QCM : Fonctions du second degré (17 questions)

Explication

Une fonction polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$, ce qui est le cas de l’expression proposée. L’expression linéaire est de degré un, celle contenant une fraction avec $x$ au dénominateur n’est pas un polynôme, et la dernière est de degré trois.

Explication

En réordonnant l’expression, on obtient $g(x)=-2x^2+0x+8$, donc les coefficients sont $a=-2$, $b=0$ et $c=8$. Le terme constant n’est pas le coefficient de $x^2$, et l’absence de terme en $x$ signifie que $b=0$.

Explication

Dans la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$, le sommet a pour coordonnées $(\alpha,\beta)$. La forme développée fournit les coefficients, mais elle n’identifie pas directement les coordonnées du sommet.

Explication

La mise sous forme canonique repose sur la factorisation de $a$, le complément du carré à l’aide d’une identité remarquable, puis l’écriture et la réduction de l’expression. Une factorisation simple ne suffit pas à déterminer la forme canonique ni le sommet.

Explication

On applique la formule $\alpha=-\frac{b}{2a}$ avec $a=2$ et $b=-8$, d’où $\alpha=-\frac{-8}{2\times2}=2$. La valeur $4$ correspond à une lecture incomplète du coefficient de $$x$, tandis que les valeurs négatives inversent le signe.

Explication

Lorsque $a<0$, le terme carré est multiplié par un coefficient négatif : la parabole est donc tournée vers le bas et atteint son maximum $\beta$ pour $x=\alpha$. Un coefficient positif produirait une parabole tournée vers le haut avec un minimum.

Explication

Le discriminant d’un trinôme est calculé par $\Delta=b^2-4ac$. Le signe entre les deux termes et la présence du carré sur $b$ sont essentiels ; les autres expressions ne correspondent pas à la formule du discriminant.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, les formules donnent deux racines réelles distinctes, ce qui permet la factorisation $a(x-x_1)(x-x_2)$. La racine double correspond au cas $\Delta=0$, tandis que l’absence de racine réelle correspond à $\Delta<0$.

Explication

Ici, $\Delta=(-6)^2-4\times1\times9=0$, donc le trinôme possède une racine double $x_0=-\frac{-6}{2}=3$ et vaut $(x-3)^2$. Deux racines distinctes exigeraient un discriminant positif, tandis que l’absence de racine réelle correspondrait à un discriminant négatif.

Explication

Un discriminant négatif signifie que l’équation associée n’a aucune solution réelle ; le trinôme ne peut donc pas être factorisé sur $\mathbb{R}$. Les deux racines distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$, et la racine double lorsque $\Delta=0$.

Explication

Une équation du second degré s’écrit $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq0$, comme $3x^2-5x+2=0$. Une équation linéaire, cubique ou comportant une variable au dénominateur ne respecte pas cette forme.

Explication

Résoudre graphiquement $f(x)=0$ consiste à repérer les abscisses des intersections entre la courbe de $f$ et l’axe des abscisses. Les autres choix concernent l’axe des ordonnées ou des propriétés du sommet, qui ne caractérisent pas les solutions de cette équation.

Explication

Lorsque $a>0$, le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles. Le signe à l’extérieur est donc positif, ce qui rend le deuxième choix incorrect.

Explication

Lorsque $\Delta>0$, le produit des racines vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$. La relation $-\frac{b}{a}$ correspond à la somme des racines et non à leur produit.

Explication

La somme des racines vaut $-\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$. La seconde racine est donc $\frac{1}{2}-2=-1,5$; la racine évidente connue directement est bien $2$.

Explication

La résolution repose sur la détermination des racines, l’étude du signe du trinôme en fonction de $a$ et la sélection des intervalles qui vérifient l’inégalité. Le signe de $a$ modifie les intervalles de signe, mais il ne change pas les racines.

Explication

Les racines sont $0,5$ et $3$, et le coefficient dominant vérifie $a>0$ ; le trinôme est donc négatif entre les deux racines. Les bornes sont exclues puisque l’inégalité est stricte.