QCM : Fonctions usuelles (25 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Parmi les propositions suivantes concernant la dérivée de xαx^\alpha, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Pour tout réel α, ddx(xα)=αxα−1\frac{d}{dx}(x^\alpha)=\alpha x^{\alpha-1} sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
Lorsque α=1, la dérivée de xαx^\alpha est xx.
La dérivée de exe^x reste exe^x.
La dérivée de xαx^\alpha vaut xαx^\alpha sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
La formule de dérivation concerne directement la fonction x↦xαx\mapsto x^\alpha.

Pour tout réel α, $$\frac{d}{dx}(x^\alpha)=\alpha x^{\alpha-1}$$ sur $$]0,+\infty[$$. · La dérivée de $$e^x$$ reste $$e^x$$. · La formule de dérivation concerne directement la fonction $$x\mapsto x^\alpha$$.

Explication

La règle de puissance donne ddx(xα)=αxα−1\frac{d}{dx}(x^\alpha)=\alpha x^{\alpha-1} sur le domaine considéré, et elle s’applique à xαx^\alpha. Pour α=1, la dérivée vaut 1 et non x. La fonction exponentielle conserve quant à elle sa propre dérivée, exe^x.

2. Concernant l’interprétation géométrique du sinus et du cosinus sur le cercle trigonométrique :

Le cosinus d’un angle est donné par l’ordonnée du point associé.
Le point associé à t fournit simultanément les valeurs du cosinus et du sinus.
Le sinus d’un réel t correspond à l’ordonnée du point associé à l’angle t.
Le cosinus d’un réel t correspond à l’abscisse du point associé à l’angle t.
Le sinus et le cosinus sont respectivement l’ordonnée et l’abscisse du point associé.

Le point associé à t fournit simultanément les valeurs du cosinus et du sinus. · Le sinus d’un réel t correspond à l’ordonnée du point associé à l’angle t. · Le cosinus d’un réel t correspond à l’abscisse du point associé à l’angle t. · Le sinus et le cosinus sont respectivement l’ordonnée et l’abscisse du point associé.

Explication

Sur le cercle trigonométrique, l’abscisse donne le cosinus et l’ordonnée donne le sinus. Le point associé fournit donc les deux coordonnées. La proposition inversant l’abscisse et l’ordonnée est incorrecte.

3. À propos des limites comparant logarithme et puissance positive :

On a, pour α>0, lim⁡x→0+xαln⁡(x)=0−\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln(x)=0^-.
Le logarithme croît moins vite que toute puissance positive à l’infini.
À l’infini, l’exponentielle croît moins vite que toute puissance positive.
Pour α>0, lim⁡x→+∞ln⁡(x)xα=+∞\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}=+\infty.
Pour α>0, lim⁡x→+∞ln⁡(x)xα=0\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}=0.

On a, pour α>0, $$\lim_{x\to0^+}x^\alpha\ln(x)=0^-$$. · Le logarithme croît moins vite que toute puissance positive à l’infini. · Pour α>0, $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^\alpha}=0$$.

Explication

La limite du quotient logarithme-puissance vaut 0, ce qui traduit la croissance plus lente du logarithme. Au voisinage de zéro par valeurs positives, xαln⁡(x)x^\alpha\ln(x) tend vers 0−0^-. Le quotient ne tend donc pas vers l’infini, et l’exponentielle croît plus vite qu’une puissance positive.

4. Concernant l’exponentielle népérienne, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La fonction exponentielle est définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
Elle est la fonction réciproque du logarithme népérien.
On note l’exponentielle exp⁡(x)=ex\exp(x)=e^x.
La fonction exponentielle est définie sur R\mathbb{R}.
Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

Elle est la fonction réciproque du logarithme népérien. · On note l’exponentielle $$\exp(x)=e^x$$. · La fonction exponentielle est définie sur $$\mathbb{R}$$.

Explication

L’exponentielle est définie sur R\mathbb{R}, réciproque de ln⁡\ln, et s’écrit exp⁡(x)=ex\exp(x)=e^x. Son domaine n’est pas ]0,+∞[]0,+\infty[, et la réciprocité s’exerce entre ln⁡\ln défini sur les positifs et l’exponentielle définie sur les réels.

