Développements limités et dérivées partielles

📋 Plan du Cours

1. Principe des développements limités
2. Approximation de l’exponentielle
3. Approximation des fonctions usuelles
4. Fonctions de plusieurs variables
5. Gradient et variation locale
6. Dérivées partielles d’ordre supérieur
7. Applications à des fonctions modèles

📖 1. Principe des développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : Approximation de f au voisinage de x_0 par une somme de puissances de x et un terme de reste.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le développement de Taylor s’écrit $f(x_0+x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k$.

📐 Formule — Le développement limité à l’ordre n s’écrit $f(x_0+x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k+o(x^n)$.

Compléments

📌 Le terme de reste o(x^n) tend vers zéro plus vite que x^n lorsque x tend vers zéro.

💡 Astuce mémo

Valeur, dérivée, puissances croissantes, puis reste

📖 2. Approximation de l’exponentielle

📐 Formule — Le développement limité de l’exponentielle en zéro est $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$.