Fiche de révision : Fonctions affines

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme générale
2. Fonctions affines particulières
3. Représentation graphique
4. Équation d’une droite
5. Coefficient directeur et ordonnée
6. Effet des paramètres
7. Propriété des accroissements

📖 1. Définition et forme générale

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction qui s’écrit sous la forme $f(x)=ax+b$, où a et b sont des nombres quelconques.

★ À maîtriser

📌 Une expression contenant x², comme $f(x)=x^2$, ne définit pas une fonction affine.

Compléments

• L’expression $f(x)=2x-1$ définit une fonction affine dont le coefficient a vaut 2 et le nombre b vaut -1.

📖 2. Fonctions affines particulières

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Fonction affine particulière de la forme $g(x)=ax$, obtenue lorsque b=0.
• Fonction constante : Fonction affine particulière de la forme $h(x)=b$, obtenue lorsque a=0, et elle prend toujours la même valeur.

📝 Points essentiels

• L’expression $g(x)=3x$ définit une fonction linéaire et l’expression $h(x)=4$ définit une fonction constante.

💡 Astuce mémo

Linéaire : passe par l’origine ; constante : reste horizontale.

📖 3. Représentation graphique

📝 Points essentiels

• La représentation graphique de toute fonction affine est une droite.

• La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite qui passe par l’origine du repère.

• La représentation graphique d’une fonction constante est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Affine : droite quelconque ; linéaire : origine ; constante : horizontale.

📖 4. Équation d’une droite

★ À maîtriser

• Pour une fonction affine $f(x)=ax+b$ représentée par une droite d, un point M de coordonnées (x,y) appartient à d si et seulement si ses coordonnées vérifient $y=ax+b$.

Compléments

• Pour la fonction $f(x)=x-1$, l’antécédent 3 a pour image 2, donc le point de coordonnées (3,2) appartient à sa droite représentative.

📐 Formule — Pour $f(x)=x-1$, l’équation de la droite représentative est $y=x-1$.

💡 Astuce mémo

Point sur la droite → ses coordonnées vérifient y = ax + b.

📖 5. Coefficient directeur et ordonnée

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient directeur : Dans $f(x)=ax+b$, a est le coefficient directeur de la droite et il indique sa pente ou sa direction.
• Ordonnée à l’origine : Dans $f(x)=ax+b$, b est l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire la valeur où la droite coupe l’axe des ordonnées.

★ À maîtriser

• Pour déterminer graphiquement une fonction affine, on lit d’abord b à l’intersection avec l’axe des ordonnées, puis on détermine a grâce à la variation verticale correspondant à une unité de variation horizontale.

Compléments

• Une droite qui monte de 2 unités lorsque l’abscisse augmente de 1 unité a un coefficient directeur égal à 2.

💡 Astuce mémo

b règle la hauteur ; a règle la pente.

📖 6. Effet des paramètres

📝 Points essentiels

• Lorsque l’ordonnée à l’origine b varie tandis que le coefficient directeur a reste constant, les droites obtenues sont parallèles.

• Lorsque le coefficient directeur a varie tandis que l’ordonnée à l’origine b reste constante, la direction et la pente de la droite changent.

• Si a>0, la fonction est croissante, et si a<0, la fonction est décroissante.

💡 Astuce mémo

Modifier b translate la droite ; modifier a change sa direction.

📖 7. Propriété des accroissements

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux points A(x_A,y_A) et B(x_B,y_B) d’une même droite, le coefficient directeur vaut $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.

Compléments

• Pour calculer le coefficient directeur avec deux points d’une droite, on soustrait les ordonnées puis on divise le résultat par la différence des abscisses.

💡 Astuce mémo

Différence des ordonnées puis différence des abscisses : a = Δy/Δx.

📊 Tableaux de synthèse

Paramètres et représentation