QCM : Étude des fonctions réelles (30 questions)

Explication

La racine carrée existe lorsque $x-3\geq 0$, donc $x\geq 3$ et le domaine est $[3,+\infty[$. L’intervalle $]-\infty,3]$ inverse l’inégalité, $]3,+\infty[$ exclut à tort la borne, et $\mathbb{R}$ ignore la condition sur le radicand.

Explication

Chaque entrée $x$ du domaine fournit le point de coordonnées $\bigl(x,f(x)\bigr)$, et la courbe rassemble ces points. Le domaine ne contient que les entrées, l’image ne contient que les valeurs prises, et les points $M(x,x)$ décrivent la droite d’équation $y=x$.

Explication

Le domaine $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à zéro et la relation $f(-x)=f(x)$ caractérise une fonction paire. Une fonction impaire vérifie $f(-x)=-f(x)$, la périodicité exige une relation entre $x$ et $x+T$, et la parité est bien définie ici puisque le domaine est symétrique.

Explication

Le domaine $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à zéro et la relation $g(-x)=-g(x)$ définit une fonction impaire. La relation avec une valeur inchangée caractérise une fonction paire, tandis qu’une période et l’absence de symétrie du domaine ne correspondent pas aux données.

Explication

Une fonction est $T$-périodique lorsque $f(x+T)=f(x)$ pour les valeurs où les deux entrées appartiennent au domaine; ici, $T=5$ et le domaine est $\mathbb{R}$. Le décalage donné est bien $+5$, tandis que la parité et l’imparité reposent sur la comparaison de $f(-x)$ avec $f(x)$.

Explication

La composée suivie de $v$ s’obtient en calculant d’abord $u(x)$, puis en appliquant $v$ : $v(u(x))=(x+2)^2$. L’expression $v(u(x))$ ne doit pas être remplacée par $u(v(x))$, une somme ou un produit.

Explication

La somme et le produit de fonctions commutent, tandis que la composée ne commute généralement pas : ici, $v(u(x))=(x+1)^2$ et $u(v(x))=x^2+1$. L’affirmation que la composée commute étend à tort cette propriété aux compositions.

Explication

Ajouter une constante à la valeur de la fonction déplace sa courbe verticalement; avec $+4$, le déplacement se fait vers le haut. Un déplacement horizontal concerne une modification de la variable, et non l’ajout d’une constante à la fonction.

Explication

Remplacer $x$ par $x-a$ translate la courbe horizontalement de $a$ unités vers la droite; ici, $a=3$. Le déplacement vers la gauche inverse le sens, tandis qu’une translation verticale correspond à l’ajout d’une constante à la fonction.

Explication

La comparaison avec les valeurs voisines de $a$ caractérise un maximum local. Un maximum global exigerait la même inégalité sur tout le domaine; un minimum repose sur l’inégalité inverse.

Explication

Une valeur est le maximum global si elle est atteinte en $c$ et si toutes les valeurs sur $D$ lui sont inférieures ou égales. La condition limitée aux environs décrit un maximum local, et l’inégalité donnée est celle d’un maximum, non d’un minimum.

Explication

La croissance sur un intervalle signifie que $a<b$ entraîne $f(a)\leq f(b)$. La croissance stricte exige une inégalité stricte, et la constance est un cas particulier qui ne s’impose pas ici.

Explication

Une fonction est décroissante lorsque, pour $a<b$, ses valeurs vérifient $f(a)\geq f(b)$. La décroissance stricte demande une inégalité stricte; la constance est une possibilité particulière, pas une conclusion imposée.

Explication

Le taux d’accroissement est $\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{12-3}{3}=3$. La valeur 1/3 inverse le quotient, 12/5 oublie les écarts entre les points et 5 vient d’une somme incorrecte.

Explication

Le taux d’accroissement entre deux points est le coefficient directeur de la sécante qui les relie. La tangente correspond à une position limite de sécantes, l’ordonnée est une valeur de la fonction et l’aire est une autre grandeur.