5. Concernant la définition du logarithme népérien :

Le logarithme népérien est la réciproque de l’exponentielle définie sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
Il vérifie ln⁡′(x)=x\ln'(x)=x et ln⁡(1)=0\ln(1)=0.
Il vérifie ln⁡′(x)=1x\ln'(x)=\frac{1}{x} et ln⁡(1)=0\ln(1)=0.
Le logarithme népérien est défini sur l’ensemble des réels.
Le logarithme népérien est défini sur ]0,+∞[]0,+\infty[.

Il vérifie $$\ln'(x)=\frac{1}{x}$$ et $$\ln(1)=0$$. · Le logarithme népérien est défini sur $$]0,+\infty[$$.

Explication

Le logarithme népérien est défini sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et caractérisé par ln⁡′(x)=1x\ln'(x)=\frac{1}{x} ainsi que ln⁡(1)=0\ln(1)=0. Son domaine n’est pas l’ensemble des réels, sa dérivée n’est pas xx, et il est la réciproque d’une exponentielle définie sur R\mathbb{R}.

6. Parmi les propositions suivantes concernant les propriétés algébriques de ln⁡\ln, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Pour x,y>0x,y>0, on a ln⁡(x+y)=ln⁡(x)+ln⁡(y)\ln(x+y)=\ln(x)+\ln(y).
Pour x>0x>0 et n∈Zn\in\mathbb{Z}, on a ln⁡(xn)=ln⁡(x)n\ln(x^n)=\frac{\ln(x)}{n}.
Pour x>0x>0 et n∈Zn\in\mathbb{Z}, on a ln⁡(xn)=nln⁡(x)\ln(x^n)=n\ln(x).
Pour x,y>0x,y>0, on a ln⁡(xy)=ln⁡(x)+ln⁡(y)\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).
Pour x>0x>0, on a ln⁡(1/x)=−ln⁡(x)\ln(1/x)=-\ln(x).

Pour $$x>0$$ et $$n\in\mathbb{Z}$$, on a $$\ln(x^n)=n\ln(x)$$. · Pour $$x,y>0$$, on a $$\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$$. · Pour $$x>0$$, on a $$\ln(1/x)=-\ln(x)$$.

Explication

Le logarithme transforme un produit en somme, vérifie ln⁡(1/x)=−ln⁡(x)\ln(1/x)=-\ln(x) et satisfait ln⁡(xn)=nln⁡(x)\ln(x^n)=n\ln(x). La formule additive ne s’applique pas à une somme, et le facteur de la puissance est nn plutôt que son inverse.

7. Concernant l’exponentielle de base aa, quelles sont les réponses exactes au sujet de sa définition ?

La formule exp⁡a(x)=ealn⁡(x)\exp_a(x)=e^{a\ln(x)} définit l’exponentielle de base aa.
On peut écrire exp⁡a(x)=exln⁡(a)\exp_a(x)=e^{x\ln(a)}.
La notation axa^x représente exp⁡a(x)\exp_a(x) pour x∈Rx\in\mathbb{R}.
Elle est définie pour une base vérifiant a>0a>0.
Une base négative définit axa^x pour tout réel xx.

On peut écrire $$\exp_a(x)=e^{x\ln(a)}$$. · La notation $$a^x$$ représente $$\exp_a(x)$$ pour $$x\in\mathbb{R}$$. · Elle est définie pour une base vérifiant $$a>0$$.

Explication

Pour a>0a>0, on définit exp⁡a(x)=exln⁡(a)\exp_a(x)=e^{x\ln(a)} et l’on note cette quantité axa^x pour tout réel xx. Une base négative ne fournit pas une puissance définie pour tout exposant réel, et la variable xx ne figure pas dans le logarithme de la base.

8. Concernant le cosinus hyperbolique, la(les)quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

Le cosinus hyperbolique est défini par et−e−t2\frac{e^t-e^{-t}}{2}.
La formule du cosinus hyperbolique comporte un dénominateur égal à tt.
Pour tout réel tt, ch⁡(t)=et+e−t2\operatorname{ch}(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}.
Le cosinus hyperbolique est une fonction impaire.
Le cosinus hyperbolique est défini sur l’intervalle [0,+∞[[0,+\infty[.

Pour tout réel $$t$$, $$\operatorname{ch}(t)=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$$.

Explication

Le cosinus hyperbolique est défini sur R\mathbb{R} par et+e−t2\frac{e^t+e^{-t}}{2}. La différence des exponentielles définit le sinus hyperbolique, qui est impair; le cosinus hyperbolique est pair.

