Fiche de révision : Flottabilité et dynamique des fluides

📋 Plan du Cours

1. Influence thermique sur l’air
2. Notions fondamentales des fluides
3. Viscosité et comportement des fluides
4. Compressibilité et hydrostatique
5. Pression de contact et pression fluide
6. Forces de pression sur les parois
7. Poussée d’Archimède et flottabilité
8. Flottabilité des corps
9. Équilibre et stabilité des corps
10. Débit et dynamique des fluides
11. Mesure de pression dans un Venturi
12. Énergie échangée par les machines hydrauliques
13. Origine et calcul des pertes de charge
14. Écoulement entre deux plaques
15. Écoulement de Poiseuille entre plaques
16. Écoulement de Hagen-Poiseuille
17. Notions de thermodynamique des gaz
18. Relations isentropiques et état générateur

📖 1. Influence thermique sur l’air

★ À maîtriser

• L’air chaud à l’intérieur d’une montgolfière est moins dense que l’air froid extérieur, et cette différence de densité crée une poussée d’Archimède ascendante.

• Quand l’altitude augmente, la pression de l’air diminue, l’air se dilate et perd de l’énergie thermique ; dans la troposphère, la température de l’air diminue en moyenne de 0,65 °C tous les 100 m.

Compléments

• La compression de l’air augmente sa température, tandis que sa dilatation le refroidit.

• Lorsque l’avion accélère, l’air circule plus vite au-dessus de ses ailes qu’en dessous, ce qui crée une pression plus forte sous l’aile et une portance qui le soulève lorsqu’elle dépasse son poids.

• Un objet immergé déplace de l’eau, qui exerce sur lui une force ascendante ; si cette force compense suffisamment son poids, l’objet flotte.

💡 Astuce mémo

Compression réchauffe, dilatation refroidit

📖 2. Notions fondamentales des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Mécanique des fluides : Étude du comportement des fluides au repos, appelé hydrostatique, et en mouvement, appelé hydrodynamique.
• Fluide : Milieu continu, déformable, sans rigidité, qui peut s’écouler et n’a pas de forme propre en raison des faibles forces de cohésion entre ses particules.

★ À maîtriser

📌 Les liquides sont considérés comme incompressibles, tandis que les gaz sont considérés comme compressibles.

Compléments

• Les fluides newtoniens ont une viscosité constante ou qui ne varie qu’en fonction de la température ; l’eau, l’air et la plupart des gaz en sont des exemples.

• Pour un fluide non newtonien, la viscosité varie en fonction de la vitesse et des contraintes subies pendant l’écoulement ; le sang, les gels et les boues en sont des exemples.

💡 Astuce mémo

Au repos : hydrostatique ; en mouvement : hydrodynamique

📖 3. Viscosité et comportement des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Viscosité : Ensemble des phénomènes de résistance au mouvement d’un fluide.
• Viscosité dynamique : Caractérise la résistance interne d’un fluide à l’écoulement et mesure la force nécessaire pour déplacer une couche de fluide par rapport à une autre.

★ À maîtriser

📐 Formule - La loi de viscosité de Newton s’écrit $F = \mu S \frac{\Delta V}{\Delta Z}$ et, pour la contrainte tangentielle, $\tau = \mu \frac{\Delta V}{\Delta Z}$.

Compléments

📐 Formule - La viscosité cinématique est liée à la viscosité dynamique par $\nu = \frac{\mu}{\rho}$.

• Une viscosité dynamique de 1 Pa·s équivaut à 1 Poiseuille et à 10 poises ; une viscosité cinématique de 1 m²/s équivaut à 10⁴ Stokes.

• Lorsque la température augmente, la viscosité d’un liquide décroît.

📖 4. Compressibilité et hydrostatique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fluide incompressible : Fluide dont le volume occupé par une masse donnée ne varie pas avec la pression extérieure ; les liquides, comme l’eau et l’huile, sont pratiquement considérés comme incompressibles.
• Fluide compressible : Fluide dont le volume occupé par une masse donnée varie avec la pression extérieure ; les gaz, comme l’air et l’hydrogène, sont pratiquement considérés comme compressibles.

