QCM : Espaces vectoriels normés et métriques — 46 questions

Explication

Une norme est positive, s’annule exactement en zéro, est homogène et satisfait l’inégalité triangulaire. Une semi-norme peut s’annuler sur des vecteurs non nuls, ce qui explique pourquoi cette propriété ne suffit pas ici.

Explication

Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel accompagné d’une norme, ce qui se note généralement $(E,\|\cdot\|)$. La notation $E^*$ désigne plutôt le dual de $E$ et ne contient pas l’information de la norme.

Explication

La distance associée à une norme est définie par la norme de la différence des deux vecteurs, soit $d(x,y)=\|x-y\|$. Les expressions fondées sur $\|x\|$ et $\|y\|$ séparément ne mesurent pas directement leur écart.

Explication

L’inégalité triangulaire inverse encadre la distance $\|x-y\|$ entre la différence absolue des normes et leur somme. La borne inférieure repose donc sur $\left|\|x\|-\|y\|\right|$, et non sur leur somme.

Explication

La boule ouverte est l’ensemble des points dont la distance au centre est strictement inférieure à $\rho$. La condition avec $\leq$ décrit la boule fermée, tandis que l’égalité décrit la sphère.

Explication

Une partie est bornée lorsqu’un même réel positif $C$ majore la norme de chacun de ses éléments, ce qui équivaut à $A\subset B(0,C)$. Une minoration des normes ou la présence d’une boule dans $A$ décrit une situation différente.

Explication

La convergence de $x_n$ vers $x$ entraîne la convergence de sa suite de normes vers $\|x\|$. Cette conclusion ne signifie pas que les normes deviennent constantes ni qu’elles tendent vers zéro lorsque la limite est non nulle.

Explication

Toute suite convergente est bornée, car ses termes restent contrôlés par la proximité avec sa limite et par un nombre fini de termes initiaux. En revanche, une suite bornée peut osciller entre plusieurs valeurs et ne pas avoir de limite.

Explication

L’équivalence exige deux bornes comparatives positives, l’une inférieure et l’autre supérieure, valables pour tout vecteur. Une seule inégalité ne suffit pas à contrôler les deux normes l’une par rapport à l’autre.

Explication

Deux normes équivalentes déterminent exactement les mêmes suites convergentes et la même limite pour chacune d’elles. Elles ne donnent pas nécessairement la même valeur à un vecteur ni les mêmes distances numériques.

Explication

En dimension finie, toutes les normes sur un espace vectoriel réel ou complexe sont équivalentes. Cette propriété n’implique ni leur égalité ni le fait que chacune provienne d’un produit scalaire.

Explication

Dans $\mathbb{R}^d$, la convergence pour toute norme équivaut à la convergence coordonnée par coordonnée vers $\ell$. La bornitude ou la seule convergence des écarts entre termes consécutifs ne garantit pas une limite donnée.

Explication

Une distance est une application de $E\times E$ dans $\mathbb{R}_+$ qui vérifie la séparation, la symétrie et l’inégalité triangulaire. Elle ne nécessite pas que $E$ soit muni d’une structure vectorielle.

Explication

La distance discrète distingue l’égalité de la différence par les valeurs zéro et un. La valeur zéro est réservée aux couples de points identiques, conformément à la séparation des points.

Explication

La convergence métrique exige que, pour chaque précision positive, tous les termes suffisamment avancés soient à cette distance ou moins de $\ell$. La diminution des écarts entre termes consécutifs ne suffit pas à assurer la convergence vers un point précis.

Explication

La distance de $x$ à $A$ est l’infimum des distances entre $x$ et les points de $A$. Le supremum mesure une distance maximale éventuelle, tandis que les deux autres expressions ne correspondent pas à cette définition.

Explication

Une isométrie conserve exactement la distance entre chaque paire de points. Une simple diminution des distances décrit une application contractante, qui n’est pas nécessairement une isométrie.

Explication

La densité signifie que chaque point de l’espace peut être approché par une suite dont tous les termes appartiennent à $D$. Elle n’impose pas que les suites de $D$ convergent ni que leur limite reste dans $D$.

Explication

La distance produit considérée est la distance uniforme, obtenue en prenant la plus grande distance entre coordonnées. La somme, le minimum et le produit définissent d’autres expressions, mais pas cette distance produit.

Explication

La continuité en $a$ exige de pouvoir choisir un voisinage de rayon $\eta$ pour chaque précision $\varepsilon$, avec une dépendance possible envers $a$. L’indépendance de $\eta$ par rapport au point caractérise plutôt une condition de continuité uniforme.

Explication

L’inégalité de Lipschitz contrôle globalement les distances entre toutes les images et entraîne à la fois la continuité et la continuité uniforme. Elle n’impose ni la bornitude de l’image ni la bijectivité.

Explication

Dans les espaces métriques, la continuité en $a$ équivaut à la préservation de la convergence de toute suite vers ce point. L’existence d’une seule suite convenable ne suffit pas à établir cette propriété.

Explication

La continuité d’une application à valeurs dans un produit est équivalente à la continuité de chacune de ses composantes. L’injectivité et la continuité d’une seule composante ne fournissent pas ce contrôle coordonnée par coordonnée.

