Fiche de révision : Fonctions de référence et affine

📋 Plan du Cours

1. Fonctions et domaines de définition
2. Courbes représentatives
3. Variations et parité
4. Fonctions affines
5. Signes et tableaux
6. Fonctions usuelles
7. Valeur absolue et distance
8. Comparaisons et transformations

📖 1. Fonctions et domaines de définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : associe à tout réel x de son domaine de définition Df un unique réel appelé image de x et noté f(x).

★ À maîtriser

📌 Lorsque le domaine de définition n’est pas précisé, il est constitué des réels x pour lesquels l’expression f(x) existe.

Compléments

📌 La fonction g définie par $g(x)=\frac{x^2}{x-1}$ a pour domaine $D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}$, car le dénominateur doit être non nul.

📌 La fonction h définie par $h(x)=\sqrt{3-x}$ a pour domaine $D_h=]-\infty;3]$, car une racine carrée n’existe que lorsque son radicande est positif ou nul.

📖 2. Courbes représentatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : l’ensemble des points M(x;f(x)) tels que x appartient à Df.

★ À maîtriser

📌 Un point M(x;y) appartient à Cf si et seulement si x appartient à Df et y=f(x).

Compléments

• Pour f définie par $f(x)=\frac{-4}{x+2}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$, le point M(0;-2) appartient à Cf, tandis que N(1;3) n’y appartient pas.

💡 Astuce mémo

Point sur la courbe : y=f(x) ; point hors courbe : y≠f(x)

📖 3. Variations et parité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : si x1<x2 entraîne f(x1)<f(x2).
• Fonction décroissante : si x1<x2 entraîne f(x1)>f(x2).
• Fonction paire : son domaine est symétrique par rapport à 0 et si, pour tout x de ce domaine, f(-x)=f(x).
• Fonction impaire : son domaine est symétrique par rapport à 0 et si, pour tout x de ce domaine, f(-x)=-f(x).

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ; impaire : symétrie par rapport à l’origine

📖 4. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : une fonction de la forme $f(x)=ax+b$ dont la courbe représentative est une droite non parallèle à l’axe des ordonnées.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction affine, a>0 implique une fonction strictement croissante, a<0 implique une fonction strictement décroissante et a=0 implique une fonction constante.

📐 Formule — Le coefficient directeur d’une droite affine vérifie $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ pour deux points distincts A et B.

Compléments

• La droite passant par A(-2;3) et B(4;0) a pour coefficient directeur $a=-2$ et son équation est $f(x)=-2x+3$.

💡 Astuce mémo

Une droite affine passe par l’ordonnée à l’origine et monte ou descend selon son coefficient directeur

📖 5. Signes et tableaux

★ À maîtriser

📌 Pour $ax+b$ avec a non nul, l’unique zéro est $x=-\frac{b}{a}$ et le signe de l’expression est opposé à celui de a avant ce zéro, nul au zéro, puis égal au signe de a après ce zéro.

• 🔄 Pour établir le signe d’un produit:
  1. étudier le signe de chaque facteur
  2. ordonner leurs zéros
  3. appliquer la règle des signes

Compléments

📌 Pour $ax$, le zéro est x=0 et l’expression est du signe opposé à a sur ]-∞;0[, nulle en 0, puis du signe de a sur ]0;+∞[.

💡 Astuce mémo

Zéro, placement des racines, signes des facteurs, signe du produit

📖 6. Fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carrée : définie sur ℝ par $f(x)=x^2$; elle est paire, décroît sur ]-∞;0] et croît sur [0;+∞[.
• Fonction cube : définie sur ℝ par $f(x)=x^3$; elle est impaire et strictement croissante sur ℝ.
• Fonction racine carrée : définie sur [0;+∞[ par $f(x)=\sqrt{x}$; elle est strictement croissante et toujours positive ou nulle.
• Fonction inverse : définie sur ℝ* par $f(x)=\frac{1}{x}$; elle est impaire et strictement décroissante sur ]-∞;0[ et ]0;+∞[.

💡 Astuce mémo

Carrée et valeur absolue remontent de 0 ; cube traverse l’origine ; inverse se sépare en deux branches

📖 7. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : vérifie $|x|=x$ si x≥0 et $|x|=-x$ si x≤0.

★ À maîtriser

• La fonction valeur absolue est paire, décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[; elle vérifie |x|≥0 et |x|=0 si et seulement si x=0.

• L’équation |x|=a possède les solutions -a et a si a>0, la solution 0 si a=0, et aucune solution si a<0.

• Si a>0, |x|<a équivaut à -a<x<a et |x|≥a équivaut à x≤-a ou x≥a.

Compléments

📐 Formule — La distance entre deux réels x et y vérifie $d(x;y)=|y-x|=|x-y|$.

💡 Astuce mémo

Signe de x → choix de x ou −x → valeur absolue et distance positive

📖 8. Comparaisons et transformations

★ À maîtriser

📌 Sur [0;+∞[, les fonctions √x, x et x² vérifient √x>x>x² lorsque 0<x<1, tandis qu’elles vérifient x²>x>√x lorsque x>1; elles sont égales pour x=0 et x=1.

📐 Formule — Pour tout réel x, on a $\sqrt{x^2}=|x|$, c’est-à-dire $\sqrt{x^2}=x$ si x≥0 et $\sqrt{x^2}=-x$ si x<0.

Compléments

📌 La courbe de g(x)=f(x)+k s’obtient par translation verticale de celle de f de k unités, et le sens de variation est conservé.

📌 La courbe de g(x)=kf(x) s’obtient en multipliant chaque ordonnée de la courbe de f par k; si k est négatif, la courbe est en plus réfléchie par rapport à l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Comparer √x, x et x² selon 0, 1, puis déplacer ou étirer la courbe

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés des fonctions usuelles