★ À maîtriser

📌 Un fluide parfait a une viscosité nulle, μ = 0, et une composante tangentielle de force nulle ; un fluide réel a une viscosité non nulle, μ ≠ 0, et une composante tangentielle de force non nulle.

Compléments

• L’hydrostatique étudie l’équilibre des liquides et applique aux fluides réels les lois établies pour un fluide parfait.

• Les lois et théorèmes fondamentaux de la statique des fluides portent sur :

  • la pression
  • le théorème de Pascal
  • la poussée d’Archimède
  • la relation fondamentale de l’hydrostatique

📖 5. Pression de contact et pression fluide

🔑 Notions clés & Définitions

• Force de pression : Force de poussée exercée au contact d’un fluide et d’un autre corps.

★ À maîtriser

• La résultante de la force de pression s’applique au centre de la surface de contact, sa direction est perpendiculaire à cette surface, son sens va du liquide vers le corps et sa valeur dépend de la pression et de la surface de contact.

📐 Formule - La pression est le rapport de la force perpendiculaire à une surface sur cette surface : $p=\frac{F}{S}$.

📌 La pression atmosphérique dépend de l’altitude et vaut environ 1 atm au niveau de la mer, la pression absolue est mesurée depuis le vide et reste positive, tandis que la pression effective est mesurée par rapport à une référence, généralement l’atmosphère.

Compléments

• La pression s’exprime en pascals, avec $1\,\mathrm{bar}=10^5\,\mathrm{Pa}\approx1{,}0197\,\mathrm{kgf/cm^2}\approx10{,}194\,\mathrm{m\ d’eau}$ et $1\,\mathrm{atm}\approx1{,}013\times10^5\,\mathrm{Pa}$.

📐 Formule - La pression effective est égale à la pression absolue moins la pression atmosphérique : $P_{eff}=P_{ab}-P_{atm}$.

• Un manomètre standard mesure la pression relative, un manomètre absolu mesure la pression absolue et un vacuomètre mesure les dépressions.

💡 Astuce mémo

La pression pousse perpendiculairement à la paroi ; la pression absolue part du vide, la pression effective d’une référence.

📖 6. Forces de pression sur les parois

★ À maîtriser

📐 Formule - Sur une paroi horizontale de surface S à la profondeur h dans un liquide de masse volumique ρ, la force de pression effective vaut $F=\rho g hS$.

• Dans un fluide au repos, la pression dépend de la profondeur et non de la forme du récipient ; sur une surface horizontale, elle est uniforme.

📐 Formule - Sur une paroi verticale immergée sur une hauteur h, la résultante de pression effective vaut $F=\rho g S\frac{h}{2}$, où S est la surface mouillée.

Compléments

• Pour une surface mouillée S, la résultante de pression vaut $F=\rho g S d$, où d est la distance verticale entre le centre de gravité de la surface et la surface libre ; d=h pour une paroi horizontale et d=h/2 pour une paroi verticale ou inclinée.

📐 Formule - Pour une paroi verticale dont l’autre côté est à la pression atmosphérique, le moment de la résultante des pressions relatives autour de l’axe passant par G vaut $M_G=\rho g I_{G,Z}$, où $I_{G,Z}=\int_S y^2\,dS$ est le moment quadratique de la surface.

📖 7. Poussée d’Archimède et flottabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Poussée d’Archimède : Force verticale dirigée vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé et appliquée au centre de gravité du liquide déplacé.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’intensité de la poussée d’Archimède vaut $A=\rho_L g V_{immergé}$.

Compléments

• Un solide dont seule une partie est immergée est dit flotter.

• Un solide complètement immergé peut rester entre deux couches liquides ou toucher le fond et couler.

📐 Formule - Pour un solide flottant en équilibre, $\rho_L V_{imm}=\rho_S V_S$, donc $\rho_L>\rho_S$ lorsque le volume immergé est inférieur au volume du solide.