9. Concernant les dérivées fondamentales des fonctions trigonométriques, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

On a sin⁡′(x)=cos⁡(x)\sin'(x)=\cos(x) et cos⁡′(x)=−sin⁡(x)\cos'(x)=-\sin(x).
On a sin⁡′(x)=−cos⁡(x)\sin'(x)=-\cos(x) et cos⁡′(x)=sin⁡(x)\cos'(x)=\sin(x).
On a sin⁡′(x)=sin⁡(x)\sin'(x)=\sin(x) et cos⁡′(x)=cos⁡(x)\cos'(x)=\cos(x).
On a sin⁡′(x)=−sin⁡(x)\sin'(x)=-\sin(x) et cos⁡′(x)=−cos⁡(x)\cos'(x)=-\cos(x).
On a sin⁡′(x)=cos⁡(x)\sin'(x)=\cos(x) et cos⁡′(x)=sin⁡(x)\cos'(x)=\sin(x).

On a $$\sin'(x)=\cos(x)$$ et $$\cos'(x)=-\sin(x)$$.

Explication

Les dérivées fondamentales sont sin⁡′(x)=cos⁡(x)\sin'(x)=\cos(x) et cos⁡′(x)=−sin⁡(x)\cos'(x)=-\sin(x). Les autres associations modifient un signe ou remplacent la fonction dérivée par une expression incorrecte.

10. À propos de la fonction arccos⁡\arccos :

La fonction arccos⁡\arccos est définie par un angle choisi dans [π,2π][\pi,2\pi].
La valeur de arccos⁡(x)\arccos(x) est choisie dans [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2].
La définition sélectionne une valeur unique parmi les angles ayant pour cosinus xx.
Pour x∈[−1,1]x\in[-1,1], arccos⁡(x)\arccos(x) appartient à [0,π][0,\pi].
arccos⁡(x)\arccos(x) est l’unique angle de [0,π][0,\pi] dont le cosinus vaut xx.

La définition sélectionne une valeur unique parmi les angles ayant pour cosinus $$x$$. · Pour $$x\in[-1,1]$$, $$\arccos(x)$$ appartient à $$[0,\pi]$$. · $$\arccos(x)$$ est l’unique angle de $$[0,\pi]$$ dont le cosinus vaut $$x$$.

Explication

Pour chaque x∈[−1,1]x\in[-1,1], arccos⁡(x)\arccos(x) désigne l’unique angle de [0,π][0,\pi] dont le cosinus vaut xx. Les intervalles [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2] et [π,2π][\pi,2\pi] ne correspondent pas à cette définition.

11. La fonction logarithme népérien possède les caractéristiques suivantes :

Elle est continue sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
Elle est strictement croissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
Sa limite en +∞+\infty vaut +∞+\infty.
Elle est strictement décroissante sur ]0,+∞[]0,+\infty[.
Sa limite en 0+0^+ vaut −∞-\infty.

Elle est continue sur $$]0,+\infty[$$. · Elle est strictement croissante sur $$]0,+\infty[$$. · Sa limite en $$+\infty$$ vaut $$+\infty$$. · Sa limite en $$0^+$$ vaut $$-\infty$$.

Explication

La fonction ln⁡\ln est continue et strictement croissante sur son domaine. Elle tend vers −∞-\infty lorsque x→0+x\to0^+ et vers +∞+\infty lorsque x→+∞x\to+\infty; elle n’est donc pas décroissante.

12. Concernant les formules d’addition trigonométriques :

La formule de sin⁡(a+b)\sin(a+b) additionne sin⁡(a)cos⁡(b)\sin(a)\cos(b) et cos⁡(a)sin⁡(b)\cos(a)\sin(b).
La formule de cos⁡(a+b)\cos(a+b) additionne le produit sin⁡(a)sin⁡(b)\sin(a)\sin(b).
La formule de sin⁡(a+b)\sin(a+b) soustrait les deux produits trigonométriques.
Les deux formules utilisent des produits de sinus et de cosinus.
La formule de cos⁡(a+b)\cos(a+b) soustrait le produit sin⁡(a)sin⁡(b)\sin(a)\sin(b).

La formule de $$\sin(a+b)$$ additionne $$\sin(a)\cos(b)$$ et $$\cos(a)\sin(b)$$. · Les deux formules utilisent des produits de sinus et de cosinus. · La formule de $$\cos(a+b)$$ soustrait le produit $$\sin(a)\sin(b)$$.

