QCM : Fonctions de référence — 19 questions

Explication

La fonction racine carrée associe à chaque valeur admissible de $x$ le nombre $\sqrt{x}$. L’expression $x^3$ définit la fonction cubique, et non la fonction racine carrée.

Explication

Une racine carrée réelle exige un radicande positif ou nul, et son résultat est lui-même positif ou nul. La fonction cubique, contrairement à la racine carrée, possède $\mathbb{R}$ comme domaine et comme ensemble-image.

Explication

On a $\sqrt{0}=0$, donc le point d’intersection avec les deux axes est l’origine, soit $(0;0)$. La valeur $\sqrt{1}=1$ correspond à un autre point de la courbe, pas à son zéro.

Explication

Une racine carrée réelle est positive ou nulle, et des valeurs croissantes de $x$ donnent des valeurs strictement croissantes de $\sqrt{x}$. Elle ne prend donc pas de valeurs négatives et son domaine n’est pas $\mathbb{R}$.

Explication

La fonction cubique associe à chaque réel $x$ son cube $x^3$. L’expression $\sqrt[3]{x}$ définit la fonction racine cubique, qui est une fonction différente.

Explication

Tout réel peut être élevé au cube, et tout réel est le cube d’un autre réel : le domaine et l’ensemble-image sont donc tous deux $\mathbb{R}$. La restriction à $\mathbb{R}^+$ concerne la fonction racine carrée, pas la fonction cubique.

Explication

Comme $0^3=0$, la courbe de la fonction cubique passe par l’origine et y coupe les deux axes. Les valeurs $1$ et $-1$ correspondent à des images non nulles.

Explication

La fonction $x^3$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et sa concavité change en $(0;0)$, qui est son point d’inflexion. Le point $(0;0)$ n’est pas un minimum, car la fonction prend aussi des valeurs négatives.

Explication

La fonction valeur absolue associe à chaque réel $x$ sa distance à zéro, notée $|x|$. L’expression $x^3$ conserve le signe de $x$ et définit la fonction cubique.

Explication

La valeur absolue est calculable pour tout réel, tandis que son résultat est toujours positif ou nul. La fonction cubique, elle, a $\mathbb{R}$ comme ensemble-image et peut donc prendre des valeurs négatives.

Explication

La relation $|-x|=|x|$ montre que la fonction valeur absolue est paire, et sa plus petite valeur est $0$, atteinte en $(0;0)$. Elle ne possède pas de maximum sur $\mathbb{R}$, puisque ses valeurs augmentent sans borne.

Explication

La fonction inverse associe à chaque réel non nul son inverse multiplicatif, ce qui s’écrit $f(x)=\frac{1}{x}$. La fonction $x^2$ correspond à la fonction carré et ne décrit pas cette relation.

Explication

La division par zéro étant impossible, la fonction inverse est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, et son ensemble-image est le même. La fonction cubique, en revanche, est définie en zéro.

Explication

La fonction inverse n’a ni zéro de fonction ni valeur définie en zéro, donc sa courbe ne rencontre aucun des deux axes. Une intersection avec l’axe des abscisses nécessiterait une valeur de fonction nulle.

Explication

La fonction inverse est décroissante sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$. Il faut distinguer ces deux intervalles, car la fonction n’est pas définie en zéro.

Explication

Une fonction réciproque est l’application inverse d’une fonction et se note souvent $f^{-1}$. Elle ne correspond pas à une transformation automatique comme le carré ou le changement de signe.

Explication

L’équivalence $y=x^3\Longleftrightarrow x=\sqrt[3]{y}$ montre que chaque fonction inverse l’action de l’autre sur $\mathbb{R}$. La restriction aux réels positifs ou nuls concerne plutôt le carré et la racine carrée.

Explication

Les graphiques de deux fonctions réciproques sont symétriques par rapport à la première bissectrice, d’équation $y=x$. Une symétrie par rapport à un axe ne décrit pas l’échange des coordonnées entre antécédents et images.

Explication

Le carré et la racine carrée sont réciproques sur $\mathbb{R}^+$, car $y=x^2$ équivaut à $x=\sqrt{y}$ lorsque $x\geq 0$. Sur tous les réels, le carré n’est pas injectif puisque des nombres opposés ont la même image.