📖 8. Flottabilité des corps

★ À maîtriser

• Pour un solide en équilibre statique complètement immergé, la poussée d’Archimède A et le poids P se compensent, avec $A=P$, soit $\rho_L V_S g=\rho_S V_S g$ et donc $\rho_L=\rho_S$.

• Un solide flotte lorsque sa masse volumique est inférieure à celle du liquide, soit $\rho_L>\rho_S$.

• Un solide coule lorsque sa masse volumique est supérieure à celle du liquide, soit $\rho_L<\rho_S$.

Compléments

• Un solide de masse volumique égale à celle du liquide reste complètement immergé entre deux couches liquides.

💡 Astuce mémo

Liquide plus dense : le solide flotte ; solide plus dense : il coule.

📖 9. Équilibre et stabilité des corps

🔑 Notions clés & Définitions

• Centre de gravité : Le centre de gravité G est le point d’application du poids total de l’objet et dépend uniquement de la répartition de sa masse.
• Centre de carène : Le centre de carène B est le point d’application de la poussée d’Archimède, situé au centre de gravité du volume de fluide déplacé ; il dépend de la forme immergée de l’objet et non de la répartition de sa masse.
• Stabilité : Un corps immergé ou flottant est stable s’il revient à sa position initiale après un déplacement.

• Métacentre : Le métacentre M d’un corps flottant est le centre de l’arc BB₁ décrit lors d’un petit déplacement angulaire et peut être considéré comme son centre d’oscillations.

★ À maîtriser

📌 Un corps est en équilibre statique lorsque la résultante des forces est nulle et que G et B sont alignés sur une même verticale, condition d’équilibre des moments.

📌 Pour un corps flottant avec G au-dessus de B, l’équilibre est stable si $BM>BG$ et instable si $BM<BG$, où $BM=I/V_{imm}$ et I est le plus petit moment quadratique de la surface de flottaison.

Compléments

📌 Pour un corps immergé, G sous B produit un équilibre stable, G au-dessus de B un équilibre instable, et la coïncidence de G et B un équilibre neutre.

💡 Astuce mémo

G sous B redresse ; G au-dessus de B renverse.

📖 10. Débit et dynamique des fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Débit volumique : Le débit volumique Qv est le volume de fluide écoulé par unité de temps.
• Dynamique des fluides : La dynamique des fluides étudie le comportement des fluides en mouvement.
• Débit massique : Le débit massique Qm est la masse de fluide écoulée par unité de temps.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le débit massique et le débit volumique sont liés par $Q_m=\rho Q_v$.

📐 Formule - Pour une section S traversée par un fluide de vitesse moyenne Vm, le débit volumique vaut $Q_v=SV_m$.

📌 Pour un fluide incompressible en écoulement permanent dans un tube de courant, le débit volumique se conserve entre les sections, donc $S_1V_1=S_2V_2$ lorsque les vitesses sont uniformes sur les sections.

📐 Formule - Pour un fluide parfait incompressible en écoulement permanent, la relation de Bernoulli entre deux points s’écrit $\frac{V_1^2}{2}+gZ_1+\frac{p_1}{\rho}=\frac{V_2^2}{2}+gZ_2+\frac{p_2}{\rho}$.

Compléments

• Le modèle de fluide parfait incompressible néglige la viscosité, avec $\mu=0$, et considère la masse volumique constante, avec $\rho=\mathrm{cte}$.

• Les équations fondamentales de la dynamique des fluides incompressibles parfaits sont l’équation de continuité, le théorème de Bernoulli et le théorème d’Euler.

• Le débit volumique à travers une section S peut aussi s’écrire comme l’intégrale du flux de vitesse normale à la section : $Q_v=\iint_S \vec{V}\cdot\vec{n}\,dS$, où n est le vecteur unitaire normal à S.

• La relation de Bernoulli peut être exprimée en énergie par unité de masse, en pression ou en hauteur, à condition d’exprimer tous ses termes dans la même unité.

• La dérivation de Bernoulli présentée considère un fluide parfait et incompressible, un écoulement permanent et une conduite parfaitement lisse.

