QCM : Développements limités et dérivées partielles — 16 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant le principe des développements limités :

Le développement limité remplace l’argument x0+xx_0+x par une constante indépendante de xx.
Le développement limité décrit une fonction par une suite de valeurs sans terme de reste.
Un développement limité approxime une fonction par des puissances de l’écart à un point donné.
Un développement limité fournit une approximation sans faire intervenir de polynôme en xx.
Un développement limité au voisinage de x0x_0 utilise les puissances de xx dans f(x0+x)f(x_0+x).

Un développement limité approxime une fonction par des puissances de l’écart à un point donné. · Un développement limité au voisinage de $$x_0$$ utilise les puissances de $$x$$ dans $$f(x_0+x)$$.

Explication

Un développement limité approxime f(x0+x)f(x_0+x) par une somme de puissances de xx, accompagnée d’un reste. Il ne s’agit ni d’une simple suite de valeurs ni d’une approximation dépourvue de polynôme.

2. Parmi les propositions suivantes concernant la formule de Taylor, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La formule de Taylor utilise les dérivées évaluées en xx plutôt qu’en x0x_0.
Le terme de reste de Taylor est le polynôme de degré n.
La formule de Taylor additionne les dérivées de tous les ordres avec leurs puissances correspondantes.
Le coefficient de xkx^k dans Taylor vaut f(k)(x0)k!\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}.
Le coefficient de xkx^k est donné par f(k+1)(x0)k!\frac{f^{(k+1)}(x_0)}{k!}.

La formule de Taylor additionne les dérivées de tous les ordres avec leurs puissances correspondantes. · Le coefficient de $$x^k$$ dans Taylor vaut $$\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}$$.

Explication

La formule de Taylor s’écrit f(x0+x)=∑k=0∞f(k)(x0)k!xkf(x_0+x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k. Elle utilise les dérivées évaluées en x0x_0, additionne les dérivées de tous les ordres avec leurs puissances correspondantes et inclut le terme associé à la dérivée d’ordre zéro. Le coefficient de xkx^k vaut f(k)(x0)k!\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}, et non f(k+1)(x0)k!\frac{f^{(k+1)}(x_0)}{k!}. Le polynôme de degré n constitue l’approximation principale, tandis que le terme de reste est distinct de ce polynôme.

3. Un développement limité à l’ordre nn s’écrit :

Il utilise une somme allant de k=1k=1 à k=n+1k=n+1.
Il comprend les termes de puissances allant de x0x^0 à xnx^n.
Son reste est noté o(xn+1)o(x^{n+1}) dans la formule à l’ordre nn.
Il s’arrête au terme de degré n−1n-1 avant l’ajout du reste.
Il comporte un reste noté o(xn)o(x^n) lorsque xx tend vers zéro.

Il comprend les termes de puissances allant de $$x^0$$ à $$x^n$$. · Il comporte un reste noté $$o(x^n)$$ lorsque $$x$$ tend vers zéro.

Explication

À l’ordre nn, la formule est ∑k=0nf(k)(x0)k!xk+o(xn)\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k+o(x^n). La somme inclut donc le degré nn et le reste porte sur xnx^n, non sur xn+1x^{n+1}.

4. Concernant le développement limité de l’exponentielle en zéro, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le terme de degré deux est x23\frac{x^2}{3}.
Le terme de degré quatre s’écrit x412\frac{x^4}{12}.
Le terme constant du développement de exe^x vaut 11.
Le terme de degré trois est x36\frac{x^3}{6}.
Le développement commence par ex=x+1+x22e^x=x+1+\frac{x^2}{2} sans terme de degré trois.

Le terme constant du développement de $$e^x$$ vaut $$1$$. · Le terme de degré trois est $$\frac{x^3}{6}$$.

Explication

En zéro, ex=1+x+x22+x36+x424+⋯e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots. Le terme constant vaut donc 11 et le terme cubique vaut x36\frac{x^3}{6}; les autres coefficients proposés sont erronés.

