Fiche de révision : Factorisation et équations algébriques

📋 Plan du Cours

1. Techniques de factorisation
2. Équations du premier degré
3. Équations produit et quotient
4. Inéquations et tableaux de signes
5. Polynômes du second degré

📖 1. Techniques de factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Consiste à transformer une somme ou une différence en produit de facteurs.

★ À maîtriser

📐 Formule — La mise en facteur commun repose sur $ka+kb=k(a+b)$.

📐 Formule — Les trois identités remarquables sont $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$, $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ et $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.

Compléments

• L’expression $7x^2+49x$ se factorise en $7x(x+7)$ en mettant $7x$ en facteur commun.

💡 Astuce mémo

Facteur commun : on met a en évidence ; identité remarquable : on reconnaît une forme.

📖 2. Équations du premier degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Se ramène à la forme $ax=b$ après avoir isolé l’inconnue, développé ou multiplié par un dénominateur commun si nécessaire.

📝 Points essentiels

📌 Pour $ax=b$, si $a\ne0$, l’unique solution est $x=\frac{b}{a}$ et $S=\left\{\frac{b}{a}\right\}$.

📌 Pour $ax=b$, si $a=0$ et $b\ne0$, l’équation est impossible et $S=\varnothing$, tandis que si $a=0$ et $b=0$, elle est toujours vraie et $S=\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Isoler, classifier, conclure : a≠0, a=0 et b≠0, a=0 et b=0.

📖 3. Équations produit et quotient

📝 Points essentiels

📌 Pour résoudre une équation produit, on annule le second membre puis on utilise $ab=0\Longleftrightarrow a=0\text{ ou }b=0$.

📌 Pour une égalité de deux carrés, on utilise $a^2=b^2\Longleftrightarrow a=b\text{ ou }a=-b$.

• Pour une équation quotient, on détermine l’ensemble de définition, on effectue un produit en croix en cas d’égalité de fractions ou on multiplie par un dénominateur commun, puis on vérifie que les solutions appartiennent à l’ensemble de définition.

💡 Astuce mémo

Produit nul : chaque facteur peut s’annuler ; quotient : le dénominateur ne doit jamais être nul.

📖 4. Inéquations et tableaux de signes

📝 Points essentiels

📌 Dans une inéquation du premier degré, diviser par un nombre positif conserve le sens de l’inégalité, tandis que diviser par un nombre négatif l’inverse.

📌 Pour le signe du binôme $ax+b$, la valeur frontière est $x=-\frac{b}{a}$ ; lorsque $a>0$, le signe est négatif avant cette valeur et positif après, tandis que lorsque $a<0$, les signes sont inversés.

• Pour résoudre une inéquation produit, on factorise le premier membre, on détermine les valeurs frontières, on construit un tableau de signes puis on sélectionne les intervalles correspondant à l’inégalité.

• Pour résoudre une inéquation quotient, on détermine l’ensemble de définition, on annule le second membre, on réduit au même dénominateur, on détermine les valeurs frontières, puis on utilise un tableau de signes avec une double barre aux valeurs interdites.

💡 Astuce mémo

Multiplier ou diviser par un nombre négatif → inversion du sens de l’inégalité.

📖 5. Polynômes du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction définie sur R par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.
• Forme canonique : Écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

📝 Points essentiels

• Pour obtenir la forme canonique de $2x^2-20x+10$, on factorise 2, on complète le carré puis on simplifie, ce qui donne $2(x-5)^2-40$.

• Pour $f(x)=3x^2-7x+3$, on obtient $\alpha=\frac{7}{6}$ et $\beta=-\frac{13}{12}$, donc $f(x)=3\left(x-\frac{7}{6}\right)^2-\frac{13}{12}$.

💡 Astuce mémo

La parabole se recentre autour de son sommet dans la forme canonique.