Fiche de révision : Thalès et factorisation

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Thalès
2. Réciproque du théorème de Thalès
3. Factorisation d’expressions

📖 1. Théorème de Thalès

★ À maîtriser

📌 Si deux droites sécantes en A portent respectivement les points B, M et C, N, distincts de A, et si (BC) est parallèle à (MN), alors $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

Compléments

• Pour calculer OE avec OA = 2 cm, OF = 1,5 cm, OB = 3 cm et (AB) parallèle à (EF), le théorème de Thalès donne $\frac{OA}{OF}=\frac{OB}{OE}$, donc $OE=\frac{3\times1{,}5}{2}=2{,}25\text{ cm}$.

📖 2. Réciproque du théorème de Thalès

★ À maîtriser

📌 Si A, B, M sont alignés dans le même ordre que A, C, N et si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors (BC) et (MN) sont parallèles.

Compléments

• Dans un triangle où AB = 3 cm, AC = 9 cm, AE = 5 cm et AF = 15 cm, on a $\frac{AB}{AE}=\frac{3}{5}=0{,}6$ et $\frac{AC}{AF}=\frac{9}{15}=0{,}6$ ; comme A, B, E et A, C, F sont alignés dans le même ordre, la réciproque de Thalès permet de conclure que (BC) et (EF) sont parallèles.

📖 3. Factorisation d’expressions

🔑 Notions clés & Définitions

• Factoriser : Transformer une somme ou une différence en produit.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous nombres a, b et k, $ka+kb=k(a+b)$ et $ka-kb=k(a-b)$.

📐 Formule - Les identités remarquables utiles à la factorisation sont $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$, $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$ et $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Compléments

• L’expression $3a-27$ se factorise en $3(a-9)$ en mettant 3 en facteur commun.

• L’expression $9b^2-4$ se factorise en $(3b-2)(3b+2)$ à l’aide de l’identité remarquable de la différence de deux carrés.