Fonction exponentielle

📋 Plan du Cours

1. Propriétés de l’exponentielle
2. Étude de f(x)=(2x−1)e^x

📖 1. Propriétés de l’exponentielle

★ À maîtriser

📌 La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ : pour tout réel x, e^x > 0.

📌 La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ, car sa dérivée est elle-même et cette dérivée est strictement positive.

Compléments

• La positivité de l’exponentielle se démontre en supposant qu’il existe un réel a tel que e^a=0 ; alors e^x=e^a e^(x−a)=0 pour tout x, ce qui contredit e^0=1, puis la continuité et l’absence de zéro imposent un signe constant, positif car e^0=1.

💡 Astuce mémo

e^x > 0 → (e^x)' > 0 → l’exponentielle est strictement croissante

📖 2. Étude de f(x)=(2x−1)e^x

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour f(x)=(2x−1)e^x, la dérivée est $f'(x)=(2x+1)e^x$.

• Le facteur 2x+1 s’annule pour x=−1/2.

📌 Comme e^x est toujours positif, le signe de f'(x)=(2x+1)e^x est négatif sur ]−∞,−1/2[, nul en −1/2 et positif sur ]−1/2,+∞[.

• La fonction f décroît sur ]−∞,−1/2[ puis croît sur ]−1/2,+∞[ ; elle atteint donc un minimum en x=−1/2, de valeur −2/e^0,5.

Compléments

• La dérivation utilise la règle du produit avec u(x)=2x−1, u'(x)=2, v(x)=e^x et v'(x)=e^x.

💡 Astuce mémo

Dérivée → signe de 2x+1 → variations de f