Explication

La formule du cosinus contient une soustraction du produit des sinus. Celle du sinus additionne les deux produits, et les deux identités reposent sur des produits de fonctions trigonométriques.

13. Parmi les propositions suivantes concernant arccos⁡\arccos et arcsin⁡\arcsin, la(les)quelle(s) est(sont) juste(s) ?

Pour x∈]−1,1[x\in]-1,1[, arccos⁡′(x)=−11−x2\arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
La dérivée de arccos⁡\arccos comporte un signe négatif devant le radical.
La relation entre les deux fonctions vaut pour tout x∈[−1,1]x\in[-1,1].
La dérivée de arccos⁡\arccos est positive sur ]−1,1[]-1,1[.
Pour x∈[−1,1]x\in[-1,1], arccos⁡(x)+arcsin⁡(x)=π2\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}.

Pour $$x\in]-1,1[$$, $$\arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$. · La dérivée de $$\arccos$$ comporte un signe négatif devant le radical. · La relation entre les deux fonctions vaut pour tout $$x\in[-1,1]$$. · Pour $$x\in[-1,1]$$, $$\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}$$.

Explication

Sur l’intervalle ouvert, arccos⁡′(x)=−11−x2\arccos'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, ce qui explique le signe négatif. Sur [−1,1][-1,1], la somme arccos⁡(x)+arcsin⁡(x)\arccos(x)+\arcsin(x) vaut π2\frac{\pi}{2}.

14. Quelles sont les propriétés exactes des fonctions sinus et cosinus ?

Les relations de parité s’écrivent cos⁡(−t)=cos⁡(t)\cos(-t)=\cos(t) et sin⁡(−t)=−sin⁡(t)\sin(-t)=-\sin(t).
La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.
Pour tout réel t, cos⁡2(t)+sin⁡2(t)=1\cos^2(t)+\sin^2(t)=1.
Sur le cercle trigonométrique, le sinus est l’abscisse et le cosinus l’ordonnée du point associé.
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π2\pi.

Les relations de parité s’écrivent $$\cos(-t)=\cos(t)$$ et $$\sin(-t)=-\sin(t)$$. · La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire. · Pour tout réel t, $$\cos^2(t)+\sin^2(t)=1$$. · Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $$2\pi$$.

Explication

L’identité fondamentale est cos⁡2(t)+sin⁡2(t)=1\cos^2(t)+\sin^2(t)=1, et les deux fonctions sont 2π2\pi-périodiques. Le cosinus est pair tandis que le sinus est impair, ce qui donne les deux relations indiquées. Sur le cercle trigonométrique, le cosinus correspond à l’abscisse et le sinus à l’ordonnée du point associé.

15. Un réel t vérifie cos⁡(t)≠0\cos(t)\neq0. Parmi les propositions suivantes concernant la tangente, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La valeur de la tangente s’obtient en divisant le sinus par le cosinus.
Sur son domaine de définition, tan⁡′(t)=1−tan⁡2(t)\tan'(t)=1-\tan^2(t).
La tangente est définie lorsque cos⁡(t)≠0\cos(t)\neq0.
La tangente est donnée par tan⁡(t)=cos⁡(t)sin⁡(t)\tan(t)=\frac{\cos(t)}{\sin(t)}.
Dans ce cas, tan⁡(t)=sin⁡(t)cos⁡(t)\tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)}.

La valeur de la tangente s’obtient en divisant le sinus par le cosinus. · La tangente est définie lorsque $$\cos(t)\neq0$$. · Dans ce cas, $$\tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)}$$.

Explication

La tangente est définie lorsque le dénominateur cos⁡(t)\cos(t) est non nul. Sa formule est tan⁡(t)=sin⁡(t)cos⁡(t)\tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)}, ce qui correspond à une division du sinus par le cosinus. Sur son domaine de définition, sa dérivée vaut tan⁡′(t)=1cos⁡2(t)=1+tan⁡2(t)\tan'(t)=\frac{1}{\cos^2(t)}=1+\tan^2(t).