Explication

Lorsque le taux d’accroissement admet une limite finie en $a$, cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$. $f(a)$ est une ordonnée, un taux pris à distance n’est pas la limite, et $a$ est l’abscisse.

Explication

Pour une fonction dérivable en $a$, la tangente au point correspondant a pour coefficient directeur $f'(a)$, ici $-3$. La valeur 3 inverse le signe, tandis que 2 et $f(2)$ ne sont pas le nombre dérivé.

Explication

L’équation est $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ ; en remplaçant par $a=4$, $f(4)=7$ et $f'(4)=2$, on obtient $y=7+2(x-4)$. Les autres expressions substituent l’abscisse à la pente, changent son signe ou omettent la pente.

Explication

La dérivation est linéaire : le coefficient réel multiplie la dérivée de $u$, tandis que $v'$ conserve son coefficient implicite égal à 1. Multiplier aussi $v'$ par 3 confond le coefficient de $u$ avec celui de $v$, utiliser le produit applique une autre règle et inverser les coefficients les attribue aux mauvaises fonctions.

Explication

La dérivée d’un produit est la somme de deux termes : on dérive successivement chacun des facteurs en laissant l’autre inchangé. Multiplier les dérivées omet les facteurs non dérivés, ne garder qu’un terme oublie une contribution et soustraire correspond au numérateur de la règle du quotient.

Explication

La dérivée du quotient a pour numérateur $u'v-uv'$ et pour dénominateur le carré du dénominateur initial. Inverser les termes change le signe, omettre le carré modifie le dénominateur, et le signe plus relève de la règle du produit.

Explication

Une dérivée strictement positive sur un intervalle implique que la fonction y est strictement croissante. La décroissance correspond à une dérivée non positive, la constance ne découle pas d’une dérivée positive et une dérivée strictement positive donne ici une croissance stricte.

Explication

Comme $u(x)$ tend vers $b$, l’argument de $v$ approche $b$; la limite de la composée est donc $\ell$. Utiliser $a$ comme point d’approche de $v$ confond les arguments, retenir $b$ reprend la limite intermédiaire, et les deux limites données suffisent à appliquer la règle de composition.

Explication

Le théorème d’encadrement garantit que la fonction située entre deux bornes de même limite tend vers cette limite commune $b$. Attribuer à $f$ la borne $u$ ou $v$ confond encadrement et égalité, tandis que nier toute conclusion oublie précisément l’effet de ces bornes convergentes.

Explication

À l’infini, la limite d’un polynôme est déterminée par son terme de plus haut degré ; ici, il s’agit de $4x^5$. Le terme constant, le terme de degré deux et le seul coefficient ne déterminent pas à eux seuls le comportement dominant.

Explication

Pour un quotient de polynômes à l’infini, on étudie le quotient de leurs termes dominants : $\frac{6x^4}{3x^2}=2x^2$. Le quotient des constantes, l’inversion des termes dominants et le rapport des seuls coefficients omettent leur degré.

Explication

À l’infini, les logarithmes sont négligeables devant les puissances positives, lesquelles sont négligeables devant les exponentielles. Les autres ordres inversent ces comparaisons ou assimilent à tort les trois croissances.

Explication

En posant $u=5x$, on écrit $\frac{\ln(1+5x)}{x}=5\frac{\ln(1+u)}{u}$ ; la limite remarquable vaut donc $5\times1=5$. Répondre $1$ oublie le facteur, tandis que les autres valeurs proviennent d’une autre limite remarquable ou d’une substitution incorrecte.

Explication

Une limite finie $\ell$ de $f(x)$ à l’infini correspond à l’asymptote horizontale $y=\ell$, ici $y=3$. La droite $x=3$ est verticale, $y=3x$ est oblique, et $y=-3$ ne reprend pas la limite donnée.

Explication

L’écart entre la fonction et la droite $y=2x-1$ vaut $\frac{4}{x}$, qui tend vers zéro lorsque $x\to+\infty$ ; cette droite est donc une asymptote oblique. La droite horizontale confond pente et limite, le signe de l’ordonnée à l’origine est inversé dans $y=2x+1$, et la fonction elle-même n’est pas l’asymptote.