Fonction logarithme népérien

📋 Plan du Cours

1. Définition et fonctions réciproques
2. Croissance et résolution d’inégalités
3. Propriétés algébriques du logarithme
4. Équations avec inconnue en exposant

📖 1. Définition et fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction logarithme népérien : Associe à tout réel t > 0 l’unique réel x tel que $e^x=t$.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel t > 0, $e^{\ln(t)}=t$ et, pour tout réel x, $\ln(e^x)=x$.

📌 Pour b > 0 et a réel, $e^a=b$ si et seulement si $a=\ln(b)$.

Compléments

• Les valeurs remarquables sont $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle : x → e^x ; logarithme : t → ln(t), en sens inverse

📖 2. Croissance et résolution d’inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance de ln : Strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

★ À maîtriser

📌 Pour a > 0 et b > 0, $\ln(a)=\ln(b)$ si et seulement si $a=b$, et $\ln(a)>\ln(b)$ si et seulement si $a>b$.

📌 Pour résoudre une inéquation par application de ln, les deux membres doivent être strictement positifs et le sens de l’inégalité est conservé.

Compléments

• Si 0 < a < 1, alors $\ln(a)<0$.

💡 Astuce mémo

ln croissante → le sens des inégalités est conservé

📖 3. Propriétés algébriques du logarithme