16. Concernant la fonction puissance définie sur les réels strictement positifs :

La fonction puissance est définie sur l’intervalle ]0,+∞[]0,+\infty[.
Pour tout réel α, on a xα=eαln⁡(x)x^\alpha=e^{\alpha\ln(x)} lorsque x>0.
La fonction puissance réelle s’écrit xα=exln⁡(α)x^\alpha=e^{x\ln(\alpha)} pour x>0.
La définition utilise le logarithme népérien de la variable x.
Pour tout réel x, la puissance réelle est définie par xα=eαxx^\alpha=e^{\alpha x}.

La fonction puissance est définie sur l’intervalle $$]0,+\infty[$$. · Pour tout réel α, on a $$x^\alpha=e^{\alpha\ln(x)}$$ lorsque x>0. · La définition utilise le logarithme népérien de la variable x.

Explication

Pour x>0, la définition est xα=eαln⁡(x)x^\alpha=e^{\alpha\ln(x)}, et son domaine est ]0,+∞[]0,+\infty[. La formule contient le logarithme de x, non celui de α, et l’exponentielle porte sur αln⁡(x)\alpha\ln(x) plutôt que sur αx\alpha x.

17. Lorsqu’on compare les croissances de fonctions usuelles, quelles affirmations sont exactes ?

Pour α>0, ln⁡(x)xα\frac{\ln(x)}{x^\alpha} tend vers 0 à l’infini.
Toute puissance positive domine le logarithme lorsque x tend vers +∞+\infty.
À l’infini, l’exponentielle croît moins vite que toute puissance positive.
Toute puissance positive croît plus vite que l’exponentielle lorsque x tend vers +∞+\infty.
Pour α>0, xαln⁡(x)x^\alpha\ln(x) tend vers 0−0^- quand x tend vers 0+0^+.

Pour α>0, $$\frac{\ln(x)}{x^\alpha}$$ tend vers 0 à l’infini. · Toute puissance positive domine le logarithme lorsque x tend vers $$+\infty$$. · Pour α>0, $$x^\alpha\ln(x)$$ tend vers $$0^-$$ quand x tend vers $$0^+$$.

Explication

Le rapport ln⁡(x)/xα\ln(x)/x^\alpha tend vers 0, donc toute puissance positive croît plus vite que le logarithme à l’infini. Le produit xαln⁡(x)x^\alpha\ln(x) tend vers 0−0^- au voisinage de zéro. L’exponentielle croît plus vite qu’une puissance positive, et non l’inverse.

18. Parmi les propositions suivantes concernant les formules d’angle double, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

On a sin⁡(2a)=2sin⁡(a)cos⁡(a)\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a).
On peut écrire cos⁡(2a)=2cos⁡2(a)−1\cos(2a)=2\cos^2(a)-1.
On peut écrire cos⁡(2a)=1−2sin⁡2(a)\cos(2a)=1-2\sin^2(a).
On a cos⁡(2a)=2sin⁡2(a)−1\cos(2a)=2\sin^2(a)-1.
La formule de sin⁡(2a)\sin(2a) vaut sin⁡(a)cos⁡(a)\sin(a)\cos(a).

On a $$\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$$. · On peut écrire $$\cos(2a)=2\cos^2(a)-1$$. · On peut écrire $$\cos(2a)=1-2\sin^2(a)$$.

Explication

Les identités d’angle double donnent sin⁡(2a)=2sin⁡(a)cos⁡(a)\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a) et deux formes équivalentes pour le cosinus. La forme avec un signe positif devant 2sin⁡2(a)2\sin^2(a) et l’expression sans facteur 2 pour le sinus sont incorrectes.

19. Pour la fonction exponentielle, quelles sont les propositions exactes ?

La relation ex+y=exeye^{x+y}=e^xe^y est valable pour tous x,y∈Rx,y\in\mathbb{R}.
La dérivée de exe^x est exe^x.
La fonction exponentielle conserve sa forme après dérivation.
Pour tous réels x,yx,y, on a ex+y=exeye^{x+y}=e^xe^y.
Sa dérivée vérifie exp⁡′(x)=exp⁡(x)\exp'(x)=\exp(x).

La relation $$e^{x+y}=e^xe^y$$ est valable pour tous $$x,y\in\mathbb{R}$$. · La dérivée de $$e^x$$ est $$e^x$$. · La fonction exponentielle conserve sa forme après dérivation. · Pour tous réels $$x,y$$, on a $$e^{x+y}=e^xe^y$$. · Sa dérivée vérifie $$\exp'(x)=\exp(x)$$.

