.

• Dans R^d, quelle que soit la norme choisie, une suite converge vers ℓ si et seulement si elle converge vers ℓ coordonnée par coordonnée.

💡 Astuce mémo

Dimension finie → toutes les normes sont équivalentes → mêmes suites convergentes

📖 5. Distances et espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : Une application d:E×E→R+ qui vérifie la séparation des points, la symétrie et l’inégalité triangulaire.
• Convergence métrique : Si, pour tout ε>0, il existe n₀ tel que n≥n₀ entraîne d(x_n,ℓ)≤ε.

★ À maîtriser

• La distance discrète sur un ensemble E vaut 0 si x=y et 1 si x≠y.

Compléments

📌 Dans tout espace métrique, une suite convergente possède une limite unique, car la distance entre deux limites éventuelles est nulle.

💡 Astuce mémo

Norme : structure vectorielle ; distance : simple ensemble muni d’une notion de proximité

📖 6. Boules et structures métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance à une partie : Pour une partie non vide A d’un espace métrique et x∈E, la distance de x à A est $d(x,A)=\inf\{d(x,a);a\in A\}$.
• Isométrie : Une application f entre deux espaces métriques qui conserve toutes les distances, c’est-à-dire δ(f(x),f(x'))=d(x,x') pour tous x,x'.
• Densité : Si tout élément de X est limite d’une suite d’éléments de D.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Sur un produit d’espaces métriques, la distance produit est $\delta_\infty(x,y)=\max_{1\leq k\leq m}d_k(x_k,y_k)$.

📌 Dans un produit métrique, une suite converge si et seulement si elle converge coordonnée par coordonnée.

📖 7. Applications continues métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Si, pour tout ε>0, il existe η>0 tel que d(x,a)≤η entraîne δ(f(x),f(a))≤ε.
• Application lipschitzienne : Si δ(f(u),f(v))≤k d(u,v) pour tous u,v, et toute application lipschitzienne est continue et uniformément continue.
• Homéomorphisme : Une application continue, bijective, dont la réciproque est continue.

★ À maîtriser

📌 Une application est continue en a si et seulement si l’image de toute suite convergeant vers a converge vers f(a).

📌 La composition de deux applications continues est continue, et une application à valeurs dans un produit est continue si et seulement si chacune de ses composantes est continue.

Compléments

📌 La distance à un point x↦d(x,a), la distance d(x,y) sur E×E et la distance à une partie x↦d(x,A) sont respectivement 1-lipschitzienne, 2-lipschitzienne et 1-lipschitzienne.

💡 Astuce mémo

Contrôle des distances → continuité ; contrôle uniforme → continuité

📖 8. Applications linéaires continues

📝 Points essentiels

• Les propriétés équivalentes sont:
  • être continue
  • être continue en 0 ou en un point
  • être bornée sur la boule unité fermée
  • être bornée sur la boule unité ouverte
  • être bornée sur la sphère unité
  • vérifier ∥T(v)∥'≤C∥v∥ pour un C≥0
  • être lipschitzienne

📐 Formule — En pratique, une application linéaire T entre EVN est continue si et seulement s’il existe C∈R+ tel que, pour tout v∈X, $\|T(v)\|'\leq C\|v\|$.

💡 Astuce mémo

Continuité linéaire : un point, boule, sphère, majoration, Lipschitz

📖 9. Homéomorphismes d’espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Homéomorphisme : Un homéomorphisme de X sur Y est une bijection continue dont la réciproque est continue.

★ À maîtriser

📌 L’application t ↦ e^{2iπt} de [0,1[ vers le cercle unité est continue et bijective, mais ce n’est pas un homéomorphisme, et [0,1[ n’est pas homéomorphe au cercle unité.

Compléments

• L’application arctan réalise un homéomorphisme de R sur ]−π/2,π/2[.

• L’application t ↦ e^{2iπt} réalise un homéomorphisme de ]0,1[ sur le cercle unité privé du point 1.

💡 Astuce mémo

Continue et bijective ne signifie pas toujours homéomorphisme

📖 10. Continuité des applications linéaires

📝 Points essentiels

• Les propriétés équivalentes sont:
  • la continuité
  • la continuité en zéro
  • la continuité en un point
  • la bornitude sur la boule unité fermée
  • la bornitude sur la boule unité ouverte
  • la bornitude sur la sphère unité
  • l’existence de C≥0 tel que ||T(v)||′≤C||v||
  • la lipschitzianité

📐 Formule — Une application linéaire T entre espaces vectoriels normés est continue si et seulement s’il existe C∈R+ tel que, pour tout v∈X, $\lVert T(v)\rVert'\le C\lVert v\rVert$.

• Pour montrer qu’une application linéaire est continue, on établit d’abord une inégalité de la forme ||T(v)||′≤C||v||, qui prouve simultanément la continuité et fournit une majoration de sa norme.

