QCM : Factorisation et équations algébriques — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle transformation décrit la factorisation d’une expression algébrique ?

Remplacer une expression littérale par une valeur numérique
Transformer une somme ou une différence en produit de facteurs
Transformer un produit de facteurs en somme ou en différence
Réduire une expression en regroupant les termes semblables

Transformer une somme ou une différence en produit de facteurs

Explication

La factorisation réécrit une somme ou une différence sous la forme d’un produit. Le développement correspond au mouvement inverse, d’un produit vers une somme.

2. Quelle expression est obtenue en mettant kk en facteur commun dans ka+kbka+kb ?

k(a+b)k(a+b)
(k+a)b(k+a)b
k(a−b)k(a-b)
(k+a)(k+b)(k+a)(k+b)

$$k(a+b)$$

Explication

Les deux termes contiennent le facteur commun kk, donc ka+kb=k(a+b)ka+kb=k(a+b). L’expression k(a−b)k(a-b) conviendrait à une différence et non à cette somme.

3. Quelle factorisation utilise correctement une identité remarquable pour x2−25x^2-25 ?

(x+5)(x+5)(x+5)(x+5)
(x+25)(x−1)(x+25)(x-1)
(x+5)(x−5)(x+5)(x-5)
(x−5)2(x-5)^2

$$(x+5)(x-5)$$

Explication

Il s’agit d’une différence de deux carrés, car 25=5225=5^2, donc x2−25=(x+5)(x−5)x^2-25=(x+5)(x-5). Le carré (x−5)2 (x-5)^2 développerait un terme supplémentaire en −10x-10x.

4. Quelle est la solution de −4x=12-4x=12 ?

x=−3x=-3
x=3x=3
x=−48x=-48
x=13x=\frac{1}{3}

$$x=-3$$

Explication

Le coefficient de xx vaut −4-4, qui est non nul, donc x=12−4=−3x=\frac{12}{-4}=-3. Le résultat 33 oublie le signe négatif du coefficient.

5. Quel est l’ensemble des solutions de 0x=00x=0 ?

S={0}S=\{0\}
S={−1,1}S=\{-1,1\}
S=RS=\mathbb{R}
S=∅S=\varnothing

$$S=\mathbb{R}$$

Explication

Lorsque les deux membres sont nuls, l’égalité 0x=00x=0 est vraie pour tout réel, donc S=RS=\mathbb{R}. L’ensemble vide correspondrait à une égalité comme 0x=50x=5.

6. Comment commence-t-on généralement la résolution de (2x−6)(x+1)=0 (2x-6)(x+1)=0 ?

En développant puis en divisant par 2x−62x-6
En posant 2x−6=12x-6=1 et x+1=1x+1=1
En posant 2x−6=x+12x-6=x+1
En posant 2x−6=02x-6=0 ou x+1=0x+1=0

En posant $$2x-6=0$$ ou $$x+1=0$$

Explication

Un produit nul vérifie ab=0⟺a=0 ou b=0ab=0\Longleftrightarrow a=0\text{ ou }b=0, ce qui conduit ici à deux équations distinctes. Égaler les deux facteurs ne traduit pas la propriété du produit nul.

7. Quelles sont les solutions réelles de x2=16x^2=16 ?

x=4x=4 uniquement
x=4x=4 ou x=−4x=-4
x=8x=8 ou x=−8x=-8
x=16x=16 ou x=−16x=-16

$$x=4$$ ou $$x=-4$$

Explication

Une égalité de carrés se traite par a2=b2⟺a=b ou a=−ba^2=b^2\Longleftrightarrow a=b\text{ ou }a=-b, donc x=4x=4 ou x=−4x=-4. Retenir seulement la racine positive écarterait une solution valide.

8. Quelle démarche convient pour résoudre une équation quotient contenant une fraction rationnelle ?

Résoudre l’équation obtenue puis accepter toutes les valeurs trouvées
Multiplier les numérateurs sans examiner les valeurs interdites
Diviser chaque membre par son dénominateur avant toute restriction
Déterminer le domaine, éliminer les dénominateurs, puis vérifier les solutions

Déterminer le domaine, éliminer les dénominateurs, puis vérifier les solutions

Explication

Il faut d’abord déterminer les valeurs interdites, puis utiliser un produit en croix ou un dénominateur commun, et enfin vérifier les solutions. Négliger le domaine peut conserver une valeur qui annule un dénominateur.

