Fiche de révision : Fonctions affines

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées et vocabulaire fonctionnel
2. Images et antécédents
3. Reconnaître une fonction affine
4. Tracer une droite affine
5. Coefficient directeur et taux
6. Retrouver une expression affine
7. Variations et choix de méthode

📖 1. Coordonnées et vocabulaire fonctionnel

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : La valeur associée à x par une fonction f

★ À maîtriser

• Dans un point A(x;y), x est l’abscisse lue sur l’axe horizontal et y est l’ordonnée lue sur l’axe vertical, dans l’ordre (x;y).

• 🔄 Pour calculer une image, on suit ces étapes:

  1. Recopier la formule
  2. Remplacer chaque x par le nombre donné
  3. Effectuer les multiplications avant les additions
  4. Conclure par une phrase

Compléments

• Pour f(x)=2x+3, l’image de −1 est f(−1)=2×(−1)+3=1.

💡 Astuce mémo

Abscisse horizontale, puis ordonnée verticale

📖 2. Images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Antécédent : Une valeur de départ x telle que f(x)=k

★ À maîtriser

• 🔄 Pour chercher un antécédent, on suit ces étapes:
  1. Écrire f(x)=k
  2. Remplacer f(x) par sa formule
  3. Isoler x
  4. Vérifier avec l’image du nombre trouvé

📌 Calculer l’image de 7 revient à calculer f(7), tandis que chercher un antécédent de 7 revient à résoudre f(x)=7.

• Sur la représentation graphique d’une fonction, un point (x;y) vérifie y=f(x), son abscisse donne une valeur de départ et son ordonnée donne l’image correspondante.

Compléments

📌 Un antécédent peut ne pas exister et, sur une droite horizontale, une même image peut correspondre à plusieurs abscisses.

💡 Astuce mémo

Image : calculer f(a) ; antécédent : résoudre f(x)=k

📖 3. Reconnaître une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Définie sur R par une formule de la forme f(x)=mx+p, où m et p sont deux nombres fixés, et dont la représentation graphique est une droite non verticale
• Coefficient directeur : Dans f(x)=mx+p, m est le coefficient directeur, c’est-à-dire le nombre qui multiplie x, tandis que p est l’ordonnée à l’origine.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction affine f(x)=mx+p, f(0)=p et la droite passe donc par le point (0;p).

📌 Si p=0, la fonction affine est linéaire et sa droite passe par l’origine, tandis que si m=0, la fonction est constante et sa droite est horizontale.

💡 Astuce mémo

p=0 : droite par l’origine ; m=0 : droite horizontale

📖 4. Tracer une droite affine

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour tracer une droite affine, on suit ces étapes:
  1. Choisir deux abscisses différentes
  2. Calculer les deux images
  3. Placer les deux points
  4. Tracer et prolonger la droite

📌 Deux points distincts déterminent une droite, donc deux points de coordonnées (x;f(x)) suffisent pour représenter une fonction affine.

💡 Astuce mémo

Choisir deux abscisses, calculer deux images, placer, relier

📖 5. Coefficient directeur et taux

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) d’abscisses différentes, le coefficient directeur vérifie $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

📐 Formule - Le taux d’accroissement entre x_A et x_B est $\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$ et il est égal au coefficient directeur m pour une fonction affine.

Compléments

• Dans f(x)=mx+p, lorsque x varie de x_B−x_A, l’image varie de m(x_B−x_A), car le terme constant p disparaît dans la différence.

💡 Astuce mémo

Variation de x → variation de f proportionnelle à m

📖 6. Retrouver une expression affine

★ À maîtriser

• 🔄 À partir d’un graphique, on suit ces étapes:

  1. Lire p sur l’axe vertical
  2. Choisir deux points lisibles
  3. Calculer m
  4. Écrire f(x)=mx+p
  5. Vérifier avec un point

• 🔄 À partir de deux points, on suit ces étapes:

  1. Calculer m
  2. Utiliser un point pour trouver p
  3. Écrire f(x)=mx+p
  4. Vérifier avec le second point

Compléments

• La droite passant par A(1;3) et B(3;7) a pour coefficient directeur m=2 et pour expression f(x)=2x+1.

💡 Astuce mémo

Graphique : lire p puis calculer m ; deux points : calculer m puis p

📖 7. Variations et choix de méthode

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Quand x augmente, une fonction croissante donne des images qui augmentent.

★ À maîtriser

• 🔄 Pour justifier les variations, on suit ces étapes:
  1. Repérer m
  2. Déterminer son signe
  3. Conclure sur les variations

Compléments

📌 Pour f(x)=−2x+6, les images f(0)=6 et f(1)=4 sont positives, mais la fonction est décroissante puisque son coefficient directeur est négatif.

💡 Astuce mémo

m>0 croissante, m<0 décroissante, m=0 constante

📊 Tableaux de synthèse

Signe de m et variations

Demandes et premières étapes