Fiche de révision : Fonctions de transfert et schémas blocs

📋 Plan du Cours

1. Asservissement du téléphérique Vanoise Express
2. Notions de systèmes continus linéaires invariants
3. Fonction de transfert et transmittance
4. Forme canonique des transmittances
5. Modélisation par schéma bloc
6. Règles des schémas blocs
7. Précision des systèmes asservis
8. Écart statique en suivi de rampe
9. Rejet des perturbations en régulation
10. Rapidité et stabilité des systèmes
11. Validation graphique du téléphérique

📖 1. Asservissement du téléphérique Vanoise Express

★ À maîtriser

• Le Vanoise Express comporte deux lignes parallèles indépendantes, chacune portant une cabine ; une cabine ne sert donc pas de contrepoids à l’autre.

• Le cahier des charges impose un écart statique en vitesse nul en présence d’une perturbation échelon et un écart de traînage en vitesse nul en l’absence de perturbation.

• L’asservissement de vitesse des moteurs à courant continu doit satisfaire des exigences de précision, de stabilité et de rapidité.

Compléments

• Le Vanoise Express est un téléphérique sans pylônes, d’une seule portée entre les gares, réalisé par POMAGALSKI.

• Chaque cabine peut accueillir 200 personnes et possède une puissance installée de 1060 kW.

• Le débit maximal est de 1000 personnes par heure dans chaque sens et par cabine.

• Chaque ligne comprend principalement deux câbles porteurs et un câble tracteur.

• Le cahier des charges fixe un temps de réponse à 5 % de 3 s et un dépassement indiciaire nul.

📖 2. Notions de systèmes continus linéaires invariants

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Un système qui respecte les principes de proportionnalité et de superposition : si une entrée produit une sortie, la multiplication de l’entrée par un scalaire multiplie la sortie par ce même scalaire, et la somme de plusieurs entrées produit la somme des sorties correspondantes.
• Système invariant : Un système qui conserve son comportement lors d’un décalage temporel : si l’entrée e(t) produit la sortie s(t), alors l’entrée e(t+τ) produit la sortie s(t+τ) pour tout décalage τ.
• Système continu : Un système dont les grandeurs physiques caractéristiques varient continûment dans le temps et peuvent être définies à tout instant ; il est aussi appelé système analogique.

📝 Points essentiels

📌 Un système informatique n’est pas continu, car son traitement de l’information prend un temps non nul ; il traite des échantillons de signaux continus et constitue un système échantillonné.

• La linéarisation consiste à remplacer, dans une zone restreinte autour d’un point de fonctionnement choisi, une caractéristique entrée-sortie non linéaire par sa tangente en ce point.

📖 3. Fonction de transfert et transmittance

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert : Le rapport du polynôme en p associé à la sortie au polynôme en p associé à l’entrée, soit $H(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{\sum_{j=0}^{m}b_jp^j}{\sum_{i=0}^{n}a_ip^i}$ lorsque les conditions initiales sont nulles.

★ À maîtriser

• Un système linéaire continu invariant peut être décrit par une équation différentielle reliant son entrée e(t) et sa sortie s(t), avec des coefficients constants.

📐 Formule - La relation entrée-sortie dans le domaine de Laplace est $S(p)=H(p)E(p).$

Compléments

📌 La définition d’une fonction de transfert suppose des conditions initiales nulles ; si l’entrée ou la sortie possède une valeur initiale non nulle, on peut poser e₁=e−e₀ et s₁=s−s₀ pour effectuer le changement de variable.

📐 Formule - Avec des conditions initiales nulles, la transformée de Laplace de l’équation différentielle donne $\left(\sum_{i=0}^{n}a_i p^i\right)S(p)=\left(\sum_{j=0}^{m}b_j p^j\right)E(p).$

• Pour calculer la réponse temporelle, on détermine la fonction de transfert, on multiplie celle-ci par la transformée de Laplace de l’entrée, puis on applique la transformée inverse au produit obtenu.

• L’unité physique d’une fonction de transfert est l’unité de la sortie divisée par l’unité de l’entrée.

• L’unité physique de la transmittance est l’unité de la sortie divisée par celle de l’entrée.

• Pour un ressort dont l’allongement x(t) est l’entrée et la force F(t) la sortie, la transmittance $F(p)/X(p)$ s’exprime en N/mm.

📖 4. Forme canonique des transmittances

★ À maîtriser

📐 Formule - La transmittance peut s’écrire sous forme canonique $H(p)=K\frac{1+\frac{a_1}{a_0}p+\cdots+\frac{a_m}{a_0}p^m}{p^\alpha\left(1+\frac{b_1}{b_0}p+\cdots+\frac{b_n}{b_0}p^{n-\alpha}\right)}$, avec $K=\frac{a_0}{b_0}$.