9. Dans une inéquation, quelle transformation faut-il effectuer lorsqu’on divise les deux membres par un nombre négatif ?

Conserver le sens de l’inégalité
Remplacer l’inégalité par une équation
Ajouter une égalité à l’inégalité
Inverser le sens de l’inégalité

Inverser le sens de l’inégalité

Explication

La division par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité, car elle change l’ordre des nombres sur la droite réelle. La conservation du sens concerne une division par un nombre positif.

10. Pour le binôme ax+bax+b avec a>0a>0, comment évolue son signe lorsqu’on franchit la valeur frontière x=−bax=-\frac{b}{a} ?

Il reste négatif des deux côtés
Il reste positif des deux côtés
Il passe de négatif à positif
Il passe de positif à négatif

Il passe de négatif à positif

Explication

Lorsque le coefficient directeur est positif, le binôme est négatif avant sa racine puis positif après celle-ci. Le passage de positif à négatif correspond au cas a<0a<0.

11. Quelle démarche permet de résoudre une inéquation produit ?

Développer, calculer une dérivée, puis retenir les extrema obtenus
Réduire au même dénominateur, exclure les valeurs interdites, puis calculer une limite
Factoriser, établir le tableau de signes, puis retenir les intervalles adaptés
Isoler chaque variable, additionner les coefficients, puis comparer les constantes

Factoriser, établir le tableau de signes, puis retenir les intervalles adaptés

Explication

Une inéquation produit se traite en factorisant, en trouvant les valeurs frontières et en construisant un tableau de signes avant de sélectionner les intervalles convenables. La réduction au même dénominateur et les valeurs interdites relèvent plutôt des inéquations quotient.

12. Quel élément particulier doit apparaître dans le tableau de signes d’une inéquation quotient aux valeurs interdites ?

Une double barre
Une flèche ascendante
Un cercle plein
Une ligne de symétrie

Une double barre

Explication

Les valeurs qui annulent le dénominateur sont interdites et sont signalées par une double barre dans le tableau de signes. Elles ne peuvent donc pas être incluses dans l’ensemble des solutions, même si le quotient change de signe à cet endroit.

13. Quelle expression définit une fonction polynôme de degré 2 sur R\mathbb{R} ?

f(x)=ax+bf(x)=ax+b avec a≠0a\ne0
f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0
f(x)=ax+bf(x)=\frac{a}{x}+b avec a≠0a\ne0
f(x)=ax3+bx2+cf(x)=a x^3+bx^2+c avec a≠0a\ne0

$$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\ne0$$

Explication

Un polynôme du second degré possède un terme en x2x^2 dont le coefficient est non nul, et s’écrit ax2+bx+cax^2+bx+c. L’expression affine est de degré 1, tandis que les expressions avec inverse ou terme cubique ne sont pas des polynômes du second degré.

14. Quelle forme canonique obtient-on pour f(x)=3x2−7x+3f(x)=3x^2-7x+3 ?

3(x−76)2−13123\left(x-\frac{7}{6}\right)^2-\frac{13}{12}
3(x−73)2−1363\left(x-\frac{7}{3}\right)^2-\frac{13}{6}
3(x+73)2+1363\left(x+\frac{7}{3}\right)^2+\frac{13}{6}
3(x+76)2+13123\left(x+\frac{7}{6}\right)^2+\frac{13}{12}

$$3\left(x-\frac{7}{6}\right)^2-\frac{13}{12}$$

Explication

La forme canonique utilise α=−b2a=76\alpha=-\frac{b}{2a}=\frac{7}{6} et β=−b2−4ac4a=−1312\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}=-\frac{13}{12}, ce qui donne l’expression proposée. Le signe devant la parenthèse et les valeurs de translation des autres expressions ne correspondent pas aux coefficients du polynôme.

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Qu'est-ce que la factorisation en mathématiques ?

Transformer une somme ou une différence en produit de facteurs.

Quelle formule exprime la mise en facteur commun ?

ka+kb=k(a+b)ka+kb=k(a+b).

Quelle identité remarquable correspond à a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2 ?

a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.

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