QCM : Fonctions de référence — 22 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle expression définit une fonction affine sur R\mathbb{R} ?

f(x)=axf(x)=ax, avec a∈Ra\in\mathbb{R}
f(x)=x2+bf(x)=x^2+b, avec b∈Rb\in\mathbb{R}
f(x)=ax+bf(x)=\frac{a}{x}+b, avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}
f(x)=ax+bf(x)=ax+b, avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}

$$f(x)=ax+b$$, avec $$a,b\in\mathbb{R}$$

Explication

Une fonction affine s’écrit f(x)=ax+bf(x)=ax+b avec deux réels aa et bb. L’expression f(x)=axf(x)=ax décrit le cas particulier d’une fonction linéaire, tandis que les autres expressions relèvent d’autres familles de fonctions.

2. Quelle est la représentation graphique d’une fonction affine ?

Une parabole de sommet situé à l’origine
Une courbe définie par y=x2y=x^2
Une droite d’équation y=ax+by=ax+b
Une hyperbole symétrique par rapport à l’origine

Une droite d’équation $$y=ax+b$$

Explication

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite dont l’équation est y=ax+by=ax+b. Une parabole correspond à la fonction carré, tandis qu’une hyperbole correspond à la fonction inverse.

3. Dans l’expression f(x)=−3x+5f(x)=-3x+5, quel nombre est le coefficient directeur ?

−5-5
33
−3-3
55

$$-3$$

Explication

Dans la forme f(x)=ax+bf(x)=ax+b, le coefficient directeur est le nombre placé devant xx, ici a=−3a=-3. Le nombre 55 est l’ordonnée à l’origine, et non le coefficient directeur.

4. Pour la fonction f(x)=−2x+6f(x)=-2x+6, comment évolue le signe de f(x)f(x) ?

Il est négatif avant 33, nul en 33, puis positif après 33.
Il est positif avant −3-3, nul en −3-3, puis négatif après −3-3.
Il est négatif avant −3-3, nul en −3-3, puis positif après −3-3.
Il est positif avant 33, nul en 33, puis négatif après 33.

Il est positif avant $$3$$, nul en $$3$$, puis négatif après $$3$$.

Explication

La racine est x=−ba=−6−2=3x=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{-2}=3. Comme a<0a<0, le signe est positif avant cette valeur puis négatif après, contrairement au cas où le coefficient directeur est positif.

5. Quelle formule définit la fonction carré sur son domaine ?

f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}
f(x)=xf(x)=\sqrt{x} pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}
f(x)=2xf(x)=2x pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}
f(x)=x2f(x)=x^2 pour tout x∈Rx\in\mathbb{R}

$$f(x)=x^2$$ pour tout $$x\in\mathbb{R}$$

Explication

La fonction carré est définie par f(x)=x2f(x)=x^2 pour tout réel xx. La racine carrée n’est pas définie sur les réels négatifs, tandis que les deux autres expressions définissent d’autres fonctions.

6. Sur quels intervalles la fonction carré est-elle respectivement décroissante puis croissante ?

Sur ]−∞;0[]-\infty;0[ puis sur ]0;+∞[]0;+\infty[
Sur R\mathbb{R} puis sur aucun intervalle
Sur [0;+∞[[0;+\infty[ puis sur ]−∞;0]]-\infty;0]
Sur ]−∞;0]]-\infty;0] puis sur [0;+∞[[0;+\infty[

Sur $$]-\infty;0]$$ puis sur $$[0;+\infty[$$

Explication

La fonction carré diminue lorsque xx se rapproche de 00 par les valeurs négatives, puis augmente pour les valeurs positives. Elle est donc décroissante sur ]−∞;0]]-\infty;0] et croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[.

7. Quelle propriété caractérise la courbe de la fonction carré ?

C’est une parabole de sommet OO, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
C’est une parabole de sommet OO, symétrique par rapport à l’origine.
C’est une droite passant par OO, symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
C’est une hyperbole de centre OO, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

C’est une parabole de sommet $$O$$, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Explication

La courbe de f(x)=x2f(x)=x^2 est une parabole dont le sommet est l’origine et dont l’axe de symétrie est l’axe des ordonnées. La symétrie par rapport à l’origine caractérise plutôt la courbe de la fonction inverse.

8. Quelle affirmation décrit correctement la fonction carré ?

Elle est paire et atteint son maximum 00 en x=0x=0.
Elle est impaire et atteint son minimum 11 en x=0x=0.
Elle est impaire et atteint son maximum 00 en x=0x=0.
Elle est paire et atteint son minimum 00 en x=0x=0.

Elle est paire et atteint son minimum $$0$$ en $$x=0$$.

