Fiche de révision : Fonctions affines

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation graphique
2. Coefficient directeur et variations
3. Signe d’une fonction affine
4. Taux d’accroissement
5. Applications et modélisation

📖 1. Définition et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction définie par $f(x)=ax+b$, où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.

★ À maîtriser

📌 Si a=0, la fonction affine est constante et sa représentation est une droite horizontale, tandis que si b=0, elle est linéaire et sa représentation passe par l’origine.

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite qui contient toujours le point R(0;b).

Compléments

• Pour une location de voiture coûtant 25 € par jour et 0,25 € par kilomètre, le prix dépend du coût fixe de la journée et du coût variable lié à la distance parcourue.

💡 Astuce mémo

a=0 : constante ; b=0 : linéaire

📖 2. Coefficient directeur et variations

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$, si a>0 la fonction est croissante, si a<0 elle est décroissante et si a=0 elle est constante.

Compléments

• La fonction $f(x)=x+2$ est croissante, tandis que la fonction $g(x)=-2x+3$ est décroissante.

💡 Astuce mémo

Signe de a → sens de variation

📖 3. Signe d’une fonction affine

★ À maîtriser

• Pour déterminer le signe d’une fonction affine, on cherche d’abord la valeur de x qui annule la fonction, puis on construit le tableau de signes en tenant compte du signe du coefficient directeur.

📌 Pour une fonction affine de coefficient directeur positif, la fonction est négative avant sa racine et positive après celle-ci, tandis que l’ordre des signes est inversé lorsque le coefficient directeur est négatif.

Compléments

• Les fonctions dont les signes sont étudiés dans le cours sont $f(x)=-7x+2{,}1$, $g(x)=0{,}25x+5$ et $h(x)=-1{,}5x+45$ sur leurs intervalles respectifs.

💡 Astuce mémo

Zéro d’abord, signes ensuite

📖 4. Taux d’accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Quotient $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ entre deux nombres distincts x1 et x2.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$, le taux d’accroissement entre deux valeurs distinctes est constant et égal au coefficient directeur a.

📐 Formule — Pour tous nombres réels u et v, la variation de la fonction affine vérifie $f(u)-f(v)=a(u-v)$.

Compléments

• Si une fonction affine vérifie f(0)=3 et f(4)=8, son coefficient directeur vaut $\frac{8-3}{4-0}=\frac{5}{4}$ et son expression est $f(x)=\frac{5}{4}x+3$.

💡 Astuce mémo

TA = variation verticale / variation horizontale

📖 5. Applications et modélisation

★ À maîtriser

• Pour la pression exercée sur un plongeur, la pression vaut 1 bar à la surface et 4 bars à 30 mètres de profondeur.

• La conversion entre degrés Celsius et degrés Fahrenheit est modélisée par une fonction affine f telle que f(0)=32 et f(10)=50.

Compléments

📐 Formule — Pour la conversion Celsius-Fahrenheit, la relation obtenue est $f(t)=1{,}8t+32$.

• Pour la fonction $f(x)=-3x+1$, une augmentation de x de 4 entraîne une variation de f égale à $-3\times4=-12$, donc une diminution de 12.

📊 Tableaux de synthèse

Cas particuliers d’une fonction affine