Fiche de révision : Fonction exponentielle et taux moyens

📋 Plan du Cours

1. Définition des fonctions exponentielles
2. Variations et opérations exponentielles
3. Variations des fonctions k fois exponentielles
4. Taux d’évolution moyen

📖 1. Définition des fonctions exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle de base a : Fonction définie sur les réels par f(x)=a^x pour un réel strictement positif a ; elle prend, lorsque x est un entier naturel, les mêmes valeurs que la suite géométrique (a^n).

📝 Points essentiels

• Pour a>0, on a a^0=1, a^1=a, a^{-1}=1/a, 1^x=1 et a^x>0.

📖 2. Variations et opérations exponentielles

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a>0, $a^{x+y}=a^x a^y$, $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ et $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$.

📐 Formule - Pour a,b>0, $(a^x)^y=a^{xy}$, $a^x b^x=(ab)^x$ et $\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x$.

📌 Pour a>0, la fonction x↦a^x est décroissante si 0<a<1, constante si a=1 et croissante si a>1.

Compléments

📐 Formule - Pour a>0, $a^{x/2}=\sqrt{a^x}$ et $a^{1/2}=\sqrt a$.

• L’expression $\frac{4^x\times3^x}{2^x}$ se simplifie en $6^x$.

💡 Astuce mémo

Base entre 0 et 1 : la courbe descend ; base supérieure à 1 : elle monte.

📖 3. Variations des fonctions k fois exponentielles

★ À maîtriser

📌 Pour a>0 et k≠0, la fonction f(x)=k a^x a le même sens de variation que x↦a^x si k>0, et un sens contraire si k<0.

Compléments

• La fonction $f(x)=-2\left(\frac{3}{7}\right)^x$ est croissante, car la fonction de base 3/7 est décroissante et le facteur -2 inverse son sens de variation.

💡 Astuce mémo

Multiplier par k positif conserve le sens ; multiplier par k négatif l’inverse.

📖 4. Taux d’évolution moyen

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur associé à un taux d’évolution décimal t est CM=1+t, et le taux associé à un coefficient multiplicateur CM est t=CM-1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si CM est le coefficient multiplicateur global de n évolutions successives, le coefficient multiplicateur moyen est $CM^{1/n}$ et le taux d’évolution moyen est $CM^{1/n}-1$.

📌 Quatre hausses successives de 10 % donnent un coefficient global de 1,1^4=1,4641, soit une hausse de 46,41 %, et non de 40 %.

Compléments

• Une hausse de 14 % correspond au taux 0,14 et au coefficient multiplicateur 1,14 ; une baisse de 23 % correspond au taux -0,23 et au coefficient multiplicateur 0,77.

• Une hausse globale de 5 % en 3 ans correspond à un taux annuel moyen d’environ 1,6 %, car $1{,}05^{1/3}\approx1{,}016$.

• Une baisse globale de 30 % en 10 ans correspond à un coefficient multiplicateur global de 0,7, à un coefficient moyen d’environ 0,965 et à un taux moyen d’environ -3,5 %.

💡 Astuce mémo

Coefficient global → racine n-ième → taux moyen.