5. Pour x=0,1x=0,1, quelles sont les réponses exactes au sujet des ordres d’approximation de l’exponentielle ?

L’ordre zéro fournit l’approximation 11.
L’ordre deux fournit l’approximation 1,011,01.
L’ordre deux fournit une approximation voisine de 1,1051,105.
L’ordre zéro fournit une approximation voisine de 1,1051,105.
L’ordre un fournit l’approximation 1,11,1.

L’ordre zéro fournit l’approximation $$1$$. · L’ordre deux fournit une approximation voisine de $$1,105$$. · L’ordre un fournit l’approximation $$1,1$$.

Explication

Pour x=0,1x=0,1, l’ordre zéro donne 11, l’ordre un donne 1,11,1 et l’ordre deux ajoute le terme quadratique, donnant environ 1,1051,105. Les valeurs 1,1051,105 à l’ordre zéro et 1,011,01 à l’ordre deux ne correspondent pas à ces calculs.

6. À propos du développement limité du cosinus en zéro :

Le terme quadratique du cosinus est −x22-\frac{x^2}{2}.
Le premier terme du cosinus en zéro est xx.
Le terme de degré quatre est x424\frac{x^4}{24}.
Le terme constant du cosinus vaut 11.
Le développement du cosinus présente des puissances paires de xx.

Le terme quadratique du cosinus est $$-\frac{x^2}{2}$$. · Le terme de degré quatre est $$\frac{x^4}{24}$$. · Le terme constant du cosinus vaut $$1$$. · Le développement du cosinus présente des puissances paires de $$x$$.

Explication

Le développement est cos⁡(x)=1−x22+x424+⋯\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots. Il commence donc par 11, comporte ici des puissances paires et possède les coefficients quadratique et quartique indiqués; le terme initial xx appartient au sinus.

7. Parmi les propositions suivantes concernant le développement limité du sinus en zéro, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le terme de degré cinq est −x55!-\frac{x^5}{5!}.
Le terme constant du sinus vaut 11.
Le développement du sinus commence par le terme xx.
Le développement du sinus contient comme premier terme −x22-\frac{x^2}{2}.
Le terme cubique du sinus est −x33!-\frac{x^3}{3!}.

Le développement du sinus commence par le terme $$x$$. · Le terme cubique du sinus est $$-\frac{x^3}{3!}$$.

Explication

Le développement du sinus est sin⁡(x)=x−x33!+x55!+⋯\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots. Il commence par xx et son terme cubique est négatif; le terme constant 11 et le terme quadratique appartiennent au développement du cosinus, tandis que le terme de degré cinq est positif.

8. Concernant les dérivées partielles d’une fonction de plusieurs variables :

La dérivée partielle selon y décrit la variation lorsque y reste constante.
La dérivée partielle selon y impose que les deux variables restent constantes.
La dérivée partielle selon x décrit la variation lorsque y reste constante.
La dérivée partielle mesure simultanément les variations selon toutes les variables.
La dérivée partielle selon x décrit la variation lorsque x reste constante.

La dérivée partielle selon x décrit la variation lorsque y reste constante.

Explication

La dérivée partielle selon x s’évalue en maintenant y constant. Selon y, c’est x qui reste constant ; elle n’étudie donc pas simultanément toutes les variations.

9. Pour la fonction f(x,y)=cos⁡(x)(x2+3y)f(x,y)=\cos(x)(x^2+3y), quelles expressions des dérivées partielles sont exactes ?

∂f∂y=3cos⁡(x)\frac{\partial f}{\partial y}=3\cos(x)
∂f∂x=−sin⁡(x)(x2+3y)+2xcos⁡(x)\frac{\partial f}{\partial x}=-\sin(x)(x^2+3y)+2x\cos(x)
∂f∂x=cos⁡(x)(2x+3y)\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(x)(2x+3y)
∂f∂x=−sin⁡(x)(x2+3y)+3cos⁡(x)\frac{\partial f}{\partial x}=-\sin(x)(x^2+3y)+3\cos(x)
∂f∂y=3sin⁡(x)\frac{\partial f}{\partial y}=3\sin(x)

$$\frac{\partial f}{\partial y}=3\cos(x)$$ · $$\frac{\partial f}{\partial x}=-\sin(x)(x^2+3y)+2x\cos(x)$$

Explication

La dérivation selon x utilise la règle du produit et donne −sin⁡(x)(x2+3y)+2xcos⁡(x)-\sin(x)(x^2+3y)+2x\cos(x). La dérivation selon y donne 3cos⁡(x)3\cos(x) ; les autres expressions comportent un terme ou une fonction trigonométrique incorrecte.