Explication

Pour une application linéaire, une majoration globale par une constante fois la norme entraîne la continuité et équivaut aux autres critères usuels. La continuité en un point est également suffisante dans ce cas, mais elle ne l’est pas pour une application générale sans linéarité.

Explication

La continuité linéaire est équivalente à l’existence d’une constante positive ou nulle majorant uniformément $\|T(v)\|'$ par $C\|v\|$. Une minoration, une égalité en un seul vecteur ou une borne sur une seule sphère ne constitue pas le critère demandé.

Explication

Un homéomorphisme est une bijection qui préserve la structure topologique dans les deux sens grâce à la continuité de l’application et de sa réciproque. Une bijection continue peut échouer à être un homéomorphisme si son inverse n’est pas continu.

Explication

Cette application est continue et bijective, mais son inverse ne se prolonge pas continûment au voisinage du point correspondant à l’extrémité identifiée. La proximité de $0$ et de $1$ dans le cercle ne suffit donc pas à faire de $[0,1[$ un espace homéomorphe au cercle.

Explication

Pour une application linéaire, la continuité équivaut notamment à la bornitude sur la sphère unité. La dérivabilité, la compacité des images de boules et le contrôle d’une seule suite ne caractérisent pas cette continuité.

Explication

La continuité linéaire est équivalente à une majoration globale par une constante multipliant la norme de chaque vecteur. Un contrôle ponctuel ou sur une seule suite ne suffit pas, et la formulation locale doit être convertie en une borne valable pour tout l’espace.

Explication

Une inégalité globale de la forme indiquée fournit à la fois la continuité de $T$ et une majoration de sa norme opérateur. Les autres vérifications ne garantissent pas une telle estimation pour tous les vecteurs.

Explication

La norme de la composition est majorée par le produit des normes opérateur des deux applications. Une somme, une égalité ou une minoration ne découle pas de la propriété de composition.

Explication

En dimension finie, toute application linéaire définie sur $X$ est automatiquement continue, d’où $L(X,Y)=L_C(X,Y)$. La continuité n’implique ni isométrie, ni surjectivité, ni conservation des normes.

Explication

Une partie est ouverte lorsque chaque point de cette partie possède une boule ouverte entièrement contenue dans la partie. La condition portant sur tous les points de $E$ est plus forte, tandis qu’un seul point ne suffit pas et qu’une boule fermée n’est pas requise.

Explication

Par définition, une partie est fermée lorsque son complémentaire est ouvert. Les autres propriétés concernent l’ouverture ou des constructions particulières et ne caractérisent pas la fermeture.

Explication

Les ouverts sont stables par réunion quelconque et par intersection finie. Une intersection quelconque d’ouverts peut ne pas être ouverte, ce qui distingue cette propriété de la stabilité par réunions.

Explication

Un voisinage de $a$ est une partie qui contient au moins un ouvert contenant $a$. Il n’est pas nécessaire que le voisinage soit lui-même ouvert, ni qu’il contienne une boule fermée ou qu’il soit fermé.

Explication

L’intérieur de $A$ est défini comme le plus grand ouvert inclus dans cette partie. Le plus petit fermé contenant $A$ correspond à son adhérence, et non à son intérieur.

Explication

L’adhérence est le plus petit fermé qui contient $A$. Le plus grand ouvert contenu dans $A$ décrit plutôt l’intérieur de la partie.

Explication

Une boule possède pour intérieur la boule ouverte correspondante et pour adhérence la boule fermée de même centre et de même rayon. La sphère, en revanche, a un intérieur vide dans cet espace.

Explication

Un point appartient à l’adhérence de $A$ si toute boule ouverte centrée en ce point rencontre $A$, ce qui équivaut aussi à l’existence d’une suite de points de $A$ convergeant vers lui. L’appartenance à $A$ elle-même n’est pas requise.

Explication

La continuité se caractérise par la conservation, par image réciproque, des ouverts ou, de manière équivalente, des fermés. Les propriétés portant sur les images directes ne constituent pas la caractérisation générale de la continuité.

Explication

La continuité et la densité de la partie où les applications coïncident imposent leur égalité sur tout $X$. Une différence sur les points qui ne sont pas dans la partie dense est donc incompatible avec cette règle.

Explication

Avec la topologie induite sur $A$, la continuité de $f$ équivaut à la préservation par image réciproque des ouverts ou des fermés. La continuité n’exige pas que les images directes d’ouverts ou de fermés conservent ces propriétés.

Explication

Un ouvert de la topologie induite sur $A$ s’écrit comme l’intersection de $A$ avec un ouvert de $E$. Une intersection avec un fermé décrit plutôt les fermés induits, et non les ouverts.

Explication

Un ouvert élémentaire est un produit cartésien dont chaque facteur est un ouvert dans l’espace coordonné correspondant. Une boule produit peut fournir un exemple particulier, mais sa définition ne remplace pas celle d’un ouvert élémentaire général.

Explication

La topologie produit finie est engendrée par les ouverts élémentaires : tout ouvert est une réunion de tels produits, et toute réunion de ces produits est ouverte. Les intersections finies peuvent encore être élémentaires, mais elles ne décrivent pas à elles seules tous les ouverts.