Explication

La fonction carré est paire car f(−x)=f(x)f(-x)=f(x), et ses valeurs sont positives ou nulles, avec un minimum égal à 00 atteint en x=0x=0. Elle n’est donc ni impaire ni maximisée en ce point.

9. Quel est le domaine de définition de la fonction inverse ?

R\mathbb{R}
]−∞;0[∪]0;+∞[]-\infty;0[\cup]0;+\infty[
]−∞;0]]-\infty;0]
[0;+∞[[0;+\infty[

$$]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$$

Explication

La fonction inverse est donnée par f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}, expression qui n’a pas de sens pour x=0x=0. Elle est donc définie sur les réels non nuls, soit ]−∞;0[∪]0;+∞[]-\infty;0[\cup]0;+\infty[.

10. Comment la fonction inverse varie-t-elle sur chacun de ses intervalles de définition ?

Elle est croissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[ et sur ]0;+∞[]0;+\infty[.
Elle est croissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[ et décroissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[.
Elle est décroissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[ et croissante sur ]0;+∞[]0;+\infty[.
Elle est décroissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[ et sur ]0;+∞[]0;+\infty[.

Elle est décroissante sur $$]-\infty;0[$$ et sur $$]0;+\infty[$$.

Explication

Sur chacun des deux intervalles séparés par zéro, augmenter xx fait diminuer 1x\frac{1}{x}. La fonction inverse est donc décroissante sur les deux intervalles, même si elle n’est pas définie en zéro.

11. Quelle caractéristique géométrique décrit la courbe de la fonction inverse ?

C’est une parabole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
C’est une hyperbole symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
C’est une droite symétrique par rapport à l’axe des abscisses.
C’est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine.

C’est une hyperbole symétrique par rapport à l’origine.

Explication

La courbe de f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} est une hyperbole possédant une symétrie centrale par rapport à l’origine. La symétrie par rapport à l’axe des ordonnées est celle de la fonction carré.

12. Quelle expression définit la fonction cube sur l’ensemble des nombres réels ?

f(x)=x3f(x)=x^3
f(x)=xf(x)=\sqrt{x}
f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}
f(x)=x2f(x)=x^2

$$f(x)=x^3$$

Explication

La fonction cube associe à tout réel xx le nombre x3x^3, et son domaine est R\mathbb{R}. L’expression x\sqrt{x} définit la fonction racine carrée, dont le domaine est limité aux réels positifs ou nuls.

13. Quelle propriété de variation caractérise la fonction cube sur R\mathbb{R} ?

Elle est croissante sur R\mathbb{R}.
Elle croît sur ]−∞;0]]-\infty;0] puis décroît sur [0;+∞[[0;+\infty[.
Elle est décroissante sur R\mathbb{R}.
Elle décroît sur ]−∞;0]]-\infty;0] puis croît sur [0;+∞[[0;+\infty[.

Elle est croissante sur $$\mathbb{R}$$.

Explication

La fonction cube est croissante sur l’ensemble des réels. La variation en deux sens autour de zéro correspond à la fonction carré, et non à la fonction cube.

14. Quel ensemble constitue le domaine de définition de la fonction racine carrée f(x)=xf(x)=\sqrt{x} ?

R∖{0}\mathbb{R}\setminus\{0\}
R\mathbb{R}
[0;+∞[[0;+\infty[
]−∞;0]]-\infty;0]

$$[0;+\infty[$$

Explication

La racine carrée est définie lorsque le nombre sous le radical est positif ou nul, donc sur [0;+∞[[0;+\infty[. Elle n’est pas définie dans les réels pour les nombres strictement négatifs.

15. Quelle description correspond à la courbe de la fonction racine carrée ?

Elle est décroissante et forme une droite passant par l’origine O.
Elle est décroissante et forme une parabole entière centrée en O.
Elle est croissante et forme deux demi-droites symétriques.
Elle est croissante et forme une demi-parabole d’origine O.

Elle est croissante et forme une demi-parabole d’origine O.

Explication

Sur son domaine [0;+∞[[0;+\infty[, la fonction racine carrée est croissante et sa courbe est une demi-parabole d’origine O. Les deux demi-droites symétriques décrivent plutôt la courbe de la valeur absolue.

16. Quelle expression définit la fonction valeur absolue sur R\mathbb{R} ?

f(x)=∣x∣f(x)=|x|
f(x)=x3f(x)=x^3
f(x)=xf(x)=\sqrt{x}
f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}

$$f(x)=|x|$$

Explication

La fonction valeur absolue associe à tout réel xx le nombre ∣x∣|x| et son domaine est R\mathbb{R}. La fonction inverse, en revanche, n’est pas définie en zéro.

