Fiche de révision : Fonctions de référence

📋 Plan du Cours

1. Fonctions affines
2. Fonction carré
3. Fonction inverse
4. Fonctions cube et racine
5. Fonction valeur absolue
6. Méthodes d’application

📖 1. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax+b$, où a et b sont deux nombres réels.
• Coefficient directeur : Le nombre réel a dans $f(x)=ax+b$.
• Ordonnée à l’origine : Le nombre b, qui est l’ordonnée du point de la droite d’abscisse 0.

★ À maîtriser

• La représentation graphique d’une fonction affine est la droite d’équation $y=ax+b$.

📌 Si a>0, la fonction affine est croissante sur ℝ ; si a<0, elle est décroissante sur ℝ.

📌 Pour a non nul, le signe de ax+b s’annule en $x=-\frac ba$ et dépend du signe de a : il est négatif puis positif si a>0, et positif puis négatif si a<0.

Compléments

📐 Formule — Pour deux réels distincts x₁ et x₂, le coefficient directeur vérifie $a=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$.

💡 Astuce mémo

Coefficient directeur a : variation de la droite ; ordonnée à l’origine b : hauteur à x=0

📖 2. Fonction carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carré : Définie sur ℝ par $f(x)=x^2$.

📝 Points essentiels

📌 La fonction carré est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.

• La courbe de la fonction carré est une parabole de sommet O, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

📌 La fonction carré est paire, car $f(-x)=f(x)$, et elle admet un minimum égal à 0 atteint pour x=0.

💡 Astuce mémo

Une parabole en U, symétrique autour de l’axe des ordonnées

📖 3. Fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : Définie sur ]-∞;0[∪]0;+∞[ par $f(x)=\frac1x$.

★ À maîtriser

📌 La fonction inverse est décroissante sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[.

• La courbe de la fonction inverse est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine.

Compléments

📌 La fonction inverse est impaire, car $f(-x)=-f(x)$.

💡 Astuce mémo

Deux branches de l’hyperbole, séparées par x=0

📖 4. Fonctions cube et racine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction cube : Définie sur ℝ par $f(x)=x^3$.
• Fonction racine carrée : Définie sur [0;+∞[ par $f(x)=\sqrt{x}$.

★ À maîtriser

📌 La fonction cube est croissante sur ℝ.

📌 La fonction racine carrée est croissante sur [0;+∞[ et sa courbe est une demi-parabole d’origine O.

Compléments

• La courbe de la fonction cube admet l’origine O comme centre de symétrie et la fonction cube est impaire.

💡 Astuce mémo

Le cube accepte tous les réels ; la racine carrée seulement les réels positifs ou nuls

📖 5. Fonction valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction valeur absolue : Définie sur ℝ par $f(x)=|x|$.

★ À maîtriser

📌 Pour x≤0, on a $|x|=-x$ et la fonction valeur absolue est décroissante sur ]-∞;0].

📌 Pour x≥0, on a $|x|=x$ et la fonction valeur absolue est croissante sur [0;+∞[.

• La courbe de la fonction valeur absolue est formée de deux demi-droites d’origine O, symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Compléments

📌 La fonction valeur absolue est paire, car $|-x|=|x|$, et elle admet un minimum égal à 0 atteint pour x=0.

💡 Astuce mémo

Deux demi-droites forment un V symétrique autour de l’axe des ordonnées

📖 6. Méthodes d’application

★ À maîtriser

• Pour étudier ou résoudre une expression avec une fonction de référence, on identifie d’abord son domaine, puis son sens de variation ou son signe, avant de comparer, encadrer ou résoudre l’équation ou l’inéquation demandée.

📌 Pour résoudre une équation ou une inéquation avec la fonction inverse, il faut respecter la condition x≠0.

📌 Les équations et inéquations avec une valeur absolue se traitent à partir de la définition par morceaux $|x|=-x$ si x≤0 et $|x|=x$ si x≥0.

Compléments

• Pour déterminer une fonction affine passant par deux points, on utilise leurs coordonnées pour calculer le coefficient directeur puis l’ordonnée à l’origine.

• Les exercices d’application demandent notamment de résoudre $x^2=16$, $x^2\leq16$, $\frac1x=2$, $\frac1x\geq2$, $|x|=5$ et $|x+3|<5$.

💡 Astuce mémo

Variation → comparaison → encadrement → équation ou inéquation

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés des fonctions de référence