QCM : Fonction exponentielle et taux moyens (10 questions)

Question 1

1. Comment définit-on la fonction exponentielle de base $a$ , lorsque $a>0$ , et quel lien entretient-elle avec une suite géométrique aux entiers naturels ?

On pose

f(x)=a+x

sur les réels, et ses valeurs aux entiers naturels sont celles de la suite

\left(a+n\right)

.

On pose

f(x)=x^a

sur les réels, et ses valeurs aux entiers naturels sont celles de la suite

\left(n^a\right)

.

On pose

f(x)=a^x

sur les réels, et ses valeurs aux entiers naturels sont celles de la suite

\left(a^n\right)

.

On pose

f(x)=a^x

seulement aux entiers naturels, et ses valeurs définissent une suite arithmétique de raison

a

.

Explication

La fonction exponentielle de base $a$ associe à tout réel $x$ la valeur $a^x$ ; aux entiers naturels, elle coïncide avec les termes de la suite géométrique de raison $a$ . La définition $x^a$ inverse le rôle de la variable et de la base.

Answer

On pose $$f(x)=a^x$$ sur les réels, et ses valeurs aux entiers naturels sont celles de la suite $$\left(a^n\right)$$.

Question 2

2. Pour une base $a>0$ , quelle égalité exprime la valeur de l’exposant négatif $-1$ ?

a^{-1}=\frac{1}{a}

a^{-1}=a

a^{-1}=1-a

a^{-1}=\frac{a}{1}

Explication

Un exposant égal à $-1$ donne l’inverse de la base, soit $\frac{1}{a}$ . L’expression $a^{-1}=a$ confond l’inverse avec la puissance de base.

Answer

$$a^{-1}=\frac{1}{a}$$

Question 3

3. La fonction $x\mapsto a^x$ est-elle croissante, décroissante ou constante lorsque $a=0{,}6$ ?

Elle est décroissante, puisque toute base supérieure à

1

entraîne ce sens de variation.

Elle est décroissante, puisque la base est comprise entre

0

et

1

.

Elle est constante, puisque la base est positive et inférieure à

1

.

Elle est croissante, puisque toute puissance d’une base positive augmente avec l’exposant.

Explication

Comme $0<0{,}6<1$ , la fonction exponentielle de base $0{,}6$ est décroissante. Une base positive ne suffit pas à rendre la fonction croissante : il faut que la base soit supérieure à $1$ .

Answer

Elle est décroissante, puisque la base est comprise entre $$0$$ et $$1$$.

Question 4

4. Pour simplifier le quotient $\frac{a^x}{a^y}$ , quelle règle sur les exposants convient, pour $a>0$ ?

On soustrait les exposants :

\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}

.

On divise les exposants :

\frac{a^x}{a^y}=a^{x/y}

.

On additionne les exposants :

\frac{a^x}{a^y}=a^{x+y}

.

On multiplie les exposants :

\frac{a^x}{a^y}=a^{xy}

.

Explication

Lorsqu’on divise deux puissances de même base, on soustrait l’exposant du dénominateur à celui du numérateur. L’addition des exposants s’applique au produit de puissances de même base, pas à leur quotient.

Answer

On soustrait les exposants : $$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$$.

Question 5

5. Pour simplifier le produit $a^x b^x$ , avec $a,b>0$ , quelle expression équivalente peut-on utiliser ?

a^{x+b}

(ab)^x

a^{bx}

(a+b)^x

Explication

Lorsque les deux facteurs ont le même exposant, leur produit s’écrit comme la puissance du produit des bases : $a^x b^x=(ab)^x$ . L’expression $(a+b)^x$ additionne les bases et ne correspond pas à cette règle.

Answer

$$(ab)^x$$

Question 6

6. La fonction $f(x)=k a^x$ a-t-elle le même sens de variation que $a^x$ lorsque $k<0$ ?

Non, la multiplication par un facteur négatif inverse le sens de variation.

Oui, car multiplier par une constante conserve le sens de variation.

Oui, si

a>1

, car une base supérieure à

1

annule l’effet du facteur.

Non, car un facteur négatif rend la fonction nécessairement constante.

Explication

Pour $k<0$ , la multiplication des valeurs de $a^x$ par $k$ inverse le sens de variation de la fonction. Une base supérieure à $1$ rend $a^x$ croissante, mais le facteur négatif transforme alors cette variation en décroissance.

Answer

Non, la multiplication par un facteur négatif inverse le sens de variation.

Question 7

7. Quel est le sens de variation de $f(x)=-2\left(\frac{3}{7}\right)^x$ ?

Elle est décroissante, car la base comprise entre

0

et

1

donne une fonction décroissante et le facteur négatif conserve ce sens.

Elle est constante, car le facteur

-2

supprime les variations liées à l’exponentielle.

Elle est croissante, car la base supérieure à

1

donne une fonction croissante, puis le facteur négatif inverse ce sens.

Elle est croissante, car la base comprise entre

0

et

1

donne une fonction décroissante, puis le facteur négatif inverse ce sens.

Explication

La base $\frac{3}{7}$ est comprise entre $0$ et $1$ , donc la fonction exponentielle correspondante est décroissante ; le facteur $-2$ inverse cette variation et rend $f$ croissante. Un facteur négatif ne conserve donc pas le sens de variation de l’exponentielle.

Answer

Elle est croissante, car la base comprise entre $$0$$ et $$1$$ donne une fonction décroissante, puis le facteur négatif inverse ce sens.

