Fiche de révision : Étude des fonctions réelles

📋 Plan du Cours

1. Domaine et courbe représentative
2. Parité et périodicité
3. Opérations sur les fonctions
4. Transformations de courbes représentatives
5. Bornes et extrema des fonctions
6. Sens de variation des fonctions
7. Taux d’accroissement et tangente
8. Dérivabilité et tangentes
9. Dérivées et applications
10. Opérations sur les limites
11. Techniques de calcul des limites
12. Limites et asymptotes

📖 1. Domaine et courbe représentative

🔑 Notions clés & Définitions

• Domaine de définition : Le plus grand sous-ensemble de ℝ constitué des réels x pour lesquels f(x) existe.
• Courbe représentative : L’ensemble des points M(x, f(x)) du repère lorsque x parcourt D_f.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction f définie sur D, son image de D est l’ensemble f(D) = {f(x) | x ∈ D}.

💡 Astuce mémo

Le domaine décrit les entrées possibles ; l’image décrit les valeurs obtenues.

📖 2. Parité et périodicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction f définie sur D_f est paire si son domaine est symétrique par rapport à 0 et si, pour tout x ∈ D_f, f(-x) = f(x).
• Fonction impaire : Une fonction g définie sur D_g est impaire si son domaine est symétrique par rapport à 0 et si, pour tout x ∈ D_g, g(-x) = -g(x).
• Fonction périodique : Une fonction f définie sur D_f est T-périodique, avec T ∈ ℝ*, si, pour tout x ∈ D_f tel que x + T ∈ D_f, f(x + T) = f(x).

📝 Points essentiels

• L’étude de la parité n’a de sens que si le domaine de définition est symétrique par rapport à 0.

• Pour étudier une fonction paire ou impaire, on peut limiter l’étude à la partie de son domaine dans ℝ⁺, puis compléter sa courbe par la symétrie adaptée.

• En pratique, on cherche toujours la plus petite période positive d’une fonction périodique.

• Pour étudier une fonction T-périodique, on peut se limiter à un intervalle de longueur T puis compléter sa courbe par répétition de période T.

• Si f(x + T) = f(x) + α sur son domaine, l’étude peut être limitée à un intervalle de longueur T puis la courbe complétée par les translations correspondantes.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie d’axe vertical ; impaire : symétrie de centre O.

📖 3. Opérations sur les fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Composée de fonctions : La composée de u suivie de v, notée v ∘ u, est définie par (v ∘ u)(x) = v(u(x)) lorsque u(x) appartient au domaine de v.
• Somme de fonctions : La somme de deux fonctions u et v est définie par (u + v)(x) = u(x) + v(x) sur un domaine commun à leurs domaines de définition.
• Produit de fonctions : Le produit de deux fonctions u et v est défini par (u × v)(x) = u(x)v(x) sur un domaine commun à leurs domaines de définition.
• Inverse d’une fonction : L’inverse de v est définie par (1/v)(x) = 1/v(x) pour les valeurs de x telles que v(x) ≠ 0.
• Quotient de fonctions : Le quotient de u par v est défini par (u/v)(x) = u(x)/v(x) pour les valeurs de x telles que v(x) ≠ 0.

★ À maîtriser

📌 La somme et le produit de fonctions commutent, mais leur composée ne commute généralement pas.

Compléments

• Pour définir v ∘ u sur un ensemble D, il faut que u(D) soit inclus dans le domaine de définition de v.

💡 Astuce mémo

Somme et produit commutent ; la composée, en général, non.

📖 4. Transformations de courbes représentatives

📝 Points essentiels

• La courbe d’une fonction obtenue à partir de u(x) par une transformation de l’expression se déduit de la courbe C_u par la transformation correspondante.

• La fonction x ↦ u(x) + k, avec k ∈ ℝ, correspond à une translation verticale de la courbe C_u.

• La fonction x ↦ u(x − a), avec a ∈ ℝ, correspond à une translation horizontale de la courbe C_u.

📖 5. Bornes et extrema des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction majorée : Une fonction f est majorée sur D ⊂ D_f s’il existe M tel que, pour tout x ∈ D, f(x) ≤ M ; M est alors un majorant de f sur D.
• Extremum local : f(a) est un maximum local si, dans un voisinage de a, f(x) ≤ f(a) pour tout x du domaine considéré ; f(b) est un minimum local si f(x) ≥ f(b) dans un voisinage de b.
• Extremum global : f(a) est le maximum global de f sur D si f(x) ≤ f(a) pour tout x ∈ D ; f(b) est le minimum global si f(x) ≥ f(b) pour tout x ∈ D.
• Fonction minorée : Une fonction f est minorée sur D ⊂ D_f s’il existe m tel que, pour tout x ∈ D, m ≤ f(x) ; m est alors un minorant de f sur D.
• Fonction bornée : Une fonction f est bornée sur D si elle y est à la fois majorée et minorée.
• Voisinage : Un voisinage de a est un intervalle ouvert contenant a ; il peut être centré en a et s’écrire ]a − ε, a + ε[ avec ε > 0.

📝 Points essentiels

• Une fonction f est bornée si et seulement si |f| est majorée.

💡 Astuce mémo

Un extremum local se compare au voisinage ; un extremum global se compare à tout le domaine.

📖 6. Sens de variation des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous a, b ∈ I tels que a < b, f(a) ≤ f(b).
• Fonction décroissante : Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si, pour tous a, b ∈ I tels que a < b, f(a) ≥ f(b).

📝 Points essentiels

• Une fonction à la fois croissante et décroissante sur un intervalle est constante sur cet intervalle.

