Fiche de révision : Géométrie plane et trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Fondements de la géométrie euclidienne
2. Repérage cartésien du plan
3. Repères orthonormés et cercle trigonométrique
4. Arcs angles et trigonométrie
5. Coordonnées polaires
6. Produit scalaire et déterminant
7. Droites du plan
8. Équation du cercle

📖 1. Fondements de la géométrie euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Géométrie plane : Branche de la géométrie euclidienne, aussi appelée géométrie élémentaire.

★ À maîtriser

• Les cinq axiomes de la géométrie euclidienne affirment qu’il existe une droite par deux points, que tout segment peut être prolongé en une droite, qu’un cercle peut être construit à partir d’un segment, que tous les angles droits sont égaux et qu’une unique parallèle passe par un point extérieur à une droite donnée.

Compléments

• La géométrie euclidienne est systématisée par Euclide vers 300 av. J.-C. dans le traité Les Éléments.

💡 Astuce mémo

Deux points, segment, cercle, angles droits, parallèle unique

📖 2. Repérage cartésien du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère cartésien : Constitué d’une origine O et de deux vecteurs de base non colinéaires, notés $\vec i$ et $\vec j$.
• Colinéarité : Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec u=k\vec v$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si $\vec u=x\vec i+y\vec j$, alors sa norme vérifie $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

📐 Formule — Pour deux points $A(x_A,y_A)$ et $B(x_B,y_B)$, la distance est $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$.

💡 Astuce mémo

Un point origine et deux flèches de base forment une grille

📖 3. Repères orthonormés et cercle trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé : Lorsque ses vecteurs de base sont orthogonaux et ont chacun une norme égale à 1.
• Cercle trigonométrique : Cercle orienté de centre O et de rayon 1.

💡 Astuce mémo

Cartésien signifie base non colinéaire ; orthonormé ajoute orthogonalité et norme 1

📖 4. Arcs angles et trigonométrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Arc orienté : Décrit par un point mobile qui se déplace sur un cercle d’un point d’origine A vers un point d’extrémité B.

• Cosinus et sinus : Sur le cercle trigonométrique, le point associé au réel $x$ a pour abscisse $\cos x$ et pour ordonnée $\sin x$.

★ À maîtriser

• La longueur du cercle trigonométrique est $2\pi$ radians.

📌 La mesure d’un angle orienté est définie à $2\pi$ près et s’écrit $\alpha+2k\pi$ avec $k\in\mathbb Z$.

📐 Formule — Pour tout réel $x$, on a $\cos^2x+\sin^2x=1$.

Compléments

📌 Pour tout réel $x$, les inégalités $-1\leq\cos x\leq1$ et $-1\leq\sin x\leq1$ sont vérifiées.

💡 Astuce mémo

Un tour complet du cercle entraîne une mesure modulo $2\pi$

📖 5. Coordonnées polaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : Un rayon $r\geq0$ et un angle $\theta\in[0{,}2\pi]$ tels que $\overrightarrow{OM}=r\vec u$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les coordonnées cartésiennes et polaires sont liées par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$.

📐 Formule — Les coordonnées polaires vérifient $x^2+y^2=r^2$, donc $r=\sqrt{x^2+y^2}$.

💡 Astuce mémo

Le point est repéré par une distance radiale et une direction angulaire

📖 6. Produit scalaire et déterminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le réel $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)$.
• Déterminant : Le déterminant de deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est $\det(\vec u,\vec v)=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin(\vec u,\vec v)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans un repère orthonormé, si $\vec u=(x,y)$ et $\vec v=(x',y')$, alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$.

📌 Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

📐 Formule — Si $\vec u=(x,y)$ et $\vec v=(x',y')$, alors $\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'$.

Compléments

📌 Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, et le déterminant représente l’aire orientée du parallélogramme qu’ils délimitent.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire : orthogonalité ; déterminant : colinéarité et aire

📖 7. Droites du plan

★ À maîtriser

• Une droite passant par $A(x_A,y_A)$ et de vecteur directeur $\vec u=(\alpha,\beta)$ admet la représentation paramétrique $x=x_A+t\alpha$ et $y=y_A+t\beta$, avec $t\in\mathbb R$.

📐 Formule — Une droite passant par $A(x_A,y_A)$ et de vecteur directeur $\vec u=(\alpha,\beta)$ a pour équation cartésienne $\beta x-\alpha y-\beta x_A+\alpha y_A=0$.

📐 Formule — Une droite passant par $A(x_A,y_A)$ et orthogonale au vecteur normal $\vec n=(a,b)$ a pour équation $ax+by-ax_A-by_A=0$.

Compléments

📌 Un point M appartient à une droite de vecteur directeur $\vec u$ si et seulement si $\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0$.

💡 Astuce mémo

Point-directeur, paramétrique, cartésienne, puis point-normal

📖 8. Équation du cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle : Ensemble des points $M(x,y)$ tels que $\Omega M=R$.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’équation cartésienne du cercle de centre $\Omega(a,b)$ et de rayon $R$ est $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$.

Compléments

📐 Formule — Le cercle trigonométrique, de centre O et de rayon 1, a pour équation $x^2+y^2=1$.

💡 Astuce mémo

Le centre est au milieu d’un cercle de rayon constant

📊 Tableaux de synthèse

Vecteurs et critères géométriques