QCM : Fonction logarithme népérien — 8 questions

Question 1

1. Pour quel type de réel la fonction logarithme népérien $\ln$ est-elle définie ?

Pour tout réel strictement positif

Pour tout réel strictement négatif

Pour tout réel appartenant à l’ensemble des réels

Pour tout réel supérieur ou égal à zéro

Explication

La fonction $\ln$ associe à chaque réel strictement positif un réel défini par une relation avec l’exponentielle. La confusion fréquente consiste à lui attribuer le même domaine que la fonction exponentielle, qui est définie sur tous les réels.

Answer

Pour tout réel strictement positif

Question 2

2. Quelle est la définition du logarithme népérien d’un réel t > 0 ?

C’est la fonction qui donne le nombre de fois que l’on doit multiplier 2 pour obtenir t.

C’est la fonction qui associe à tout réel t > 0 l’unique réel x tel que

e^x = t

.

C’est la fonction qui associe à tout réel t > 0 le logarithme en base 10 de t.

C’est la fonction qui calcule la puissance à laquelle il faut élever 10 pour obtenir t.

Explication

Le logarithme népérien, noté $\text{ln}$ , associe à tout réel t > 0 l’unique réel x tel que $e^x = t$ . Les autres options décrivent d’autres notions ou sont incorrectes pour cette définition.

Answer

C’est la fonction qui associe à tout réel t > 0 l’unique réel x tel que $$e^x = t$$.

Question 3

3. Quelle équivalence permet de résoudre l’équation $e^a=b$ lorsque $b>0$ ?

a=e^b

b=\ln(a)

a=\frac{1}{\ln(b)}

a=\ln(b)

Explication

Pour $b>0$ , l’équation $e^a=b$ est équivalente à $a=\ln(b)$ , car le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle. L’expression $e^b$ ne fournit pas la valeur de l’exposant recherché.

Answer

$$a=\ln(b)$$

Question 4

4. Quelle est la relation entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien ?

Les deux fonctions sont identiques.

La fonction exponentielle est l'inverse de la fonction logarithme népérien.

La fonction logarithme népérien est l'inverse de la fonction exponentielle.

Les deux fonctions sont indépendantes l'une de l'autre.

Explication

La fonction logarithme népérien est l'inverse de la fonction exponentielle, ce qui signifie que $\text{ln}(e^x) = x$ et $e^{\text{ln}(t)} = t$ pour tout réel $x$ et tout $t > 0$ . La relation inverse permet de résoudre des équations impliquant ces fonctions.

Answer

La fonction logarithme népérien est l'inverse de la fonction exponentielle.

Question 5

5. Quel est le comportement de la fonction $\ln$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$ ?

Elle est strictement décroissante

Elle est strictement croissante

Elle change de sens de variation selon la valeur considérée

Elle est constante sur cet intervalle

Explication

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur l’ensemble des réels strictement positifs. Une fonction décroissante pourrait inverser le sens d’une inégalité, mais ce n’est pas le cas du logarithme népérien.

Answer

Elle est strictement croissante

Question 6

6. Quel est le rôle principal de la propriété $\text{ln}(ab)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b)$ dans le calcul des logarithmes ?

Rendre possible le calcul du logarithme d’un produit en le séparant en deux termes indépendants.

Simplifier le calcul de logarithmes de produits en les transformant en somme.

Permettre de calculer le logarithme d’un produit en utilisant uniquement la division.

Faciliter la résolution d’équations en transformant les produits en puissances.

Explication

La propriété $\text{ln}(ab)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b)$ permet de transformer le logarithme d’un produit en une somme, ce qui simplifie grandement le calcul. La distracteur qui mentionne la division est incorrect car cette propriété ne concerne pas la division, mais le produit.

Answer

Simplifier le calcul de logarithmes de produits en les transformant en somme.

Question 7

7. Pour résoudre une inéquation en appliquant $\ln$ aux deux membres, quelle condition et quelle règle faut-il respecter ?