📐 Formule — Pour une application linéaire continue, la norme opérateur vérifie $\lVert T\rVert\!\rVert\!\rVert=\sup_{x\ne0}\frac{\lVert T(x)\rVert'}{\lVert x\rVert}=\inf\{C\in\mathbb R_+\mid \forall x,\ \lVert T(x)\rVert'\le C\lVert x\rVert\}$.

💡 Astuce mémo

Contrôle par la norme → continuité et Lipschitzianité

📖 11. Norme opérateur et dimension finie

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour T∈LC(X,Y) et S∈LC(Y,Z), la composition vérifie $\lVert S\circ T\rVert\!\rVert\!\rVert\le\lVert S\rVert\!\rVert\!\rVert\,\lVert T\rVert\!\rVert\!\rVert$.

📌 Si X est de dimension finie, toute application linéaire de X vers un espace vectoriel normé Y est automatiquement continue, donc L(X,Y)=LC(X,Y).

Compléments

📌 La norme opérateur est la plus petite constante de Lipschitz admissible, mais le supremum définissant cette norme n’est pas toujours atteint dans la boule unité ouverte.

• Pour une suite réelle λ, l’application diagonale T(xn)=(λnxn) de ℓ2 dans ℓ2 est définie et continue si et seulement si λ est bornée.

💡 Astuce mémo

Majorer, optimiser, composer

📖 12. Ouverts fermés et voisinages

🔑 Notions clés & Définitions

• Ouvert : Une partie ω d’un espace métrique E est ouverte si, pour tout x∈ω, il existe r>0 tel que B(x,r)⊂ω.
• Fermé : Une partie F d’un espace métrique E est fermée si son complémentaire E\F est ouvert.
• Voisinage : Partie contenant un ouvert qui contient a.

📝 Points essentiels

📌 Dans un espace métrique, les boules ouvertes sont ouvertes, les boules fermées sont fermées et les sphères sont fermées.

📌 Une réunion quelconque d’ouverts et une intersection finie d’ouverts sont ouvertes, tandis qu’une intersection quelconque de fermés et une union finie de fermés sont fermées.

💡 Astuce mémo

Ouvert : boules incluses ; fermé : complémentaire ouvert

📖 13. Intérieur adhérence et densité

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérieur : Plus grand ouvert inclus dans A.
• Adhérence : Plus petit fermé contenant A.
• Densité : Une partie A est dense dans E si son adhérence est E.

★ À maîtriser

📌 Dans un espace vectoriel normé, l’intérieur d’une boule est la boule ouverte correspondante, l’intérieur d’une sphère est vide et l’adhérence d’une boule de rayon strictement positif est la boule fermée correspondante.

📌 Un point x appartient à l’adhérence de A si et seulement si toute boule ouverte centrée en x rencontre A, ce qui équivaut à l’existence d’une suite d’éléments de A convergeant vers x.

Compléments

• L’ensemble des rationnels Q est dense dans R, car son adhérence est R.

💡 Astuce mémo

Intérieur ⊂ ensemble ⊂ adhérence

📖 14. Continuité et topologies induites

★ À maîtriser

• Pour une application entre espaces métriques, la continuité est équivalente au fait que l’image réciproque de tout ouvert est ouverte, ou que l’image réciproque de tout fermé est fermée.

• Si deux applications continues de X vers Y coïncident sur une partie dense de X, alors elles coïncident sur tout X.

• Pour une application f:A→Y, la continuité équivaut au fait que l’image réciproque de tout ouvert ou de tout fermé de Y soit respectivement un ouvert ou un fermé de A pour la topologie induite.

Compléments

• L’ensemble GLn(K) des matrices inversibles est un ouvert de Mn(K), car il est l’image réciproque de K* par l’application déterminant, qui est continue.

📌 Une application continue et surjective envoie toute partie dense sur une partie dense.

💡 Astuce mémo

Image réciproque d’ouvert ou fermé → critère de continuité

📖 15. Topologie produit

🔑 Notions clés & Définitions

• Topologie induite : Si A est une partie d’un espace métrique E, les ouverts de A sont exactement les ensembles A∩Ω où Ω est ouvert dans E, et les fermés de A sont exactement les ensembles A∩Φ où Φ est fermé dans E.
• Ouvert élémentaire : Produit ω1×⋯×ωm où chaque facteur ωj est ouvert dans Xj.

★ À maîtriser

📌 Les ouverts d’un produit fini d’espaces métriques sont exactement les réunions d’ouverts élémentaires.

Compléments

• Pour la distance produit définie par le maximum des distances coordonnées, une boule ouverte de rayon r centrée en (a1,…,am) est le produit des boules ouvertes de rayon r centrées en chaque aj.

💡 Astuce mémo

Un ouvert produit est un pavage de rectangles ouverts

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des structures

Caractérisations de la continuité linéaire