10. Parmi les propositions suivantes concernant le gradient d’une fonction de deux variables, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La dérivée partielle selon x constitue une composante scalaire du gradient.
Le gradient de h est une dérivée partielle scalaire sans composante directionnelle.
Le gradient s’écrit ∇h=(∂h∂x∂h∂y)\nabla h=\begin{pmatrix}\frac{\partial h}{\partial x}\frac{\partial h}{\partial y}\end{pmatrix}.
Le gradient de h rassemble les dérivées partielles selon x et selon y.
Le gradient de h est un vecteur associé au point considéré.

La dérivée partielle selon x constitue une composante scalaire du gradient. · Le gradient s’écrit $$\nabla h=\begin{pmatrix}\frac{\partial h}{\partial x}\frac{\partial h}{\partial y}\end{pmatrix}$$. · Le gradient de h rassemble les dérivées partielles selon x et selon y. · Le gradient de h est un vecteur associé au point considéré.

Explication

Le gradient rassemble les deux dérivées partielles dans un vecteur. Chaque dérivée partielle est une composante scalaire, tandis que le gradient n’est pas lui-même une dérivée partielle scalaire.

11. La différentielle d’une fonction h de deux variables s’écrit :

dhdh combine les variations selon x et selon y.
dh=∇h×de⃗dh=\nabla h\times d\vec e
dh=∂h∂xdx+∂h∂ydydh=\frac{\partial h}{\partial x}dx+\frac{\partial h}{\partial y}dy
dh=∂h∂xdy+∂h∂ydxdh=\frac{\partial h}{\partial x}dy+\frac{\partial h}{\partial y}dx
dh=∇h⋅de⃗dh=\nabla h\cdot d\vec e

$$dh$$ combine les variations selon x et selon y. · $$dh=\frac{\partial h}{\partial x}dx+\frac{\partial h}{\partial y}dy$$ · $$dh=\nabla h\cdot d\vec e$$

Explication

La différentielle vaut ∂h∂xdx+∂h∂ydy\frac{\partial h}{\partial x}dx+\frac{\partial h}{\partial y}dy et peut aussi s’écrire ∇h⋅de⃗\nabla h\cdot d\vec e. Elle associe donc les variations des deux variables ; le produit vectoriel et l’échange des différentielles ne conviennent pas.

12. Concernant l’interprétation géométrique du gradient, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le gradient indique la direction de la plus grande pente ascendante.
La direction du gradient correspond à une montée locale la plus rapide.
Le gradient caractérise une direction de variation croissante maximale.
Le gradient indique la direction de la plus grande pente descendante.
Le gradient désigne une direction sans lien avec la variation de la fonction.

Le gradient indique la direction de la plus grande pente ascendante. · La direction du gradient correspond à une montée locale la plus rapide. · Le gradient caractérise une direction de variation croissante maximale.

Explication

Le gradient pointe dans la direction de la plus grande pente ascendante, c’est-à-dire celle de la croissance locale la plus rapide. Il ne correspond donc ni à la pente descendante ni à une direction indépendante de la variation.

13. Concernant les dérivées partielles d’ordre supérieur, quelles propositions sont exactes ?

Les dérivées secondes comprennent des dérivées pures et des dérivées croisées.
Les dérivées croisées comprennent ∂2f∂y∂x\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} et ∂2f∂x∂y\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}.
Les dérivées croisées associent une dérivation selon x et une selon y.
Les dérivées secondes pures portent deux fois sur la variable x.
Les dérivées secondes pures portent deux fois sur la variable y.