Explication

La fonction exponentielle est égale à sa dérivée, ce qui donne exp⁡′(x)=exp⁡(x)\exp'(x)=\exp(x). Elle vérifie également la relation ex+y=exeye^{x+y}=e^xe^y pour tous réels xx et yy; les formulations proposées expriment ces deux propriétés.

20. Les propriétés différentielles et monotones de arcsin⁡\arcsin comprennent :

La formule de dérivée s’applique pour x∈]−1,1[x\in]-1,1[, hors des extrémités.
Pour x\in[-1,1], arcsin⁡(x)\arcsin(x) est l’unique angle de [0,π/2][0,\pi/2] dont le sinus vaut x.
La fonction arcsin⁡\arcsin est strictement décroissante sur [−1,1][-1,1].
La fonction arcsin⁡\arcsin est strictement croissante sur [−1,1][-1,1].
Pour x∈]−1,1[x\in]-1,1[, on a arcsin⁡′(x)=11−x2\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

La formule de dérivée s’applique pour $$x\in]-1,1[$$, hors des extrémités. · La fonction $$\arcsin$$ est strictement croissante sur $$[-1,1]$$. · Pour $$x\in]-1,1[$$, on a $$\arcsin'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$.

Explication

Pour x∈]−1,1[x\in]-1,1[, la dérivée de arcsin⁡\arcsin existe et vaut 11−x2\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, une quantité positive. La fonction est donc strictement croissante sur [−1,1][-1,1]. Pour chaque x∈[−1,1]x\in[-1,1], arcsin⁡(x)\arcsin(x) est l’unique angle de [−π/2,π/2][-\pi/2,\pi/2] dont le sinus vaut x, et non un angle de [0,π/2][0,\pi/2].

21. Les caractéristiques du sinus hyperbolique comprennent :

La formule du sinus hyperbolique utilise un dénominateur égal à tt.
Le sinus hyperbolique est une fonction paire.
Pour tout réel tt, sh⁡(t)=et−e−t2\operatorname{sh}(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}.
Le sinus hyperbolique est défini sur R\mathbb{R}.
Le sinus hyperbolique est défini par et+e−t2\frac{e^t+e^{-t}}{2}.

Pour tout réel $$t$$, $$\operatorname{sh}(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$$. · Le sinus hyperbolique est défini sur $$\mathbb{R}$$.

Explication

Sur R\mathbb{R}, le sinus hyperbolique vaut et−e−t2\frac{e^t-e^{-t}}{2}. La somme des exponentielles correspond au cosinus hyperbolique, qui est pair, tandis que le sinus hyperbolique est impair.

22. Concernant la définition de arctan⁡\arctan, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La réciproque concerne la restriction de la tangente à ]−π/2,π/2[]-\pi/2,\pi/2[.
La fonction est la réciproque de la tangente définie sur tous les réels.
Pour tout réel xx, arctan⁡(x)\arctan(x) appartient à ]−π/2,π/2[]-\pi/2,\pi/2[.
arctan⁡(x)\arctan(x) est l’unique angle dont la tangente vaut xx dans l’intervalle indiqué.
La fonction arctan⁡\arctan est la réciproque de la tangente restreinte à ]−π,π[]-\pi,\pi[.

La réciproque concerne la restriction de la tangente à $$]-\pi/2,\pi/2[$$. · Pour tout réel $$x$$, $$\arctan(x)$$ appartient à $$]-\pi/2,\pi/2[$$. · $$\arctan(x)$$ est l’unique angle dont la tangente vaut $$x$$ dans l’intervalle indiqué.

Explication

La fonction arctan⁡\arctan est la réciproque de la tangente restreinte à ]−π/2,π/2[]-\pi/2,\pi/2[, et non de la tangente définie sur tous les réels. Pour tout réel xx, sa valeur appartient à cet intervalle et constitue l’unique angle de ]−π/2,π/2[]-\pi/2,\pi/2[ dont la tangente vaut xx.

23. Les règles de calcul des puissances réelles comprennent :

Pour a>0a>0, on a axay=ax+ya^xa^y=a^{x+y}.
Pour a,b>0a,b>0, on a (ab)x=axbx(ab)^x=a^xb^x.
Pour a,b>0a,b>0, on a (ab)x=ax/bbx(ab)^x=a^{x/b}b^x.
Pour a>0a>0, on a (ax)y=ax+y(a^x)^y=a^{x+y}.
Pour a>0a>0, on a (ax)y=axy(a^x)^y=a^{xy}.