Question 8

8. Un taux d’évolution décimal $t$ est associé à quel coefficient multiplicateur $CM$ , et inversement ?

CM=t-1

et

t=CM+1

CM=1+t

et

t=CM-1

CM=t

et

t=\frac{1}{CM}

CM=1-t

et

t=1-CM

Explication

Le coefficient multiplicateur s’obtient en ajoutant 1 au taux décimal, et le taux se retrouve en retranchant 1 au coefficient. La relation $CM=1-t$ correspondrait à une autre convention et ne traduit pas la règle générale.

Answer

$$CM=1+t$$ et $$t=CM-1$$

Question 9

9. Une valeur subit un coefficient multiplicateur global $CM$ au cours de $n$ évolutions successives. Quelle expression donne le taux d’évolution moyen par étape ?

\frac{CM}{n}-1

CM^{1/n}-1

\frac{CM-1}{n}

CM^n-1

Explication

Le coefficient moyen par étape est la racine n-ième du coefficient global, donc le taux moyen est $CM^{1/n}-1$ . Diviser le taux global par $n$ ne tient pas compte de la composition multiplicative des évolutions.

Answer

$$CM^{1/n}-1$$

Question 10

10. Après quatre hausses successives de 10 %, quelle hausse globale obtient-on, et pourquoi ?

40 %, car chaque hausse ajoute 10 points au taux global

46,41 %, car le coefficient global est

1{,}1^4=1{,}4641

14,64 %, car le coefficient global est

1{,}1^4=1{,}4641

44 %, car les quatre hausses se combinent par addition puis correction

Explication

Les coefficients des quatre hausses se multiplient, ce qui donne $1{,}1^4=1{,}4641$ , soit une augmentation de 46,41 %. Le résultat de 40 % additionne les taux sans tenir compte de la base qui augmente à chaque étape.

Answer

46,41 %, car le coefficient global est $$1{,}1^4=1{,}4641$$

QCM : Fonction exponentielle et taux moyens (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on la fonction exponentielle de base $a$ , lorsque $a>0$ , et quel lien entretient-elle avec une suite géométrique aux entiers naturels ?

2. Pour une base $a>0$ , quelle égalité exprime la valeur de l’exposant négatif $-1$ ?

3. La fonction $x\mapsto a^x$ est-elle croissante, décroissante ou constante lorsque $a=0{,}6$ ?

4. Pour simplifier le quotient $\frac{a^x}{a^y}$ , quelle règle sur les exposants convient, pour $a>0$ ?

5. Pour simplifier le produit $a^x b^x$ , avec $a,b>0$ , quelle expression équivalente peut-on utiliser ?

6. La fonction $f(x)=k a^x$ a-t-elle le même sens de variation que $a^x$ lorsque $k<0$ ?

7. Quel est le sens de variation de $f(x)=-2\left(\frac{3}{7}\right)^x$ ?

8. Un taux d’évolution décimal $t$ est associé à quel coefficient multiplicateur $CM$ , et inversement ?

9. Une valeur subit un coefficient multiplicateur global $CM$ au cours de $n$ évolutions successives. Quelle expression donne le taux d’évolution moyen par étape ?

10. Après quatre hausses successives de 10 %, quelle hausse globale obtient-on, et pourquoi ?

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QCM : Fonction exponentielle et taux moyens (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Comment définit-on la fonction exponentielle de base aaa, lorsque a>0a>0a>0, et quel lien entretient-elle avec une suite géométrique aux entiers naturels ?

2. Pour une base a>0a>0a>0, quelle égalité exprime la valeur de l’exposant négatif −1-1−1 ?

3. La fonction x↦axx\mapsto a^xx↦ax est-elle croissante, décroissante ou constante lorsque a=0,6a=0{,}6a=0,6 ?

4. Pour simplifier le quotient axay\frac{a^x}{a^y}ayax​, quelle règle sur les exposants convient, pour a>0a>0a>0 ?

5. Pour simplifier le produit axbxa^x b^xaxbx, avec a,b>0a,b>0a,b>0, quelle expression équivalente peut-on utiliser ?

6. La fonction f(x)=kaxf(x)=k a^xf(x)=kax a-t-elle le même sens de variation que axa^xax lorsque k<0k<0k<0 ?

7. Quel est le sens de variation de f(x)=−2(37)xf(x)=-2\left(\frac{3}{7}\right)^xf(x)=−2(73​)x ?

8. Un taux d’évolution décimal ttt est associé à quel coefficient multiplicateur CMCMCM, et inversement ?

9. Une valeur subit un coefficient multiplicateur global CMCMCM au cours de nnn évolutions successives. Quelle expression donne le taux d’évolution moyen par étape ?

10. Après quatre hausses successives de 10 %, quelle hausse globale obtient-on, et pourquoi ?

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1. Comment définit-on la fonction exponentielle de base $a$ , lorsque $a>0$ , et quel lien entretient-elle avec une suite géométrique aux entiers naturels ?

2. Pour une base $a>0$ , quelle égalité exprime la valeur de l’exposant négatif $-1$ ?

3. La fonction $x\mapsto a^x$ est-elle croissante, décroissante ou constante lorsque $a=0{,}6$ ?

4. Pour simplifier le quotient $\frac{a^x}{a^y}$ , quelle règle sur les exposants convient, pour $a>0$ ?

5. Pour simplifier le produit $a^x b^x$ , avec $a,b>0$ , quelle expression équivalente peut-on utiliser ?

6. La fonction $f(x)=k a^x$ a-t-elle le même sens de variation que $a^x$ lorsque $k<0$ ?

7. Quel est le sens de variation de $f(x)=-2\left(\frac{3}{7}\right)^x$ ?

8. Un taux d’évolution décimal $t$ est associé à quel coefficient multiplicateur $CM$ , et inversement ?

9. Une valeur subit un coefficient multiplicateur global $CM$ au cours de $n$ évolutions successives. Quelle expression donne le taux d’évolution moyen par étape ?