Fiche de révision : Fonctions affines et signes

📋 Plan du Cours

1. Définition des fonctions affines
2. Représentation graphique et paramètres
3. Calculs sur les fonctions affines
4. Détermination et intersection de droites
5. Fonctions affines par morceaux
6. Signes et domaines de définition

📖 1. Définition des fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction définie sur R par f(x)=ax+b, où a et b sont deux nombres réels.

★ À maîtriser

📌 Si b=0, la fonction affine x↦ax est linéaire, tandis que si a=0, elle est constante et s’écrit x↦b.

Compléments

• Pour f(x)=\frac{2}{5}x-3, calculer une image consiste à remplacer x par la valeur donnée, tandis que calculer un antécédent consiste à résoudre une équation de la forme f(x)=y.

💡 Astuce mémo

Affine : ax+b ; linéaire : b=0 ; constante : a=0.

📖 2. Représentation graphique et paramètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Dans la représentation graphique de x↦ax+b, le réel a.
• Ordonnée à l’origine : Dans la représentation graphique de x↦ax+b, le réel b.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite non verticale, et toute droite non verticale représente une fonction affine.

📐 Formule — Pour une fonction affine f(x)=ax+b et deux réels distincts x_1 et x_2, le coefficient directeur vérifie $a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$, ce qui correspond au déplacement vertical divisé par le déplacement horizontal.

💡 Astuce mémo

Visualiser la droite : b la place sur l’axe vertical, a indique son inclinaison.

📖 3. Calculs sur les fonctions affines

★ À maîtriser

• Pour tracer une fonction affine, on utilise son ordonnée à l’origine puis son coefficient directeur pour obtenir un second point.

📌 Pour résoudre f(x)=g(x) ou f(x)=h(x), l’abscisse de l’intersection des droites est la solution commune de l’équation, puis son ordonnée se calcule par une image.

Compléments

• Les fonctions f(x)=2x+3, g(x)=-2x et h(x)=5 sont toutes définies sur R.

💡 Astuce mémo

Image → antécédent → représentation graphique.

📖 4. Détermination et intersection de droites

★ À maîtriser

• Pour déterminer une fonction affine passant par deux points, on calcule d’abord son coefficient directeur, puis on détermine b avec l’une des deux coordonnées.

• Le point d’intersection de deux représentations graphiques se détermine en résolvant f(x)=g(x), puis en calculant l’image de l’abscisse obtenue.

Compléments

• La fonction affine vérifiant f(3)=-1 et f(8)=9 a pour coefficient directeur $a=\frac{9-(-1)}{8-3}=2$.

💡 Astuce mémo

Égalité des images → même abscisse → point d’intersection.

📖 5. Fonctions affines par morceaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine par morceaux : Fonction utilisant plusieurs expressions affines, chacune étant valable sur un intervalle donné du domaine.

📝 Points essentiels

📌 Pour une fonction définie par morceaux, chaque valeur de x doit être associée à l’expression correspondant à l’intervalle qui contient x.

💡 Astuce mémo

Choisir l’intervalle → appliquer la formule correspondante → tracer le morceau.

📖 6. Signes et domaines de définition

★ À maîtriser

📌 Le domaine de définition d’une fonction quotient exclut toute valeur qui annule son dénominateur.

📌 Le domaine de définition d’une fonction racine carrée √u(x) comprend uniquement les valeurs de x pour lesquelles u(x)≥0.

• Pour établir le signe d’un produit ou d’un quotient de fonctions affines, on repère les zéros des facteurs et les valeurs interdites, puis on complète le tableau de signes avant de lire les intervalles solutions.

Compléments

• Les solutions de (6x−1)(−2x+4)<0 sont ]−∞;1/6[∪]2;+∞[.

• Les solutions de (3x+7)/(−5x+4)≥0 sont [−7/3;4/5[ : −7/3 est inclus car le numérateur s’annule, tandis que 4/5 est exclu car le dénominateur s’annule.

💡 Astuce mémo

Dénominateur nul interdit ; radicande nul autorisé.

📊 Tableaux de synthèse

Paramètres d’une fonction affine