Fiche de révision : Fonction logarithme népérien

📋 Plan du Cours

1. Définition et fonctions réciproques
2. Croissance et résolution d’inégalités
3. Propriétés algébriques du logarithme
4. Équations avec inconnue en exposant

📖 1. Définition et fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction logarithme népérien : Associe à tout réel t > 0 l’unique réel x tel que $e^x=t$.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel t > 0, $e^{\ln(t)}=t$ et, pour tout réel x, $\ln(e^x)=x$.

📌 Pour b > 0 et a réel, $e^a=b$ si et seulement si $a=\ln(b)$.

Compléments

• Les valeurs remarquables sont $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$.

💡 Astuce mémo

Exponentielle : x → e^x ; logarithme : t → ln(t), en sens inverse

📖 2. Croissance et résolution d’inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance de ln : Strictement croissante sur ]0 ; +∞[.

★ À maîtriser

📌 Pour a > 0 et b > 0, $\ln(a)=\ln(b)$ si et seulement si $a=b$, et $\ln(a)>\ln(b)$ si et seulement si $a>b$.

📌 Pour résoudre une inéquation par application de ln, les deux membres doivent être strictement positifs et le sens de l’inégalité est conservé.

Compléments

• Si 0 < a < 1, alors $\ln(a)<0$.

💡 Astuce mémo

ln croissante → le sens des inégalités est conservé

📖 3. Propriétés algébriques du logarithme

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a et b strictement positifs, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.

📐 Formule — Pour a strictement positif et k entier, $\ln(a^k)=k\ln(a)$.

📐 Formule — Pour a et b strictement positifs, $\ln\left(\frac{1}{a}\right)=-\ln(a)$ et $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$.

Compléments

📐 Formule — Pour a strictement positif, $\ln(\sqrt a)=\frac{1}{2}\ln(a)$.

💡 Astuce mémo

Produit = Somme, Quotient = Différence, Puissance = Multiplication

📖 4. Équations avec inconnue en exposant

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation où l’inconnue est en exposant, on applique le logarithme népérien aux deux membres, puis on utilise $\ln(a^x)=x\ln(a)$ pour isoler l’inconnue.

📌 Pour une inéquation exponentielle, on peut appliquer ln lorsque les deux membres sont strictement positifs, car ln est croissante sur ]0 ; +∞[.

Compléments

• Lorsque 0 < a < 1, $\ln(a)$ est négatif, ce qui doit être pris en compte lorsqu’on isole l’inconnue dans une inéquation.

• Le cours propose de résoudre l’équation $3{,}7^x=10^{11}$ et l’inéquation $\left(\frac14\right)^x<10^{-12}$ en utilisant les propriétés du logarithme népérien.

💡 Astuce mémo

Poser le logarithme → utiliser ln(a^x) → isoler x

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés fondamentales de ln