Fiche de révision : Dénombrement et suites récurrentes

📋 Plan du Cours

1. Dénombrement dans une urne
2. Ensembles et compréhension des matières
3. Suite arithmético-géométrique

📖 1. Dénombrement dans une urne

★ À maîtriser

📐 Formule — Un tirage simultané de 3 boules parmi 8 se dénombre par $\binom{8}{3}=56$, car l’ordre des boules n’est pas pris en compte.

📐 Formule — Lors d’un tirage simultané de 3 boules, obtenir exactement deux boules blanches se dénombre par $\binom{3}{2}\binom{5}{1}=15$.

📌 Un tirage successif sans remise de 3 boules parmi 8 prend en compte l’ordre et se dénombre par $8\times7\times6=336$.

Compléments

📐 Formule — Lors d’un tirage simultané de 3 boules, obtenir exactement deux boules noires se dénombre par $\binom{5}{2}\binom{3}{1}=30$.

💡 Astuce mémo

Simultané = ordre ignoré ; successif = ordre compté

📖 2. Ensembles et compréhension des matières

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans la classe de 30 élèves, 10 comprennent uniquement les mathématiques, car $20-10=10$.

📐 Formule — Dans la classe, 5 élèves comprennent uniquement les sciences physiques, car $15-10=5$.

Compléments

📐 Formule — Dans la classe, 5 élèves ne comprennent ni les mathématiques ni les sciences physiques, car $30-(10+5+10)=5$.

📖 3. Suite arithmético-géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite dont chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante appelée raison.

📝 Points essentiels

📐 Formule — En posant $V_n=U_n-4$, on obtient $V_{n+1}=\frac12V_n$, donc $(V_n)_{n\geq0}$ est une suite géométrique de raison $\frac12$ et de premier terme $V_0=-4$.

• La suite $(U_n)_{n\geq0}$ est définie par $U_0=0$ et $U_{n+1}=\frac12U_n+2$.

💡 Astuce mémo

Décalage par 4 → suite géométrique de raison 1/2