📖 11. Mesure de pression dans un Venturi

★ À maîtriser

📌 Dans un tube piézométrique, la relation fondamentale de l’hydrostatique relie la pression au point considéré à celle de la surface libre, dont l’altitude et la pression sont connues.

• Pour déterminer les vitesses dans le Venturi, on calcule les pressions aux points A et B par hydrostatique, puis on combine la continuité et Bernoulli entre A et B.

Compléments

• Dans le Venturi, les surfaces libres des tubes piézométriques sont aux altitudes $Z_{A'}=3{,}061\,\mathrm{m}$ et $Z_{B'}=2{,}541\,\mathrm{m}$.

• Dans le Venturi, les altitudes des points sont $Z_A=0\,\mathrm{m}$ et $Z_B=50\,\mathrm{cm}$.

• Les surfaces libres des deux tubes piézométriques sont à la pression atmosphérique, $p_{A'}=p_{B'}=p_{\mathrm{atm}}=1\,\mathrm{bar}$.

• Pour l’exercice du Venturi, l’eau a une masse volumique de $1000\,\mathrm{kg/m^3}$ et l’accélération de la pesanteur vaut $9{,}8\,\mathrm{m/s^2}$.

📖 12. Énergie échangée par les machines hydrauliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Machine hydraulique : Machine placée entre deux sections qui échange de l’énergie avec le fluide sous forme de travail.

★ À maîtriser

📌 Pour une pompe, le fluide reçoit de l’énergie et $\eta=P_{\mathrm{net}}/P_a$, tandis que pour une turbine, le fluide fournit de l’énergie et $\eta=P_a/P_{\mathrm{net}}$.

📐 Formule - Entre deux sections traversées par une machine hydraulique, l’équation énergétique s’écrit $\frac{V_2^2-V_1^2}{2}+g(Z_2-Z_1)+\frac{p_2-p_1}{\rho}-\frac{P_{\mathrm{net}}}{Q_m}=0$, avec une puissance nette positive pour une pompe et négative pour une turbine.

Compléments

• Une machine hydraulique est caractérisée par la puissance nette échangée avec le fluide $P_{\mathrm{net}}$, la puissance sur l’arbre $P_a$ et son rendement $\eta$.

• Le travail net échangé entre les instants t et t′ vaut $W_{\mathrm{net}}=P_{\mathrm{net}}\,dt$ ; il est positif pour une pompe et négatif pour une turbine.

📖 13. Origine et calcul des pertes de charge

📝 Points essentiels

📌 Les pertes de charge linéaires, ou régulières, proviennent des frottements entre les couches de liquide et entre le liquide et la paroi de la conduite.

📌 Les pertes de charge singulières, ou localisées, résultent de la résistance à l’écoulement provoquée par des accidents de parcours comme les changements de direction ou de section, les vannes et les coudes.

📐 Formule - La perte de charge linéaire spécifique est $J_L=\lambda\frac{L}{d}\frac{V^2}{2}$ et la perte de pression correspondante est $\Delta p=\lambda\frac{L}{d}\frac{\rho V^2}{2}$.

📐 Formule - La perte de charge singulière spécifique est $J_S=K_S\frac{V^2}{2}$ et la perte de pression correspondante est $\Delta p=K_S\frac{\rho V^2}{2}$.

💡 Astuce mémo

Frottements le long de la conduite : pertes linéaires ; accidents du parcours : pertes singulières.

📖 14. Écoulement entre deux plaques

★ À maîtriser

• Pour un écoulement établi entre deux plaques, la vitesse axiale dépend de la coordonnée transversale seulement, soit $u=u(y)$, et $\frac{\partial u}{\partial x}=0$.

Compléments

• Dans l’écoulement de Poiseuille entre deux plaques, la distance entre les plaques est $d=2h$.

• Dans le modèle d’écoulement entre deux plaques, la constante d’intégration indiquée est négative parce que la pression diminue dans la direction de l’écoulement en raison des pertes de charge.

