Fiche de révision : Étude du dipôle RC

📋 Plan du Cours

1. Générateurs et dipôles passifs
2. Mesure des tensions à l’oscilloscope
3. Établir l’équation différentielle
4. Équations du circuit RC
5. Résoudre l’équation de charge
6. Propriétés de l’exponentielle
7. Tracer les courbes de charge
8. Tension et intensité dans le circuit

📖 1. Générateurs et dipôles passifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle RC : Association d’un résistor de résistance R et d’un condensateur de capacité C.

★ À maîtriser

📌 Un générateur de tension impose une tension, tandis qu’un générateur de courant impose un courant.

Compléments

• Dans un circuit RC alimenté par un générateur de tension constante, la tension du générateur est notée E.

• Le sens du courant dans un dipôle passif est opposé à celui de la convention utilisée pour le générateur.

💡 Astuce mémo

Le générateur impose ; le dipôle passif consomme.

📖 2. Mesure des tensions à l’oscilloscope

★ À maîtriser

• Pour mesurer simultanément les tensions de deux dipôles à l’oscilloscope, leurs bornes de masse doivent être reliées au même point du circuit.

📌 La tension mesurée est positive lorsque la borne d’entrée de l’oscilloscope est au potentiel le plus élevé par rapport à la masse ; inverser les branchements inverse le signe de la tension affichée.

Compléments

• Pour mesurer les tensions aux bornes du résistor et du condensateur, on relie la masse de l’oscilloscope au point commun des deux dipôles, puis on place chaque entrée sur l’autre borne du dipôle correspondant.

📖 3. Établir l’équation différentielle

📝 Points essentiels

• Pour établir l’équation différentielle d’un circuit RC, on écrit la loi des mailles, on exprime les tensions avec les relations des dipôles, puis on remplace l’intensité ou la charge par la grandeur recherchée.

📐 Formule - Pour un générateur de tension E, un résistor et un condensateur en série, la loi des mailles s’écrit $E-u_R-u_C=0$.

📐 Formule - La tension aux bornes du résistor vérifie $u_R=Ri$.

📐 Formule - La charge du condensateur et sa tension vérifient $q=Cu_C$.

💡 Astuce mémo

Loi des mailles → relations des dipôles → équation différentielle.

📖 4. Équations du circuit RC

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un condensateur de capacité constante, le courant vérifie $i=C\frac{du_C}{dt}$.

📐 Formule - Lors de la charge d’un condensateur par une tension constante E, la tension du condensateur vérifie $RC\frac{du_C}{dt}+u_C=E$.

Compléments

📐 Formule - La charge électrique vérifie $i=\frac{dq}{dt}$.

📐 Formule - L’équation différentielle de la charge du condensateur s’écrit aussi $\frac{du_C}{dt}+\frac{1}{RC}u_C=\frac{E}{RC}$.

📖 5. Résoudre l’équation de charge

📝 Points essentiels

📐 Formule - La solution générale de l’équation de charge est $u_C(t)=A+B e^{-t/(RC)}$, où A et B sont déterminées par les conditions initiales.

• Un condensateur initialement déchargé vérifie $u_C(0)=0$.

📐 Formule - Pour un condensateur initialement déchargé alimenté par E, la tension de charge est $u_C(t)=E\left(1-e^{-t/(RC)}\right)$.

📐 Formule - La constante de temps du circuit RC vaut $\tau=RC$.

💡 Astuce mémo

Équation → solution générale → condition initiale.

📖 6. Propriétés de l’exponentielle

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle $e^x$ est positive pour toute valeur réelle de x.

📐 Formule - Pour une constante a, la dérivée d’une exponentielle composée vérifie $\frac{d}{dt}e^{at}=a e^{at}$.

• Les limites utiles sont $\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$, $\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ et $e^0=1$.

📖 7. Tracer les courbes de charge

★ À maîtriser

• Pour un condensateur initialement déchargé, la tension vérifie $u_C(0)=0$ et tend vers E lorsque le temps tend vers l’infini.

📌 Une courbe de charge comporte un régime transitoire où la tension évolue et un régime permanent où elle devient constante.

• La courbe de la tension du condensateur lors de sa charge est croissante et atteint asymptotiquement E.

Compléments

• La courbe de charge du condensateur part de zéro et tend vers sa valeur maximale E.

💡 Astuce mémo

Valeur initiale → limite finale → régimes.

📖 8. Tension et intensité dans le circuit

★ À maîtriser

📐 Formule - Pendant la charge d’un condensateur initialement déchargé, le courant vaut $i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/(RC)}$.

📐 Formule - Pendant la charge, la tension aux bornes du résistor vaut $u_R(t)=E e^{-t/(RC)}$.

• Pendant la charge, l’intensité et la tension du résistor diminuent vers zéro tandis que la tension du condensateur augmente vers E.

Compléments

📌 Dans le circuit série, la tension du générateur se répartit entre le résistor et le condensateur selon $E=u_R+u_C$.

💡 Astuce mémo

La charge du condensateur augmente → l’intensité diminue.