• Dans la forme canonique, α désigne la classe, n l’ordre et K le gain statique.

Compléments

• Un système est intégrateur lorsqu’il possède un pôle en p = 0.

• Un système est dérivateur lorsqu’il possède un zéro en p = 0.

• Le comportement dynamique d’un système est défini par les pôles, racines du dénominateur, et les zéros, racines du numérateur, de sa transmittance.

📐 Formule - Pour le moteur sans couple de perturbation, la fonction de transfert entre la vitesse angulaire et la tension d’entrée est $H(p)=\frac{\Omega_m(p)}{U(p)}=\frac{k_T}{(R+Lp)(f+Jp)+k_Tk_E}$.

• La fonction de transfert du moteur sans couple de perturbation est de classe nulle, d’ordre 2 et de gain statique $\frac{k_T}{fR+k_Tk_E}$.

📖 5. Modélisation par schéma bloc

★ À maîtriser

• Un schéma bloc représente graphiquement la structure d’un système asservi au moyen de fonctions de transfert, de sommateurs et de points de prélèvement.

• Un bloc représente une fonction de transfert, possède une entrée et une sortie orientées de l’entrée vers la sortie, et vérifie $S(p)=H(p)E(p)$.

Compléments

• Un sommateur possède plusieurs entrées et une seule sortie ; les signes associés aux branches indiquent si les signaux s’ajoutent ou se soustraient.

• Un point de prélèvement transmet le même signal à une branche secondaire sans modifier le signal de la branche principale.

📌 Pour traduire une équation en bloc, la sortie du bloc doit être exprimée en fonction de son entrée ; à une équation correspond un bloc.

📖 6. Règles des schémas blocs

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de transfert en boucle ouverte : La fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO) est le rapport entre la sortie S'(p) et l’écart ε(p), soit $H_{BO}(p)=\frac{S'(p)}{\varepsilon(p)}=H(p)K(p)$.

★ À maîtriser

📌 La fonction de transfert de blocs en série est le produit de leurs fonctions de transfert : $H(p)=H_1(p)H_2(p)H_3(p)$.

• Dans un système asservi, H(p) désigne la transmittance de la chaîne directe et K(p) celle de la chaîne de retour.

📌 La FTBO caractérise le comportement non asservi et ne dépend pas de l’entrée considérée, tandis que la FTBF décrit le transfert observable du système asservi pour une entrée donnée.

📐 Formule - La fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) vérifie $H_{BF}(p)=\frac{S(p)}{E(p)}=\frac{H(p)}{1+H(p)K(p)}=\frac{H_{BO}(p)}{1+H_{BO}(p)}$.

Compléments

• Pour un sommateur situé en aval de blocs, la sortie est $S(p)=H_1(p)E_1(p)+H_2(p)E_2(p)$.

• Pour un sommateur situé en amont d’un bloc, la sortie est $S(p)=H(p)(E_1(p)+E_2(p))$.

• Lorsqu’un point de prélèvement est déplacé de l’aval vers l’amont d’un bloc H(p), le signal prélevé est multiplié par H(p) ; dans le sens inverse, il est multiplié par $1/H(p)$.

• Dans le schéma des moteurs du téléphérique, vis-à-vis de U(p), la chaîne directe est $2G_1(p)G_2(p)G_3(p)$ et la chaîne de retour est $G_4(p)$.

• La FTBO est le produit des fonctions de transfert des chaînes directe et de retour, c’est-à-dire de tous les blocs de la boucle.

• L’analyse harmonique de la FTBO, notamment par diagramme de Bode, permet d’estimer la précision, la rapidité et l’amortissement du système asservi.

📐 Formule - Pour les moteurs du téléphérique, la FTBO vaut $H_{BO}(p)=2G_1(p)G_2(p)G_3(p)G_4(p)$.

📖 7. Précision des systèmes asservis

🔑 Notions clés & Définitions

• Écart statique : L’écart statique est la limite de l’écart lorsque le temps tend vers l’infini, soit $\varepsilon_s=\lim_{t\to+\infty}\varepsilon(t)=\lim_{p\to0}p\varepsilon(p)$.
• Classe du système : La classe α du système est l’exposant de p au dénominateur de la FTBO écrite sous la forme $H_{BO}(p)=\frac{K_{BO}(1+a_1p+a_2p^2+\cdots)}{p^\alpha(1+b_1p+b_2p^2+\cdots)}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une consigne E(p), l’écart vaut $\varepsilon(p)=\frac{E(p)}{1+H_{BO}(p)}$ et son écart statique se calcule par $\varepsilon_s=\lim_{p\to0}\frac{pE(p)}{1+H_{BO}(p)}$.