Pour $$a>0$$, on a $$a^xa^y=a^{x+y}$$. · Pour $$a,b>0$$, on a $$(ab)^x=a^xb^x$$. · Pour $$a>0$$, on a $$(a^x)^y=a^{xy}$$.

Explication

Les puissances réelles vérifient axay=ax+ya^xa^y=a^{x+y}, (ax)y=axy(a^x)^y=a^{xy} et (ab)x=axbx(ab)^x=a^xb^x pour des bases positives. La composition des puissances multiplie les exposants, et aucun quotient par bb n’intervient dans la règle du produit.

24. Un étudiant compare les solutions de cos⁡(x)=cos⁡(θ)\cos(x)=\cos(\theta) et de tan⁡(x)=tan⁡(θ)\tan(x)=\tan(\theta). Quelles sont les réponses exactes ?

Les solutions de cos⁡(x)=cos⁡(θ)\cos(x)=\cos(\theta) comprennent x≡−θ [2π]x\equiv-\theta\ [2\pi].
Les solutions de cos⁡(x)=cos⁡(θ)\cos(x)=\cos(\theta) sont définies modulo π\pi.
Les solutions de tan⁡(x)=tan⁡(θ)\tan(x)=\tan(\theta) vérifient x≡θ [π]x\equiv\theta\ [\pi].
Les solutions de tan⁡(x)=tan⁡(θ)\tan(x)=\tan(\theta) sont définies modulo 2π2\pi.
Les solutions de cos⁡(x)=cos⁡(θ)\cos(x)=\cos(\theta) comprennent x≡θ [2π]x\equiv\theta\ [2\pi].

Les solutions de $$\cos(x)=\cos(\theta)$$ comprennent $$x\equiv-\theta\ [2\pi]$$. · Les solutions de $$\tan(x)=\tan(\theta)$$ vérifient $$x\equiv\theta\ [\pi]$$. · Les solutions de $$\cos(x)=\cos(\theta)$$ comprennent $$x\equiv\theta\ [2\pi]$$.

Explication

L’équation du cosinus admet les congruences x≡θ [2π]x\equiv\theta\ [2\pi] et x≡−θ [2π]x\equiv-\theta\ [2\pi]. L’équation de la tangente est périodique de période π\pi, et non de période 2π2\pi.

25. Parmi les propositions suivantes concernant les dérivées hyperboliques, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La dérivée de ch⁡\operatorname{ch} vaut −sh⁡-\operatorname{sh}.
La dérivée de ch⁡\operatorname{ch} ne comporte pas de signe moins.
La dérivée de sh⁡\operatorname{sh} est le cosinus hyperbolique.
On a ch⁡′(t)=sh⁡(t)\operatorname{ch}'(t)=\operatorname{sh}(t).
On a sh⁡′(t)=ch⁡(t)\operatorname{sh}'(t)=\operatorname{ch}(t).

La dérivée de $$\operatorname{ch}$$ ne comporte pas de signe moins. · La dérivée de $$\operatorname{sh}$$ est le cosinus hyperbolique. · On a $$\operatorname{ch}'(t)=\operatorname{sh}(t)$$. · On a $$\operatorname{sh}'(t)=\operatorname{ch}(t)$$.

Explication

Les dérivées vérifient sh⁡′(t)=ch⁡(t)\operatorname{sh}'(t)=\operatorname{ch}(t) et ch⁡′(t)=sh⁡(t)\operatorname{ch}'(t)=\operatorname{sh}(t). Ainsi, la dérivée de ch⁡\operatorname{ch} ne porte pas le signe négatif présent dans la dérivée du cosinus circulaire.

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Quelle fonction vérifie ln⁡′(x)=1x\ln'(x)=\frac{1}{x} et ln⁡(1)=0\ln(1)=0 sur ]0,+∞[ ?

Le logarithme népérien.

Quelle relation lie ln⁡(xy)\ln(xy) à ln⁡(x)\ln(x) et ln⁡(y)\ln(y) pour x,y>0x,y>0 ?

ln⁡(xy)=ln⁡(x)+ln⁡(y)\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y).

Comment s'exprime ln⁡(1/x)\ln(1/x) en fonction de ln⁡(x)\ln(x) ?

ln⁡(1/x)=−ln⁡(x)\ln(1/x)=-\ln(x).

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