QCM : Expression mathématique et logique — 26 questions

Explication

Une proposition est un énoncé auquel une seule des deux valeurs de vérité, vraie ou fausse, peut être attribuée. Une question ou une expression numérique ne constitue pas nécessairement une proposition logique.

Explication

La négation inverse la valeur de vérité de P : elle est vraie lorsque P est fausse. Elle devient fausse lorsque P est vraie, et non lorsque P aurait plusieurs valeurs de vérité.

Explication

La disjonction est vraie dès qu’au moins une des deux propositions est vraie, y compris lorsque les deux le sont. Elle se distingue ainsi du « ou » exclusif, qui ne permettrait pas la vérité simultanée de P et Q.

Explication

Une implication échoue dans le seul cas où sa condition P est réalisée alors que sa conclusion Q ne l’est pas. Les trois autres configurations rendent l’implication vraie selon sa définition logique.

Explication

La contraposée d’une implication P ⇒ Q est l’implication équivalente non Q ⇒ non P. L’implication non P ⇒ non Q est une converse particulière qui n’est pas équivalente à l’implication initiale.

Explication

Le raisonnement par l’absurde commence par l’hypothèse que la conclusion R est fausse et mène cette hypothèse à une contradiction. La contraposée concerne, elle, la transformation d’une implication en une implication équivalente.

Explication

Le symbole d’appartenance relie un objet x à un ensemble E, tandis que le symbole d’inclusion compare deux ensembles. Les autres formulations confondent ces relations ou leur attribuent une signification différente.

Explication

L’intersection rassemble les éléments qui appartiennent simultanément à A et à B, alors que l’union rassemble ceux qui appartiennent à A, à B, ou aux deux. La seconde proposition inverse précisément les rôles des deux opérations.

Explication

L’ensemble vide ne contient aucun élément et il est inclus dans tout ensemble. Il ne peut donc pas contenir un élément commun ni être égal à un ensemble non vide.

Explication

Pour un ensemble fini de cardinal $n$, le nombre de parties vaut $2^n$ ; ici, $2^5=32$. Les valeurs $10$ et $25$ correspondent à d’autres calculs, tandis que $64$ est égal à $2^6$.

Explication

L’ensemble $A_P$ rassemble précisément les éléments de $E$ pour lesquels la propriété $P(x)$ est vraie. La notation $P(a)$ désigne, elle, le cas particulier obtenu lorsqu’une valeur $a$ est fixée.

Explication

Le quantificateur universel affirme que chaque élément de $E$ vérifie $P(x)$. L’existence d’un seul témoin correspondrait au quantificateur existentiel, et non à $\forall$.

Explication

Dans $\exists x\,\forall y\,R(x,y)$, un témoin $x$ doit convenir à tous les $y$. Dans $\forall y\,\exists x\,R(x,y)$, le témoin peut changer selon $y$, ce qui explique la différence de sens.

Explication

Une relation d’équivalence est définie par la réunion de trois propriétés : réflexivité, symétrie et transitivité. L’antisymétrie caractérise notamment les relations d’ordre, mais elle n’est pas requise ici.

Explication

Le binôme de Newton associe au terme d’indice $p$ le coefficient $\binom{n}{p}$ et les puissances complémentaires $a^{n-p}$ et $b^p$. Les autres expressions modifient les coefficients, les bornes ou les exposants.

Explication

L’hérédité consiste à supposer la proposition vraie au rang $n$ puis à démontrer qu’elle l’est alors au rang $n+1$. La vérification du premier rang relève de l’initialisation.

Explication

Une implication est fausse lorsqu’un cas vérifie $P$ sans vérifier $Q$, ce qui s’écrit $P\land\neg Q$. L’expression $\neg Q\Rightarrow\neg P$ est la contraposée et conserve la forme d’une implication.

Explication

L’ordre des quantificateurs permet au témoin $y$ de varier avec $x$ dans la première proposition. Dans la seconde, un unique $y$ doit convenir simultanément à chaque élément de $E$.

Explication

Un élément qui vérifie simultanément $P$ et $Q$ fournit bien un témoin pour chacune des deux existences. En revanche, deux témoins distincts peuvent satisfaire séparément $P$ et $Q$ sans qu’un même élément satisfasse les deux.

Explication

Comme $3$ est impair, multiplier $n$ par $3$ conserve sa parité : $3n$ est donc pair exactement lorsque $n$ est pair. L’idée que la multiplication par un entier impair inverse la parité est incorrecte.

Explication

Le carré d’un entier impair est impair, tandis que le carré d’un entier pair est pair ; ainsi, $n^2$ impair implique que $n$ est impair. La conclusion de parité opposée confond le comportement des carrés avec une inversion de parité.

Explication

Un élément appartient à $A\cap B$ lorsqu’il appartient à $A$ et à $B$, ce qui correspond à la conjonction logique. L’union représente plutôt la disjonction « ou ».

Explication

La classe de $a$ est définie par $\hat a=\{x\in E\mid xRa\}$ : elle contient tous les éléments équivalents à $a$. L’ensemble de toutes les classes constitue plutôt l’ensemble quotient.

Explication

Les classes d’équivalence sont deux à deux disjointes et leur réunion recouvre tout $E$ ; elles constituent donc une partition de $E$. Une famille disjointe qui ne recouvre pas $E$ ne serait pas une partition de cet ensemble.

Explication

Le couple $(x,y)$ appartient à $A\times B$ lorsque $x\in A$ et $y\in B$, ce que traduit le produit $\mathbf{1}_A(x)\mathbf{1}_B(y)$. La somme des indicatrices ne convient pas, car elle peut être non nulle lorsqu’une seule des deux conditions est satisfaite.

Explication

Dans ce cas, $\mathbf{1}_A=1$ et $\mathbf{1}_B=0$, donc l’expression vaut $1+0-2\times1\times0=1$, ce qui caractérise l’appartenance à la différence symétrique. La valeur $0$ correspondrait plutôt à un élément appartenant simultanément aux deux ensembles ou à aucun des deux.