17. Pour un nombre réel x≤0x\leq0, quelle égalité et quelle variation sont correctes pour la valeur absolue ?

∣x∣=−x|x|=-x et la fonction est croissante sur ]−∞;0]]-\infty;0].
∣x∣=−x|x|=-x et la fonction est décroissante sur ]−∞;0]]-\infty;0].
∣x∣=x|x|=x et la fonction est décroissante sur ]−∞;0]]-\infty;0].
∣x∣=x|x|=x et la fonction est croissante sur [0;+∞[[0;+\infty[.

$$|x|=-x$$ et la fonction est décroissante sur $$]-\infty;0]$$.

Explication

Lorsque x≤0x\leq0, la valeur absolue vaut −x-x et la fonction décroît quand xx augmente vers zéro. L’égalité ∣x∣=x|x|=x concerne les nombres positifs ou nuls.

18. Quelle propriété décrit la courbe de la fonction valeur absolue ?

Elle est formée de deux branches asymptotiques, symétriques par rapport à l’origine O.
Elle est formée de deux demi-droites d’origine O, symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.
Elle est formée d’une demi-parabole d’origine O, située dans les abscisses positives.
Elle est formée d’une droite unique passant par O et de pente négative.

Elle est formée de deux demi-droites d’origine O, symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

Explication

La courbe de y=∣x∣y=|x| comporte deux demi-droites issues de O et symétriques par rapport à l’axe des ordonnées. Une demi-parabole correspond à la fonction racine carrée, tandis que les branches asymptotiques évoquent la fonction inverse.

19. Quelle valeur la fonction valeur absolue atteint-elle comme minimum, et pour quelle abscisse ?

Elle atteint le minimum −1-1 pour x=0x=0.
Elle atteint le minimum 00 pour x=1x=1.
Elle atteint le minimum 00 pour x=0x=0.
Elle atteint le minimum 11 pour x=0x=0.

Elle atteint le minimum $$0$$ pour $$x=0$$.

Explication

Comme ∣x∣≥0|x|\geq0 pour tout réel xx, la valeur minimale est zéro et elle est atteinte en x=0x=0. Une valeur absolue ne prend pas de valeur négative.

20. Dans quel ordre faut-il généralement procéder pour étudier ou résoudre une expression faisant intervenir une fonction de référence ?

Déterminer le domaine, étudier les variations ou le signe, puis comparer ou résoudre.
Étudier les variations, résoudre l’inéquation, puis vérifier si le domaine convient.
Comparer les nombres, étudier le signe, puis déterminer le domaine de l’expression.
Résoudre l’équation, déterminer le domaine, puis étudier les variations ou le signe.

Déterminer le domaine, étudier les variations ou le signe, puis comparer ou résoudre.

Explication

Le domaine doit être déterminé avant l’étude des variations ou du signe, car il fixe les valeurs admissibles. Commencer par résoudre ou comparer sans vérifier le domaine peut conduire à retenir des valeurs interdites.

21. Quelle précaution faut-il respecter pour résoudre une équation ou une inéquation faisant intervenir la fonction inverse ?

Remplacer la variable par sa valeur absolue avant tout calcul.
Imposer que la variable soit supérieure ou égale à zéro.
Imposer que la variable soit différente de zéro.
Imposer que la variable soit strictement inférieure à zéro.

Imposer que la variable soit différente de zéro.

Explication

La fonction inverse n’est pas définie en zéro, donc toute résolution doit respecter la condition x≠0x\neq0. La condition x≥0x\geq0 concerne notamment la fonction racine carrée, pas la fonction inverse.

22. Quelle méthode convient pour traiter une équation ou une inéquation contenant une valeur absolue ?

Remplacer la valeur absolue par x2x^2 pour toutes les valeurs de xx.
Élever chaque membre au carré sans distinguer les signes de xx.
Utiliser ∣x∣=−x|x|=-x si x≤0x\leq0 et ∣x∣=x|x|=x si x≥0x\geq0.
Utiliser ∣x∣=x|x|=x lorsque x≤0x\leq0 et ∣x∣=−x|x|=-x lorsque x≥0x\geq0.

Utiliser $$|x|=-x$$ si $$x\leq0$$ et $$|x|=x$$ si $$x\geq0$$.

Explication

La valeur absolue se traite par morceaux : elle vaut −x-x sur les réels négatifs ou nuls et xx sur les réels positifs ou nuls. Remplacer directement ∣x∣|x| par une autre expression sans examiner le signe peut modifier l’équation ou l’inéquation.

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Qu'est-ce qu'une fonction affine ?

Une fonction définie par f(x)=ax+bf(x)=ax+b avec a,b ∈ Ra,b \,\in\, \mathbb{R}.

Quelle est la forme de la représentation graphique d'une fonction affine ?

Une droite d'équation y=ax+by=ax+b.

Que représente le coefficient directeur d'une fonction affine ?

Le nombre réel aa dans f(x)=ax+bf(x)=ax+b.

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