Fiche de révision : Fonction affine

📋 Plan du Cours

1. Définition et paramètres
2. Représentation graphique
3. Taux d’accroissement
4. Équation d’une droite
5. Sens de variation

📖 1. Définition et paramètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Procédé qui associe à tout nombre réel x de D un unique nombre réel f(x), où D est l’ensemble de définition.
• Fonction affine : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=mx+p$, où m et p sont deux nombres réels constants.

★ À maîtriser

📌 Dans une fonction affine $f(x)=mx+p$, m est le coefficient directeur et p l’ordonnée à l’origine ; si m = 0, la fonction est constante, tandis que si p = 0, elle est linéaire.

Compléments

• Pour $f(x)=2x-1$, on a m = 2, p = -1 et f(2) = 3 ; ainsi 3 est l’image de 2 et 2 est un antécédent de 3.

💡 Astuce mémo

m = 0 donne une constante, p = 0 donne une linéaire

📖 2. Représentation graphique

★ À maîtriser

📌 La représentation graphique de la fonction affine $f(x)=mx+p$ est la droite d’équation $y=mx+p$, appelée équation réduite de la droite.

📐 Formule — Le coefficient directeur d’une droite vérifie $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$, c’est-à-dire le quotient de l’accroissement des ordonnées par celui des abscisses.

Compléments

• La fonction $f(x)=2x+1$ est représentée par la droite $y=2x+1$, qui passe notamment par les points (0 ; 1) et (1 ; 3).

💡 Astuce mémo

Une droite coupe l’axe des ordonnées en p et monte selon m

📖 3. Taux d’accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Pour une fonction f et deux nombres réels distincts x₁ et x₂ de son domaine, le taux d’accroissement entre x₁ et x₂ est $\tau(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction affine, le taux d’accroissement est constant et égal au coefficient directeur : $\tau(x_1,x_2)=m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Compléments

• Pour $f(x)=-x^2+2$, le taux d’accroissement entre 4 et 7 vaut $\tau(4{,}7)=\frac{-47-(-14)}{7-4}=-11$.

💡 Astuce mémo

Le taux d’accroissement général varie, tandis que celui d’une affine reste égal à m

📖 4. Équation d’une droite

★ À maîtriser

• Pour déterminer graphiquement l’équation d’une droite, on lit p sur l’axe des ordonnées, on choisit deux points, on calcule m avec $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$, puis on écrit $y=mx+p$.

📐 Formule — Pour deux points A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B) tels que x_A ≠ x_B, le coefficient directeur de la droite (AB) est $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

Compléments

• Pour E(1 ; 2) et F(3 ; 1), le coefficient directeur vaut $m=\frac{1-2}{3-1}=-\frac12$ et l’équation de (EF) est $y=-\frac12x+\frac52$.

💡 Astuce mémo

Deux points → coefficient directeur → ordonnée à l’origine → équation

📖 5. Sens de variation

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction affine $f(x)=mx+p$ avec m ≠ 0, f est strictement croissante sur ℝ si m > 0 et strictement décroissante sur ℝ si m < 0.

Compléments

• La fonction $f(x)=6x+4$ est croissante car m = 6 > 0, tandis que $g(x)=5-2x$ est décroissante car m = -2 < 0.

💡 Astuce mémo

m > 0 : la droite monte ; m < 0 : la droite descend

📊 Tableaux de synthèse

Rôle des paramètres