Un seul membre doit être positif et le sens est conservé

Les deux membres peuvent être négatifs et le sens est inversé

Les deux membres doivent être positifs et le sens est conservé

Les deux membres doivent être non nuls et le sens est inversé

Explication

L’application de $\ln$ exige que chacun des deux membres soit strictement positif, puis la croissance de $\ln$ conserve le sens de l’inégalité. Le sens serait inversé avec une fonction décroissante, ce qui ne correspond pas au logarithme népérien.

Answer

Les deux membres doivent être positifs et le sens est conservé

Question 8

8. Quand la propriété $\text{ln}(a^k)=k\text{ln}(a)$ a-t-elle été formulée pour la première fois dans l'histoire des mathématiques ?

Au début du XXe siècle, avec l'avènement de la théorie moderne des logarithmes.

Au XVIIIe siècle, lors de l'ouvrage de Leonhard Euler sur les fonctions.

Au XIXe siècle, avec la formalisation de l'analyse mathématique par Cauchy.

Au XVIIe siècle, lors du développement du calcul infinitésimal par Leibniz et Newton.

Explication

La propriété $\text{ln}(a^k)=k\text{ln}(a)$ a été formulée au XVIIe siècle, lors du développement du calcul infinitésimal par Leibniz et Newton, qui ont introduit les bases du calcul différentiel et intégral.

Answer

Au XVIIe siècle, lors du développement du calcul infinitésimal par Leibniz et Newton.

QCM : Fonction logarithme népérien — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour quel type de réel la fonction logarithme népérien $\ln$ est-elle définie ?

2. Quelle est la définition du logarithme népérien d’un réel t > 0 ?

3. Quelle équivalence permet de résoudre l’équation $e^a=b$ lorsque $b>0$ ?

4. Quelle est la relation entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien ?

5. Quel est le comportement de la fonction $\ln$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$ ?

6. Quel est le rôle principal de la propriété $\text{ln}(ab)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b)$ dans le calcul des logarithmes ?

7. Pour résoudre une inéquation en appliquant $\ln$ aux deux membres, quelle condition et quelle règle faut-il respecter ?

8. Quand la propriété $\text{ln}(a^k)=k\text{ln}(a)$ a-t-elle été formulée pour la première fois dans l'histoire des mathématiques ?

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QCM : Fonction logarithme népérien — 8 questions

Questions et réponses du QCM

1. Pour quel type de réel la fonction logarithme népérien ln⁡\lnln est-elle définie ?

2. Quelle est la définition du logarithme népérien d’un réel t > 0 ?

3. Quelle équivalence permet de résoudre l’équation ea=be^a=bea=b lorsque b>0b>0b>0 ?

4. Quelle est la relation entre la fonction exponentielle et la fonction logarithme népérien ?

5. Quel est le comportement de la fonction ln⁡\lnln sur l’intervalle ]0;+∞[]0;+\infty[]0;+∞[ ?

6. Quel est le rôle principal de la propriété ln(ab)=ln(a)+ln(b)\text{ln}(ab)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b)ln(ab)=ln(a)+ln(b) dans le calcul des logarithmes ?

7. Pour résoudre une inéquation en appliquant ln⁡\lnln aux deux membres, quelle condition et quelle règle faut-il respecter ?

8. Quand la propriété ln(ak)=kln(a)\text{ln}(a^k)=k\text{ln}(a)ln(ak)=kln(a) a-t-elle été formulée pour la première fois dans l'histoire des mathématiques ?

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3. Quelle équivalence permet de résoudre l’équation $e^a=b$ lorsque $b>0$ ?

5. Quel est le comportement de la fonction $\ln$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$ ?

6. Quel est le rôle principal de la propriété $\text{ln}(ab)=\text{ln}(a)+\text{ln}(b)$ dans le calcul des logarithmes ?

7. Pour résoudre une inéquation en appliquant $\ln$ aux deux membres, quelle condition et quelle règle faut-il respecter ?

8. Quand la propriété $\text{ln}(a^k)=k\text{ln}(a)$ a-t-elle été formulée pour la première fois dans l'histoire des mathématiques ?