Fiche de révision : Développements limités et dérivées partielles

📋 Plan du Cours

1. Principe des développements limités
2. Approximation de l’exponentielle
3. Approximation des fonctions usuelles
4. Fonctions de plusieurs variables
5. Gradient et variation locale
6. Dérivées partielles d’ordre supérieur
7. Applications à des fonctions modèles

📖 1. Principe des développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : Approximation de f au voisinage de x_0 par une somme de puissances de x et un terme de reste.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le développement de Taylor s’écrit $f(x_0+x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k$.

📐 Formule — Le développement limité à l’ordre n s’écrit $f(x_0+x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k+o(x^n)$.

Compléments

📌 Le terme de reste o(x^n) tend vers zéro plus vite que x^n lorsque x tend vers zéro.

💡 Astuce mémo

Valeur, dérivée, puissances croissantes, puis reste

📖 2. Approximation de l’exponentielle

★ À maîtriser

📐 Formule — Le développement limité de l’exponentielle en zéro est $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$.

📌 Pour x=0,1, l’ordre 0 donne 1, l’ordre 1 donne 1,1 et l’ordre 2 donne environ 1,105.

Compléments

📌 Augmenter l’ordre du développement améliore l’approximation de l’exponentielle au voisinage de zéro.

• Pour x=0,1, la valeur exacte indiquée est $e^{0{,}1}=1{,}1051709\ldots$.

💡 Astuce mémo

Ordre plus élevé → erreur plus faible

📖 3. Approximation des fonctions usuelles

★ À maîtriser

📐 Formule — Le développement limité du cosinus en zéro est $\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots$.

📐 Formule — Le développement limité du sinus en zéro est $\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$.

Compléments

📐 Formule — Le développement limité du logarithme est $\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$.

📐 Formule — Le développement limité binomial est $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots$.

• Pour x=0,1, les approximations du cosinus données aux ordres 0, 2 et 4 sont respectivement 1, 0,995 et 0,99500416 environ.

💡 Astuce mémo

Cosinus : puissances paires ; sinus : puissances impaires

📖 4. Fonctions de plusieurs variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle : Variation d’une fonction de plusieurs variables selon une variable lorsque les autres restent constantes.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x,y)=\cos(x)(x^2+3y)$, on obtient $\frac{\partial f}{\partial x}=-\sin(x)(x^2+3y)+2x\cos(x)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}=3\cos(x)$.

💡 Astuce mémo

Une surface h(x,y) parcourue selon deux directions perpendiculaires

📖 5. Gradient et variation locale

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient : Vecteur $\nabla h=\begin{pmatrix}\frac{\partial h}{\partial x}\\\frac{\partial h}{\partial y}\end{pmatrix}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La différentielle de h s’écrit $dh=\frac{\partial h}{\partial x}dx+\frac{\partial h}{\partial y}dy=\nabla h\cdot d\vec e$.

• Le gradient indique la direction de la plus grande pente ascendante.

Compléments

📐 Formule — La pente locale dans le déplacement d\vec e est donnée par $\frac{dh}{\sqrt{dx^2+dy^2}}=\nabla h\cdot\frac{d\vec e}{\lVert d\vec e\rVert}$.

• Les lignes de niveau sont partout perpendiculaires au gradient.

💡 Astuce mémo

Gradient : plus grande pente ; ligne de niveau : pente nulle

📖 6. Dérivées partielles d’ordre supérieur

★ À maîtriser

📐 Formule — Les dérivées secondes comprennent $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}$, $\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$ et les dérivées croisées $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$ et $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$.

📐 Formule — Le Laplacien d’une fonction de deux variables est $\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$.

Compléments

📐 Formule — En trois dimensions, le Laplacien comprend aussi le terme $\frac{\partial^2f}{\partial z^2}$.

• Les dérivées croisées $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$ et $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}$ sont présentées comme identiques.

💡 Astuce mémo

Premières dérivées → dérivées secondes → Laplacien

📖 7. Applications à des fonctions modèles

📝 Points essentiels

• Pour $g(x,y)=3x^2y+2x-y^3$, la dérivée partielle selon x est $\frac{\partial g}{\partial x}=6xy+2$.

• Les exemples de fonctions de plusieurs variables cités sont: une température dépendant de l’altitude et du temps, une vitesse dépendant de coordonnées spatiales, une topographie h(x,y)

• Pour une fonction d’onde $f(z,t)=\sin(2z-\Omega t)$, la dérivée partielle selon z est $\frac{\partial f}{\partial z}=2\cos(2z-\Omega t)$.

📊 Tableaux de synthèse

Développements usuels en zéro