Fiche de révision : Ordre et inéquations dans ℝ

📋 Plan du Cours

1. Règles de comparaison dans ℝ
2. Opérations sur les inégalités
3. Encadrements et transformations
4. Équations et équivalence
5. Résolution des inéquations

📖 1. Règles de comparaison dans ℝ

📝 Points essentiels

📌 Si $a<b$ et $b<c$, alors $a<c$.

📖 2. Opérations sur les inégalités

★ À maîtriser

• Ajouter ou soustraire un même réel aux deux membres d’une inégalité conserve son sens.

• Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même réel strictement positif conserve le sens de l’inégalité.

• Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même réel strictement négatif inverse le sens de l’inégalité.

Compléments

📌 Additionner membre à membre deux encadrements de même sens donne un encadrement de la somme : si $a<x<b$ et $c<y<d$, alors $a+c<x+y<b+d$.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un positif conserve l’ordre ; par un négatif, il le renverse.

📖 3. Encadrements et transformations

📝 Points essentiels

• Les règles sur les inégalités strictes s’appliquent aussi aux inégalités larges et aux encadrements.

• De l’encadrement $3{,}14<\pi<3{,}15$, on déduit $6{,}28<2\pi<6{,}30$.

📖 4. Équations et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Une égalité qui comporte une ou plusieurs inconnues.
• Équations équivalentes : Deux équations ont le même ensemble de solutions.

📝 Points essentiels

• La résolution de $4(3-x)=7x-2$ donne $x=\frac{14}{11}$, donc l’ensemble des solutions est $\left\{\frac{14}{11}\right\}$.

📖 5. Résolution des inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Inéquation : Une inégalité qui comporte une ou plusieurs inconnues.
• Inéquations équivalentes : Deux inéquations ont le même ensemble de solutions.

★ À maîtriser

📌 Pour obtenir une inéquation équivalente, on peut développer, factoriser ou réduire, ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, ou multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul ; un facteur positif conserve le sens et un facteur négatif l’inverse.

Compléments

• La résolution de $-8x+5<4x+8$ donne $x>-\frac14$, donc l’ensemble des solutions est $]-\frac14;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Le signe du diviseur décide : positif, même sens ; négatif, sens inversé.