• Une fonction croissante ou décroissante est dite monotone ; elle est strictement monotone si les inégalités de sa définition sont strictes.

• Le sens de variation s’étudie sur un intervalle ; la fonction inverse n’est donc pas étudiée comme monotone sur ℝ* tout entier.

• Si u et v sont croissantes sur un même intervalle, leur somme est croissante sur cet intervalle.

• Si u et v sont croissantes et strictement positives sur un même intervalle, leur produit y est croissant.

• Si u est croissante et λ > 0, alors λu est croissante ; si λ < 0, alors λu est décroissante.

• Si u et v sont monotones de même sens, alors v ∘ u est croissante sur l’intervalle considéré.

• Si u et v sont monotones de sens contraire, alors v ∘ u est décroissante sur l’intervalle considéré.

📖 7. Taux d’accroissement et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement de f entre a et x est le quotient (f(x) − f(a))/(x − a), défini pour x ≠ a dans le domaine considéré.

★ À maîtriser

• Le taux d’accroissement de f entre a et x est le coefficient directeur de la sécante à C_f passant par A(a, f(a)) et M(x, f(x)).

Compléments

• Lorsque la sécante à C_f passant par A et M tend vers une position limite lorsque M se rapproche de A, cette position limite est appelée tangente à C_f en A.

💡 Astuce mémo

La sécante pivote autour du point de la courbe et tend vers la tangente.

📖 8. Dérivabilité et tangentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé f′(a) est la limite finie en a du taux d’accroissement \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée de f sur D associe à chaque x de D le nombre dérivé f′(x), lorsque f est dérivable en tout point de D.

★ À maîtriser

• Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet en A(a ; f(a)) une tangente de coefficient directeur f′(a).

📐 Formule - L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Compléments

• La fonction définie sur ℝ par f(x) = |x² − 1| admet deux demi-tangentes en chacun des points A(−1 ; 0) et B(1 ; 0).

📖 9. Dérivées et applications

★ À maîtriser

📌 La dérivée d’une combinaison linéaire vérifie $(\alpha u+v)'=\alpha u'+v'$ pour des fonctions dérivables u et v et un réel α.

📐 Formule - La dérivée d’un produit de fonctions dérivables vérifie $(uv)'=u'v+uv'$.

📐 Formule - Si v ne s’annule pas, la dérivée d’un quotient vérifie $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$.

📐 Formule - Pour des fonctions dérivables u et v telles que v soit dérivable sur l’image de u, la dérivée d’une composée vérifie $(v\circ u)'=(v'\circ u)u'$.

📌 Si une fonction dérivable admet un extremum local en un point intérieur de son intervalle de définition, sa dérivée y est nulle.

📌 Si f′(x) > 0 sur un intervalle, f y est strictement croissante ; si f′(x) ≤ 0 sur cet intervalle, f y est décroissante.

Compléments

📐 Formule - Si v ne s’annule pas, la dérivée de son inverse vérifie $\left(\frac{1}{v}\right)'=-\frac{v'}{v^2}$.

📖 10. Opérations sur les limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme indéterminée : Une forme indéterminée est une situation où les règles générales sur les limites ne permettent pas de déterminer la limite et où il faut étudier le cas particulier.

★ À maîtriser

📌 Si u(x) tend vers b et si v(x) tend vers ℓ lorsque son argument tend vers b, alors v(u(x)) tend vers ℓ.

📌 Si u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et si u et v tendent vers la même limite b, alors f tend vers b.

Compléments

• La limite d’une somme est déterminée par les limites de ses termes lorsque les opérations sur les limites ne donnent pas une forme indéterminée.

• La limite d’un produit par un réel non nul s’obtient en multipliant la limite de la fonction par ce réel.

• La limite d’un produit se détermine à partir des limites des facteurs lorsque leur combinaison ne donne pas une forme indéterminée.

• La limite d’un quotient se détermine à partir des limites du numérateur et du dénominateur lorsque le dénominateur ne tend pas vers zéro dans une forme indéterminée.

• Si u(x) ≤ f(x) et u(x) tend vers +∞, alors f(x) tend vers +∞.

📖 11. Techniques de calcul des limites

★ À maîtriser

📌 À l’infini, la limite d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.

📌 À l’infini, la limite d’un quotient de polynômes s’étudie à partir du quotient simplifié de leurs termes de plus haut degré.

• À l’infini, les logarithmes sont négligeables devant les puissances positives, qui sont elles-mêmes négligeables devant les exponentielles.

📐 Formule - Les limites remarquables en zéro sont $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$.

Compléments

• Au voisinage d’un réel x₀, on peut lever une forme indéterminée dans un quotient de polynômes en factorisant par (x − x₀).

• Pour lever certaines formes indéterminées avec des racines, on peut multiplier par la quantité conjuguée.

📐 Formule - Pour tout entier naturel n strictement positif, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0$ et $\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0$.

💡 Astuce mémo

À l’infini, comparer les termes dominants ; près d’un réel, factoriser ; avec des racines, conjuguer.

📖 12. Limites et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : Une droite d’équation y = ℓ est une asymptote horizontale à la courbe de f si f(x) tend vers ℓ lorsque x tend vers +∞ ou −∞.
• Asymptote verticale : Une droite d’équation x = x₀ est une asymptote verticale à la courbe de f si f(x) tend vers l’infini au voisinage d’une valeur interdite x₀.
• Asymptote oblique : Une droite d’équation y = ax + b, avec a ≠ 0, est une asymptote oblique à la courbe de f si f(x) − (ax + b) tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ ou −∞.