Fiche de révision : Fonctions affines et applications économiques

📋 Plan du Cours

1. Définition et représentation affine
2. Variations et résolution affine
3. Modélisation des coûts
4. Demande et capital économique

📖 1. Définition et représentation affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : fonction définie par $f(x)=\alpha x+\beta$, où α et β sont des réels

★ À maîtriser

📌 Dans une fonction affine $f(x)=\alpha x+\beta$, α est le coefficient directeur et β est l’ordonnée à l’origine.

📐 Formule — La droite passant par deux points distincts $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ a pour coefficient directeur $\alpha=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ et pour ordonnée à l’origine $\beta=y_1-\alpha x_1=y_2-\alpha x_2$.

Compléments

• La courbe représentative d’une fonction affine est la droite d’équation $y=\alpha x+\beta$.

💡 Astuce mémo

α incline la droite, β la déplace à l’ordonnée à l’origine

📖 2. Variations et résolution affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réciproque : Lorsque α est non nul, la fonction réciproque de $f(x)=\alpha x+\beta$ est définie par $f^{-1}(x)=\frac{x-\beta}{\alpha}$

★ À maîtriser

📌 Si α est positif, la fonction affine est strictement croissante ; si α est négatif, elle est strictement décroissante ; si α est nul, elle est constante et vaut β.

📐 Formule — Si α est non nul, la fonction affine s’annule en $x_0=-\frac{\beta}{\alpha}$.

📌 Si α est positif, $f(x)<0$ pour $x< -\frac{\beta}{\alpha}$ et $f(x)>0$ pour $x> -\frac{\beta}{\alpha}$ ; si α est négatif, ces signes sont inversés.

Compléments

• Pour déterminer une fonction affine à partir de deux points, on calcule d’abord α avec les différences des ordonnées et des abscisses, puis β avec une équation de point, et enfin on écrit $f(x)=\alpha x+\beta$.

💡 Astuce mémo

α > 0 fait croître, α < 0 fait décroître

📖 3. Modélisation des coûts

🔑 Notions clés & Définitions

• Coût total : fonction de coût total qui s’écrit $C(x)=\alpha x+\beta$, où x est la quantité produite, β représente les coûts fixes et α représente le coût variable unitaire

★ À maîtriser

📌 Le coût fixe β est égal au coût total lorsque la production est nulle, car $C(0)=\beta$.

📐 Formule — Pour une variation de production Δx, la variation du coût affine est $\Delta y=\alpha\cdot\Delta x$.

Compléments

• Pour le coût $C(x)=55{,}73x+18{,}21\times10^7$ dollars, une production supplémentaire de 5 tonnes augmente le coût de $5\times55{,}73=278{,}65$ dollars.

💡 Astuce mémo

Production → coût variable αx, tandis que β reste fixe

📖 4. Demande et capital économique

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de demande : exprime la quantité consommée en fonction du prix p
• Capital carbone : modélisé par $C(V)=-2V+3000$, où V désigne le volume produit et C(V) le capital disponible

★ À maîtriser

• À partir de q(1)=150 et q(1,2)=120, la fonction de demande est $q(p)=-150p+300$.

📐 Formule — La demande inverse associée à $Q=-150P+300$ est $P(Q)=\frac{300-Q}{150}=-\frac{1}{150}Q+2$.

Compléments

📌 Avec la demande $q(p)=-150p+300$, une consommation d’au plus 90 kg vérifie $q(p)\leq90$, donc le prix doit être au moins égal à 1,4 unité monétaire.

💡 Astuce mémo

Prix → demande → demande inverse

📊 Tableaux de synthèse

Paramètres et applications des fonctions affines