📌 Lorsque n−1>α, l’écart statique tend vers l’infini ; lorsque n−1=α, il tend vers $a/(1+K_{BO})$ si n=1 et vers $a/K_{BO}$ si n>1 ; lorsque n−1<α, il tend vers zéro.

Compléments

• Pour une sollicitation d’ordre n, l’écart statique est $\varepsilon_n=\lim_{p\to0}\frac{a}{p^{n-1}\left(1+K_{BO}/p^\alpha\right)}$.

• Pour un échelon d’amplitude a, $E(p)=a/p$ et la sollicitation est d’ordre 1 ; pour une rampe de pente a, $E(p)=a/p^2$ et la sollicitation est d’ordre 2.

💡 Astuce mémo

La classe α de la FTBO détermine l’écart statique selon l’ordre n de la sollicitation.

📖 8. Écart statique en suivi de rampe

📝 Points essentiels

• Pour une entrée rampe de transformée $E(p)=\frac{a}{p^2}$, l’écart statique vaut +∞ si la classe α de la FTBO est 0, $\frac{a}{K_{BO}}$ si α = 1 et 0 si α > 1.

• Pour une entrée rampe, l’écart statique est infini en classe 0, égal à $\frac{a}{K_{BO}}$ en classe 1 et nul en classe 2.

💡 Astuce mémo

La classe 0 diverge, la classe 1 laisse une erreur finie, la classe supérieure à 1 annule l’erreur.

📖 9. Rejet des perturbations en régulation

★ À maîtriser

📐 Formule - En régulation, l’écart dû à une perturbation C(p) vérifie $\varepsilon(p)=-\frac{H_2(p)}{1+H_1(p)H_2(p)}C(p)$.

📌 Si une perturbation est située en aval d’une intégration, l’écart statique qu’elle engendre est nul.

Compléments

• Pour une perturbation en échelon, l’écart statique est nul lorsque la classe α₁ de H₁ est au moins 1; en classe 0, il vaut $-\frac{aK_2}{1+K_1K_2}$ si α₂ = 0 et $-\frac{a}{K_1}$ si α₂ > 1.

• Pour une perturbation en rampe, le tableau donne un écart statique nul en classe 2 et en classe supérieure à 2; en classe 1, il est nul si la classe α₂ est supérieure à 1 et vaut $-\frac{a}{K_1}$ dans le cas présenté.

📖 10. Rapidité et stabilité des systèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Stabilité : Système dont la réponse libre tend vers 0 lorsque le temps tend vers l’infini; pour un système linéaire continu invariant, cela équivaut au fait qu’une entrée finie implique une sortie finie.
• Temps de réponse à 5 % : Temps nécessaire au système pour se stabiliser dans une bande de ±5 % autour de sa réponse asymptotique après un changement de consigne.

★ À maîtriser

📌 Un système converge si tous les pôles de sa fonction de transfert ont une partie réelle strictement négative.

Compléments

• Un pôle nul unique peut empêcher la convergence de la réponse sans la faire diverger; un pôle nul ne satisfait toutefois pas la condition de stabilité stricte.

• La stabilité peut être appréciée graphiquement à partir de l’amplitude des oscillations de la réponse, notamment du premier dépassement.

📖 11. Validation graphique du téléphérique

★ À maîtriser

📐 Formule - Avec un correcteur proportionnel $C(p)=C_0$, une consigne en échelon d’amplitude V₀ donne $\varepsilon_s=\frac{V_0}{1+C_0A'FG}$ lorsque la FTBO vaut $H_{BO}(p)=\frac{C_0A'FG}{1+Tp}$.

• Avec un correcteur proportionnel, l’écart statique ne peut être annulé qu’en faisant tendre C₀ vers l’infini, ce qui n’est pas physiquement acceptable.

Compléments

• Pour V₀ = 12 m/s, l’application numérique donne un écart statique de 4,3 m/s.

• Sur la réponse graphique à un échelon de 12 m/s, la valeur asymptotique est 7,7 m/s, soit un écart statique de 4,3 m/s; le critère de précision n’est donc pas validé.

• La lecture graphique donne un temps de réponse à 5 % de 2,4 s, et le critère de rapidité est validé.

• Le système est stable, mais son dépassement ne respecte pas le critère imposé par le cahier des charges.

📊 Tableaux de synthèse

Écart statique pour une rampe