Fiche de révision : Fonctions affines

📋 Plan du Cours

1. Définition et paramètres d’une fonction affine
2. Représentation graphique et coefficient directeur
3. Calcul de l’expression affine
4. Sens de variation selon la pente
5. Équations et intersections de droites

📖 1. Définition et paramètres d’une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction définie par une expression de la forme $f(x)=mx+p$, où m et p sont des réels fixés.
• Coefficient directeur : Dans $f(x)=mx+p$, m représente la pente de la droite.
• Ordonnée à l’origine : Dans $f(x)=mx+p$, p est l’ordonnée à l’origine et $f(0)=p$.

📝 Points essentiels

📌 Si p=0, la fonction affine est linéaire et s’écrit $f(x)=mx$, tandis que si m=0, elle est constante et s’écrit $f(x)=p$.

📖 2. Représentation graphique et coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Pente : Le rapport du déplacement vertical au déplacement horizontal.

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite.

📐 Formule - Le coefficient directeur vérifie $m=\frac{v}{h}$, où v est le déplacement vertical et h le déplacement horizontal.

Compléments

📐 Formule - Pour deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) de la droite représentative, le coefficient directeur est $m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$.

📖 3. Calcul de l’expression affine

★ À maîtriser

• Pour déterminer l’expression d’une fonction affine à partir de sa droite, on lit p à l’intersection avec l’axe vertical, on calcule m avec le rapport vertical/horizontal, puis on écrit $f(x)=mx+p$.

• Pour déterminer m et p à partir de deux valeurs de la fonction, on calcule d’abord $m=\frac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}$, puis on remplace une valeur connue dans $f(x)=mx+p$ pour trouver p.

Compléments

• Si f(2)=1 et f(5)=7, alors $m=\frac{7-1}{5-2}=2$, puis $1=2\times2+p$ donne p=-3 et donc $f(x)=2x-3$.

📖 4. Sens de variation selon la pente

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction affine $f(x)=mx+p$ définie sur ℝ, si m>0 la fonction est croissante, si m<0 elle est décroissante et si m=0 elle est constante.

Compléments

• La fonction $f(x)=-3x+5$ est décroissante, car son coefficient directeur vaut -3, donc est négatif.

💡 Astuce mémo

Le signe de m détermine le sens de variation.

📖 5. Équations et intersections de droites

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation de la forme f(x)=a, on remplace f(x) par son expression affine, puis on isole x en effectuant les mêmes opérations dans les deux membres.

• Pour trouver l’intersection des droites représentatives de f et g, on résout f(x)=g(x), puis on calcule l’ordonnée en évaluant l’une des deux fonctions à l’abscisse obtenue.

Compléments

📌 Résoudre f(x)=a revient à déterminer l’antécédent de a par f : a est l’image et x est l’antécédent.

• Pour f(x)=-2x+5 et g(x)=3x-2, l’égalité f(x)=g(x) donne x=1,4 et les deux fonctions valent 2,2 à cette abscisse.