Flashcards : Développements limités et dérivées partielles — 31 cartes

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1Question

Qu'est-ce qu'un développement limité de f au voisinage de x_0 ?

Réponse

Une approximation de f(x_0+x) par une somme de puissances de x et un terme de reste.

2Question

Comment s'écrit le développement de Taylor de f en x_0 ?

Réponse

f(x0+x)=∑k=0∞f(k)(x0)k!xkf(x_0+x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k.

3Question

Quelle est la formule du développement limité à l'ordre n de f en x_0 ?

Réponse

f(x0+x)=∑k=0nf(k)(x0)k!xk+o(xn)f(x_0+x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}x^k+o(x^n).

4Question

Quel est le développement limité de exe^x en zéro ?

Réponse

ex=1+x+x22+x36+x424+⋯e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots

5Question

Quelle valeur donne l'ordre 0 du développement limité pour x=0,1x=0,1 ?

Réponse

1

6Question

Quelle valeur donne l'ordre 1 du développement limité pour x=0,1x=0,1 ?

Réponse

1,1

7Question

Quelle valeur donne l'ordre 2 du développement limité pour x=0,1x=0,1 ?

Réponse

Environ 1,105

8Question

Quel est le développement limité du cosinus en zéro ?

Réponse

cos⁡(x)=1−x22+x424+⋯\cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+\cdots

9Question

Quelle est la formule du développement limité du sinus en zéro ?

Réponse

sin⁡(x)=x−x33!+x55!+⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}

10Question

Qu'est-ce que la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables ?

Réponse

La variation selon une variable quand les autres sont constantes.

11Question

Qu'est-ce que le gradient de h ?

Réponse

Le vecteur ∇h=(∂h∂x∂h∂y)\nabla h=\begin{pmatrix}\frac{\partial h}{\partial x} & \frac{\partial h}{\partial y}\end{pmatrix}.

12Question

Comment s'écrit la différentielle de h ?

Réponse

dh=∂h∂xdx+∂h∂ydy=∇h⋅de⃗dh=\frac{\partial h}{\partial x}dx+\frac{\partial h}{\partial y}dy=\nabla h\cdot d\vec e.

13Question

Que montre la direction du gradient ?

Réponse

La direction de la plus grande pente ascendante.

14Question

Quelles sont les dérivées secondes usuelles en deux variables ?

Réponse

∂2f∂x2\frac{\partial^2f}{\partial x^2} et ∂2f∂y2\frac{\partial^2f}{\partial y^2}.

15Question

Quelles dérivées partielles sont appelées dérivées croisées ?

Réponse

∂2f∂y∂x\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} et ∂2f∂x∂y\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}.

16Question

Quelle est la formule du Laplacien d’une fonction de deux variables ?

Réponse

∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2\nabla^2f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}.

17Question

Que signifie le terme de reste o(xn)o(x^n) dans un développement limité ?

Réponse

Il tend vers zéro plus vite que xnx^n quand xx tend vers zéro.

18Question

Quelle est la valeur exacte de e0,1e^{0,1} ?

Réponse

1,1051709...

19Question

Quel effet a l'augmentation de l'ordre du développement limité sur l'approximation de exe^x ?

Réponse

Elle améliore l'approximation au voisinage de zéro.

20Question

Comment s'exprime le développement limité du logarithme ?

Réponse

ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots

21Question

Quelle est la formule du développement limité binomial ?

Réponse

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2x2+α(α−1)(α−2)3!x3+⋯(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots

22Question

Quelles sont les approximations du cosinus en x=0,1 aux ordres 0, 2 et 4 ?

Réponse

1, environ 0,995, et environ 0,99500416 respectivement.

23Question

Quelle est la dérivée partielle de f(x,y)=cos⁡(x)(x2+3y)f(x,y)=\cos(x)(x^2+3y) par rapport à xx ?

Réponse

−sin⁡(x)(x2+3y)+2xcos⁡(x)-\sin(x)(x^2+3y)+2x\cos(x)

24Question

Quelle est la dérivée partielle de f(x,y)=cos⁡(x)(x2+3y)f(x,y)=\cos(x)(x^2+3y) par rapport à yy ?

Réponse

3cos⁡(x)3\cos(x)

25Question

Quelle est la relation entre les lignes de niveau et le gradient ?

Réponse

Les lignes de niveau sont perpendiculaires au gradient partout.

26Question

Comment s'exprime la pente locale dans le déplacement de⃗d\vec e ?

Réponse

dhdx2+dy2=∇h⋅de⃗∥de⃗∥\frac{dh}{\sqrt{dx^2+dy^2}}=\nabla h\cdot\frac{d\vec e}{\lVert d\vec e\rVert}.

27Question

Comment sont présentées les dérivées croisées ∂2f∂y∂x\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x} et ∂2f∂x∂y\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} ?

Réponse

Elles sont présentées comme identiques.

28Question

Quel terme supplémentaire comprend le Laplacien en trois dimensions ?

Réponse

∂2f∂z2\frac{\partial^2f}{\partial z^2}.

29Question

Quelle est la dérivée partielle selon x de g(x,y)=3x2y+2x−y3g(x,y)=3x^2y+2x-y^3 ?

Réponse

∂g∂x=6xy+2\frac{\partial g}{\partial x}=6xy+2

30Question

Que peuvent modéliser les fonctions de plusieurs variables ?

Réponse

Elles peuvent modéliser la température, la vitesse ou une topographie.

31Question

Quelle est la dérivée partielle selon z de f(z,t)=sin⁡(2z−Ωt)f(z,t)=\sin(2z-\Omega t) ?

Réponse

∂f∂z=2cos⁡(2z−Ωt)\frac{\partial f}{\partial z}=2\cos(2z-\Omega t)

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 16 questions sur Développements limités et dérivées partielles.

1. Concernant le principe des développements limités :

2. Parmi les propositions suivantes concernant la formule de Taylor, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Faire le QCM →

Consultez la fiche

Révisez le cours complet dans la fiche de révision de Développements limités et dérivées partielles.

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