Les dérivées secondes comprennent des dérivées pures et des dérivées croisées. · Les dérivées croisées comprennent $$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$$ et $$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$$. · Les dérivées croisées associent une dérivation selon x et une selon y. · Les dérivées secondes pures portent deux fois sur la variable x. · Les dérivées secondes pures portent deux fois sur la variable y.

Explication

Les dérivées secondes comprennent les dérivées pures ∂2f∂x2\frac{\partial^2f}{\partial x^2} et ∂2f∂y2\frac{\partial^2f}{\partial y^2}. Elles comprennent aussi les deux dérivées croisées, qui portent sur x et y dans un ordre de dérivation indiqué.

14. Pour le Laplacien d’une fonction de deux variables, la(les)quelle(s) des expressions suivantes est(sont) exacte(s) ?

∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}
Le Laplacien s’écrit ∇2f=∂2f∂x∂y+∂2f∂y∂x\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}
Le Laplacien d’une fonction de deux variables additionne les dérivées croisées.
Le Laplacien de deux variables comporte une dérivée seconde selon z.
Le Laplacien additionne les deux dérivées secondes pures.

$$\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$$ · Le Laplacien additionne les deux dérivées secondes pures.

Explication

En deux variables, le Laplacien est la somme des dérivées secondes pures selon x et selon y. Les dérivées croisées ne figurent pas dans cette expression, et un terme selon z concerne le cas tridimensionnel.

15. Concernant la dérivée partielle selon x de g(x,y)=3x2y+2x−y3g(x,y)=3x^2y+2x-y^3, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Elle vaut 6xy+26xy+2 après conservation de y comme constante.
La dérivée selon x impose de dériver également les puissances de y.
La variable y est considérée comme constante pendant la dérivation selon x.
Le terme −y3-y^3 donne une contribution nulle dans cette dérivation.
Elle vaut 3x2−3y23x^2-3y^2 après conservation de x comme constante.

Elle vaut $$6xy+2$$ après conservation de y comme constante. · La variable y est considérée comme constante pendant la dérivation selon x. · Le terme $$-y^3$$ donne une contribution nulle dans cette dérivation.

Explication

La dérivée selon x est 6xy+26xy+2, car y reste constante et le terme −y3-y^3 contribue pour zéro. L’expression 3x2−3y23x^2-3y^2 correspond à une dérivation selon y, tandis que les puissances de y ne sont pas dérivées selon x.

16. Pour la fonction d’onde f(z,t)=sin⁡(2z−Ωt)f(z,t)=\sin(2z-\Omega t), quelles sont les propositions exactes concernant sa dérivée partielle selon z ?

La dérivée partielle selon z est 2cos⁡(2z−Ωt)2\cos(2z-\Omega t).
La variable t est maintenue constante lors de la dérivation selon z.
La dérivée partielle selon z est cos⁡(2z−Ωt)\cos(2z-\Omega t) sans facteur multiplicatif.
Le facteur 2 provient de la dérivation de l’argument par rapport à z.
La dérivée partielle selon z est Ωcos⁡(2z−Ωt)\Omega\cos(2z-\Omega t).

La dérivée partielle selon z est $$2\cos(2z-\Omega t)$$. · La variable t est maintenue constante lors de la dérivation selon z. · Le facteur 2 provient de la dérivation de l’argument par rapport à z.

Explication

La dérivée selon z vaut 2cos⁡(2z−Ωt)2\cos(2z-\Omega t) : le facteur 2 vient de l’argument 2z−Ωt2z-\Omega t, tandis que t reste constante. Le facteur Ω\Omega intervient dans la dérivée selon t, et l’expression sans facteur 2 est incomplète.

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Qu'est-ce qu'un développement limité de f au voisinage de x_0 ?

Une approximation de f(x_0+x) par une somme de puissances de x et un terme de reste.

Comment s'écrit le développement de Taylor de f en x_0 ?

f(x0+x)=∑k=0∞f(k)(x0)k!xkf(x_0+x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k.

Quelle est la formule du développement limité à l'ordre n de f en x_0 ?

f(x0+x)=∑k=0nf(k)(x0)k!xk+o(xn)f(x_0+x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k+o(x^n).

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