📖 15. Écoulement de Poiseuille entre plaques

★ À maîtriser

📐 Formule - Le profil de vitesse entre les plaques est $u(y)=-\frac{1}{2\mu}\frac{dp}{dx}(h^2-y^2)$.

• Le profil de vitesse entre les plaques est parabolique et la vitesse maximale est atteinte au centre, pour y = 0.

📐 Formule - Le débit volumique par unité de profondeur entre les plaques est $Q=-\frac{2h^3}{3\mu}\frac{dp}{dx}$.

Compléments

• Dans l’écoulement établi entre deux plaques séparées de 2h, la vitesse axiale u dépend de y et ne dépend pas de x.

📐 Formule - La vitesse moyenne entre les plaques vaut $u_m=\frac{Q}{2h}=\frac{2}{3}u_c$, où $u_c$ est la vitesse au centre.

📖 16. Écoulement de Hagen-Poiseuille

★ À maîtriser

📐 Formule - Le profil de vitesse dans la conduite cylindrique est $u(r)=-\frac{1}{4\mu}\frac{dp}{dx}(R^2-r^2)$.

• Le profil de vitesse dans la conduite cylindrique est parabolique et la vitesse maximale est atteinte sur l’axe, pour r = 0.

📐 Formule - Le débit volumique dans la conduite cylindrique est $Q=-\frac{\pi R^4}{8\mu}\frac{dp}{dx}$.

Compléments

• Dans une conduite cylindrique de diamètre D, le rayon vaut R = D/2 et, en régime établi, la vitesse axiale u dépend de r et ne dépend pas de x.

📐 Formule - La vitesse moyenne dans la conduite cylindrique vaut $u_m=\frac{Q}{\pi R^2}=\frac{u_c}{2}$, où $u_c$ est la vitesse sur l’axe.

📖 17. Notions de thermodynamique des gaz

🔑 Notions clés & Définitions

• Fluide compressible : Lorsque le volume occupé par une masse donnée varie en fonction de la pression extérieure.

★ À maîtriser

📌 Un système ouvert échange de la matière et de l’énergie avec le milieu extérieur, un système fermé échange de l’énergie mais pas de matière, et un système isolé n’échange ni matière ni énergie.

Compléments

• En pratique, les gaz, notamment l’air et l’hydrogène, sont considérés comme compressibles et leur masse volumique varie avec la pression.

📌 Une évolution adiabatique vérifie δq = 0, tandis qu’une évolution isentropique vérifie ds = 0.

• Les variables d’état citées sont :

  • la pression p
  • la température T
  • la masse volumique ρ

• Les fonctions d’état citées sont : l’énergie interne massique e, l’entropie s, l’enthalpie massique h = e + p/ρ, l’énergie libre massique f = e − Ts

• Les paramètres thermodynamiques cités sont :

  • la chaleur massique isochore Cv
  • la chaleur massique isobare Cp
  • le rapport des chaleurs massiques γ
  • la vitesse du son C
  • la compressibilité isentropique χs
  • la compressibilité isotherme χT
  • la dilatabilité thermique α

• La chaleur massique est la quantité de chaleur nécessaire pour élever de 1 °C ou 1 K la température d’un kilogramme d’une substance.

💡 Astuce mémo

Système ouvert : échanges de matière et d’énergie ; système fermé : énergie sans matière.

📖 18. Relations isentropiques et état générateur

🔑 Notions clés & Définitions

• État générateur : L’état d’un fluide en un point de l’écoulement où la vitesse est supposée nulle.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un gaz parfait, le rapport des chaleurs massiques est $\gamma=\frac{C_p}{C_v}$.

📐 Formule - Pour un gaz parfait, la relation de Saint-Venant entre deux points d’une transformation isentropique s’écrit $\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$.

Compléments

📐 Formule - Pour un gaz parfait au cours d’une transformation isentropique, on a $\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)^{\gamma-1}$.

• Dans un écoulement isentropique d’un gaz parfait, les caractéristiques thermodynamiques au point d’arrêt sont celles de l’état générateur : Pi, Ti et ρi.