Fonction exponentielle et taux moyens

📋 Plan du Cours

1. Définition des fonctions exponentielles
2. Variations et opérations exponentielles
3. Variations des fonctions k fois exponentielles
4. Taux d’évolution moyen

📖 1. Définition des fonctions exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle de base a : Fonction définie sur les réels par f(x)=a^x pour un réel strictement positif a ; elle prend, lorsque x est un entier naturel, les mêmes valeurs que la suite géométrique (a^n).

📝 Points essentiels

• Pour a>0, on a a^0=1, a^1=a, a^{-1}=1/a, 1^x=1 et a^x>0.

📖 2. Variations et opérations exponentielles

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a>0, $a^{x+y}=a^x a^y$, $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ et $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$.

📐 Formule - Pour a,b>0, $(a^x)^y=a^{xy}$, $a^x b^x=(ab)^x$ et $\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x$.

📌 Pour a>0, la fonction x↦a^x est décroissante si 0<a<1, constante si a=1 et croissante si a>1.

Compléments

📐 Formule - Pour a>0, $a^{x/2}=\sqrt{a^x}$ et $a^{1/2}=\sqrt a$.